空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(參考版)
2025-06-28 00:21本頁(yè)面
【正文】 ＝0(－2)＋10＋0＝0，∴BD⊥AA1，(2)由OB⊥面AA1C1C，∴平面AA1C1C的法向量n1＝(1,0,0)，設(shè)n2⊥面AA1D，則設(shè)n2＝(x，y，z)，得到取n2＝(1，－1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.∴二面角D－A1A－C的平面角的余弦值是.(3)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP∥面DA1C1，設(shè)＝λ，P(x，y，z)，則(x，y－1，z)＝λ(0,1，)．得P(0,1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)．設(shè)n3⊥面DA1C1，則設(shè)n3＝(x3，y3，z3)，得到∴不妨取n3＝(1,0，－1)．又∵∥面DA1C1，∴n3AOcos 60176。.(1)證明：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的平面角的余弦值；(3)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1G？若存在，求出P的位置，若不存在，說明理由．解：連接BD交AC于O，則BD⊥AC，連接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60176。＝，即＝，得＝，解得h＝1.(2)由D是BB1的中點(diǎn)，得D，于是＝.設(shè)平面A1BC1的法向量為n＝(x，y，z)，于是由n⊥，n⊥可得即可取n＝(h,0,1)，故sin θ＝|cos〈，n〉|，而|cos〈，n〉|＝＝＝.令f(h)＝＝，因?yàn)閔2＋＋9≥2＋9，當(dāng)且僅當(dāng)h2＝，即h＝時(shí)，等號(hào)成立．所以f(h)≤＝＝，故當(dāng)h＝時(shí)，sin θ的最大值為.4．如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2，∠ABC＝60176。求棱柱的高；(2)設(shè)D是BB1的中點(diǎn)，DC1與平面A1BC1所成的角為θ，當(dāng)棱柱的高變化時(shí)，求sin θ的最大值．解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，設(shè)AA1＝h(h0)，則有B(1,0,0)，B1(1,0，h)，C1(0,1，h)，A1(0,0，h)，＝(－1,1,0)，＝(0,1,0)，＝(1,0，－h(huán))．(1)因?yàn)楫惷嬷本€A1B與B1C1所成的角為60176。武漢模擬)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90176。AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)證明：PA⊥BD；(2)設(shè)PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．解：(1)證明：因?yàn)椤螪AB＝60176。＝(－a＋c)a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.∴b＝b即＝，解得a＝2，即AB的長(zhǎng)為2.1．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90176。＝－0＋11＋(－1)1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)假設(shè)在棱AA1上存在一點(diǎn)P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此時(shí)＝(0，－1，z0)．又設(shè)平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，則y＝－，z＝－a，得平面B1AE的一個(gè)法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP?平面B1AE，∴存在點(diǎn)P，滿足DP∥平面B1AE，此時(shí)AP＝.(3)連接A1D，B1C，由長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D，∴AD1⊥(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1，∴是平面A1B1E的一個(gè)法向量，此時(shí)＝(0,1,1)．設(shè)與n所成的角為θ，則cos θ＝＝ .∵二面角A－B1E－A1的大小為30176。福建高考)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD中點(diǎn)．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小為30176?！唷鰽BD為正三角形，又Q為AD中點(diǎn)，∴AD⊥BQ.∵PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)，AD⊥PQ，又BQ∩PQ＝Q，∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD.∴平面PQB⊥平面PAD. (2)連接AC交BQ于點(diǎn)N，如圖(1)：由AQ∥BC可得，△ANQ∽△CNB，∴＝＝.又＝，∴＝＝.∴PA∥MN.∵M(jìn)N?平面MQB，PA?平面MQB， 圖(1)∴PA∥平面MQB.(3)由PA＝PD＝AD＝2，Q為AD的中點(diǎn)，則PQ⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PQ⊥平面ABCD.以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA、QB、QP所在的直線為x，y，z軸，建立如圖(2)所示的坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0,0)，B(0，0)，Q(0,0,0)，P(0,0，)．設(shè)平面MQB的法向量n＝(x，y,1)，可得 圖(2)∵PA∥MN，∴解得n＝(，0,1)．取平面ABCD的法向量m＝(0,0,1)．cos〈m，n〉＝＝.故二面角M－BQ－C的大小為60176。聊城模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60176。＝0，∴PA⊥EF.(2)易知＝(0,0,1)，＝(－2,1，－1)．設(shè)平面DFG的法向量為m＝(x1，y1，z1)，則即令x1＝1，得m＝(1,2,0)是平面DFG的一個(gè)法向量．同理可得n＝(0,1,1)是平面EFG的一個(gè)法向量，∴cos〈m，n〉＝＝＝，由圖可知二面角D－FG－E為鈍角，∴二面角D－FG－E的余弦值為－.，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，點(diǎn)D是A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A1C1上且DE⊥AE.(1)證明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值．解：(1)證明：由正三棱柱ABC－A1B1C1的性質(zhì)知AA1⊥平面A1B1C1，又DE?平面A1B1C1，所以DE⊥AA1.而DE⊥A
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