微積分及其意義(編輯修改稿)
2024-09-01 06:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 定義在[a，b〕上的函數(shù)，為求由x=a，x=b ，y=0和y=f(x)所圍圖形的面積S，采用古希臘人的窮竭法，先在小范圍內(nèi)以直代曲，求出S的近似值，再取極限得到所求面積S，為此，先將[a，b〕分成n等分:a=x0＜x1＜…＜xn=b，取ζi∈[xi1，xi〕，記Δxi=xixi1，則pn為S的近似值，當n→+∞時，pn的極限應可作為面積S。把這一類問題的思想方法抽象出來，便得定積分的概念:對于定義在[a，b〕上的函數(shù)y=f(x)，作分劃a=x0＜x1＜…＜xn=b，若存在一個與分劃及ζi∈[xi1，xi〕的取法都無關(guān)的常數(shù)I，使得,其中則稱I為f(x)在[a，b〕上的定積分，表為即 稱[a，b〕為積分區(qū)間，f(x)為被積函數(shù)，a，b分別稱為積分的上限和下限。當f(x)的原函數(shù)存在時，定積分的計算可轉(zhuǎn)化為求f(x)的不定積分:這是c牛頓萊布尼茲公式微分一元微分定義:設(shè)函數(shù)y = f(x)，x0及x0 + Δx在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx) ? f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依賴于Δx的常數(shù))，而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f39。(x)dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導數(shù)。因此，導數(shù)也叫做微商。當自變量X改變?yōu)閄+△X時，相應地函數(shù)值由f(X)改變?yōu)閒(X+△X)，如果存在一個與△X無關(guān)的常數(shù)A，使f(X+△X)f(X)和A△X之差關(guān)于△X→0是高階無窮小量，則稱A△X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。函數(shù)可導必可微，反之亦然，這時A=f′(X)。再記A△X=dy，則dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。幾何意義:設(shè)Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐標上的增量，dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱坐標上的增量。當|Δx|很小時，|Δydy|比|Δy|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。多元微分同理，當自變量為多個時，可得出多元微分得定義。運算法則:dy=f39。(x)dxd(u+v)=du+dvd(uv)=dudvd(uv)=duv+dvud(u/v)=(duvdvu)/v^2我想知道微積分的具體意義,尤其在幾何方面的意義,.分享舉報瀏覽 4451 次4個回答熱議結(jié)婚到底該不該給彩禮？給多少好？cqwangxiping20080822微積分（Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應用的數(shù)學分支。微積分是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的。微積分最重要的思想就是用微元與無限逼近,好像一個事物始終在變化你不好研究,但通過微元分割成一小塊一小塊,那就可以認為是常量處理,最終加起來就行。 微積分學是微分學和積分學的總稱。 它是一種數(shù)學思想，‘無限細分’就是微分，‘無限求和’就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運動的思想看待問題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。如果將整個數(shù)學比作一棵大樹，那么初等數(shù)學是樹的根，名目繁多的數(shù)學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。
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