雙曲線性質(zhì)小結(jié)(編輯修改稿)
2024-09-01 04:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 曲線（a＞0,b＞0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點(diǎn).68．OA、OB是雙曲線（a＞0,b＞0,且）的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（1）直線AB必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).(2) 以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是（除原點(diǎn)）。69．是雙曲線（a＞0,b＞0）上一個(gè)定點(diǎn)，P A、P B是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).（2）以P A、P B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是(除P點(diǎn)).70．如果一個(gè)雙曲線虛半軸長(zhǎng)為b，焦點(diǎn)FF2到直線的距離分別為dd2，那么（1），且FF 2在異側(cè)直線L和雙曲線相切,或是雙曲線的漸近線.（2），且FF2在L異側(cè)直線和雙曲線相離，（3），或FF2在L同側(cè)直線L和雙曲線相交.71．AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的實(shí)軸，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過的切線與過A、B的切線交于、兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是.72．設(shè)點(diǎn)為雙曲線（a＞0,b＞0）的內(nèi)部(（含焦點(diǎn)的區(qū)域）)一定點(diǎn)，AB是雙曲線過定點(diǎn)的任一弦.(1)如,則當(dāng)弦AB垂直于雙曲線實(shí)軸所在直線時(shí).(2)如,則當(dāng)弦AB平行（或重合）于雙曲線實(shí)軸所在直線時(shí), .73．雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓相外切.74．雙曲線焦三角形的內(nèi)切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的實(shí)軸端點(diǎn).75．雙曲線兩焦點(diǎn)到雙曲線焦三角形內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值a+c與ca.76．雙曲線焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其旁切圓的切線長(zhǎng)為定值ca.77．雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). 注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).78．雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.79．雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).80．雙曲線焦三角形中,雙曲線中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例.81．雙曲線焦三角形中,半焦距、外點(diǎn)與雙曲線中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例.82．雙曲線焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83．雙曲線焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線引垂線,則雙曲線中心與垂足的距離為雙曲線實(shí)半軸的長(zhǎng).84．雙曲線焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的切點(diǎn).85．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線與焦半徑、實(shí)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的外角平分線.87．雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的內(nèi)角平分線.88．雙曲線焦三角形中,過非焦頂點(diǎn)的切線與雙曲線實(shí)軸兩端點(diǎn)處的切線相交,則以兩交點(diǎn)為直徑的圓必過兩焦點(diǎn).，過分別引其漸近線的平行線，分別交軸于，交軸于， 為原點(diǎn)，則： （1）； （2）.90. 過平面上的點(diǎn)作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.91. 點(diǎn)為雙曲線在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，則：.92. 點(diǎn)為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記 與的面積為，已知，則的軌跡方程是或雙曲線性質(zhì)92條證明。 。 。，切線PT（即）的斜率為k，所在直線斜率為，所在直線斜率為，與PT的夾角為α，與PT的夾角為β。由兩直線夾角公式得： 同理可證其它情況。故切線PT平分點(diǎn)P處的內(nèi)角。作F2關(guān)于切線PT的對(duì)稱點(diǎn)M，由4可知M在PF1上，則，垂足H為F2M的中點(diǎn)，則OH=，同理可證其它情況。射影H的軌跡是以實(shí)軸為直徑的圓除去兩端點(diǎn)。6. 設(shè)P，Q兩點(diǎn)到與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離分別為，以PQ中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，以PQ為直徑的圓的半徑為r，則，故以PQ為直徑的圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交。7. 如圖，兩圓圓心距為，故兩圓外切。7圖 8圖8. 如圖，由切線長(zhǎng)定理：，而，與重合，故內(nèi)切圓與x軸切于右頂點(diǎn)，同理可證P在其他位置情況。9. 設(shè)，則則 ∴
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