立體幾何中的向量方法求夾角(參考版)
2025-06-19 12:13本頁(yè)面
【正文】 （化為向量問題） （進(jìn)行向量運(yùn)算） （回到圖形問題） 小結(jié)： 小結(jié)： 學(xué) .科 .網(wǎng) ： cos? c o s ,C D A B??? | |： sin? c o s ,n A B??? | |： cos? ? 12| c o s , |nn??關(guān)鍵：觀察二面角的范圍 ?ABC D1D?AB?On?1n2n???cos? ?12| c o s , |nn? ? ?。 |AB→|. (2) 找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角 ( 或夾角的某一三角函 數(shù) 值 ) ． 如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是 a=（ 1， 0， 1）， b=（ 0， 1，1），那么這條斜線與平面所成的角是 ______ . 已知兩平面的法向量分別 m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的鈍二面角為 ______ . 基礎(chǔ)訓(xùn)練 : 已知 =(2,2,1), =(4,5,3),則平面ABC的一個(gè)法向量是 ______ . AB AC600 1350 【 鞏固練習(xí) 】 1 三棱錐 PABC PA⊥ ABC,PA=AB=AC, ,E為 PC中點(diǎn) ,則 PA與 BE所成角的余弦值為 _________ . 2 直三棱柱 ABCA1B1C1中 , A1A=2, AB=AC=1, 則 AC1與截面 BB1CC1所成 角的余弦值為 _________ . 3正方體中 ABCDA1B1C1D1中 E為 A1D1的 中點(diǎn) , 則二面角 EBCA的大小是 __________ 090BAC??090BAC??663 1010045用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。解：以 A為原點(diǎn)， AD、 AB、 AP所在的直線分別為 X軸、 Y軸、 Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , ( , 1 , 0 ) ,A P D E m設(shè) BE=m，則 [ 題后感悟 ] 求直線與平面所成的角的方法與步驟 (1) 用向量法求直線與 平面所成的角可利用 向量夾角公式或法向量．利用法向量求直線與平面所成的角的基本步驟為： ① 建立空間直角坐標(biāo)系； ② 求直線的方向向量 AB→； ③ 求平面的法向量 n ； ④ 計(jì)算：設(shè)線面角為 θ ，則 sin θ ＝| n ? 045ABC??22 3.SA B C?S A B C D O x y z 【 典例剖析 】 例 3 如圖 ,在四棱錐 P— ABCD中，底面 ABCD為矩形，側(cè)棱 PA⊥ 底面 ABCD， PA=AB=1,AD= ，在線段 BC上是否存在一點(diǎn) E,使 PA與平面 PDE所成角的大小為 450? 若存在，確定點(diǎn) E的位置；若不存在說明理由。 . AB CD1A1B 1C1DMxyz1N |||||||s in|nADnAD????解：如圖建立坐標(biāo)系 Axyz,則 (0 , 0 , 0 ) ,A )6,2,6(M可得由 ,51 ?NA )3,4,0(N).3,4,0(),6,2,6( ??? NAMA ??由的法向量設(shè)平面 ),( zyxn ???00????nNAnMA????0340626?????zyzyx即 在長(zhǎng)方體 中， A D A N M求 與 平 面 所 成 的 角 的 正 弦 值 .例 1： 1 1 1 1A B C D A B C D?1 1 1 2,M B C B M ?為 上 的 一 點(diǎn) , 且1N A D點(diǎn) 在 線 段 上 ，1 5,AN ?,61 ?AA,8,6 ?? ADABAB C
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