二次函數與三角形的存在性問題的解法(編輯修改稿)
2025-04-20 06:24 本頁面
【文章內容簡介】 A=MC，則MA2=MC2，得： m2+4=m26m+10，得：m=1；②若MA=AC，則MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=177?！?；③若MC=AC，則MC2=AC2，得：m26m+10=10，得：m1=0，m2=6；設直線AC的解析式為y=k1x+b1（k≠0），將A（1，0），C（0，3）代入上式，得Y=3x+3，與 直線x=1的交點坐標為（1,6），所以：當m=6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M（1，1），（1，√6 ），（1，√6），（1，0）．易錯點及方法總結：當以C為頂點的兩條腰相等時，求出的點M有可能與AC共線，所以要進行檢驗，這一點非常關鍵。以其它兩點為頂點的兩條腰相等時，不可能存在共線問題，所以不用檢驗。五、直角三角形存在性問題匯總例如圖：A(0，1) B(4，3)是直線y=1/2x+1上的兩點，點p是x軸上一點，若△ABP是直角三角形，則點p的坐標是多少？解：（1）當∠BAP為90176。時，因為LAB: y=1/2x+1 LAP1: y= 2x+1 所以p1（1/2，0）（2）當∠PBA=90176。時，因為LAB: y=1/2x+1 LAP2: y= 2x+11 所以p2（11/2，0）（3）當∠APB=90176。時，如圖過點B作BD⊥X軸于D例（攀枝花）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（3，0），B（1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由． 解：（1）由于拋物線y=ax2+bx+c經過A（3，0），B（1，0），可設拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x1），將C點坐標（0，3）代入，得： a（0+3）（01）=3，解得 a=1，則y=（x+3）（x1）=x2+2x3，所以拋物線的解析式為：y=x2+2x3；（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N．設直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得直線AC的解析式為：y= x3．設P點坐標為（x，x2+2x3），則點N的坐標為（x，x3），∴PN=（x3）（x2+2x3）=x23x．∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，∴ ∴當x=2/3 時，S有最大值27/8，此時點P的坐標為（ 3/2， 15/4）；（3）在y軸上是存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：∵y=x2+2x3=y=（x+1）24， ∴頂點D的坐標為（1，4），∵A（3，0），∴AD2=（1+3）2+（40）2=20．設點M的坐標為（0，t），分三種情況進
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