【文章內(nèi)容簡介】 制精度的要求越來越高，時滯已經(jīng)不能在分析設計時加以忽略，而是要建立明確的時滯微分方程以作為更為精確的數(shù)學模型。因而時滯系統(tǒng)的研究不僅僅在于理論上巨大意義，還在于實際控制系統(tǒng)設計和應用的迫切需要。 魯棒控制自提出以來，很快受到了人們的廣泛重視和研究，取得了一系列的研究結(jié)果和方法，并在一些工程領(lǐng)域中獲得了成功的應用?？偟膩碚f，不確定性問題、魯棒控制問題、時滯 系統(tǒng)的控制問題以及魯棒 ?H 問題一直是近二十年來控制界和實際系統(tǒng)應用中的熱點和難點問題 。它們之間的結(jié)合所產(chǎn)生的更為復雜更具有綜合性問題不僅具有豐富的實際應用背景，更具有很高的理論價值。特別地，隨著線性矩陣不等式及求解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點法的提出，為許多控制問題的分析和求解提供了有效工具。 Matlab 軟件中線性矩陣不等式工具箱的推出使得各種線性矩陣不等式問題的求解更加方便、直接，從而，進一步推動了線性矩陣不等式處理方法在系統(tǒng)和控制領(lǐng)域中的應用。 本文的研究內(nèi)容及安 排 本文主要研究基于狀態(tài)觀測器的不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設計，分別針對線性不確定系統(tǒng)、線性時滯不確定系統(tǒng) 設計 魯棒控制器，同時還運用 Lyapunov 穩(wěn)定性理論證明了在上述控制器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，最后用 Matlab 的 LMI 工具箱很方便的給出了控制器的解， 并 用 Simulink 對實際系統(tǒng)進行了仿真試驗，仿真結(jié)果表明上述控制器不僅能夠達到較好的控制效果，而且具有較強的魯棒性和穩(wěn)定性。 本文研究了基于狀態(tài)觀測器的魯棒控制器設計、線性系統(tǒng)、線性時滯系統(tǒng)、穩(wěn)定性分析以及在觀測器設計過程中 LMI 參數(shù)選擇的研究。全文共分 為 四 章： 第一章為緒論，簡要介紹系統(tǒng)不確定性、魯棒控制的起源和發(fā)展以及線性矩陣不等式的發(fā)展。 第二章介紹了狀態(tài)觀測器 、線性矩陣不等式 、 Lyapunov 穩(wěn)定性理論的相關(guān)知識。 第三章是基于狀態(tài)觀測器的線性不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設計 ，并驗證所 得結(jié)論 。 第四章是基于狀態(tài)觀測器的線性時滯不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設計 ，并驗證所的結(jié)論 。 8 第 2 章 預備知識 狀態(tài)觀測器 狀態(tài)觀測器就是 根據(jù)系統(tǒng)的外部變量 (輸入變量和輸出變量 )的實測值得出狀態(tài)變量估計值的一類動態(tài)系統(tǒng)，也稱為狀態(tài)重構(gòu)器。 60 年代初期，為了對控制 系統(tǒng)實現(xiàn)狀態(tài)反饋或其他需要， 、 等人提出狀態(tài)觀測器的概念和構(gòu)造方法，通過重構(gòu)的途徑解決了狀態(tài)的不能直接量測的問題。狀態(tài)觀測器的出現(xiàn)，不但為狀態(tài)反饋的技術(shù)實現(xiàn)提供了實際可能性，而且在控制工程的許多方面也得到了實際應用，例如復制擾動以實現(xiàn)對擾動的完全補償?shù)取? 在現(xiàn)代控制理論中，利用狀態(tài)反饋可以對 系統(tǒng)的極點任意配置，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性能的改進、給定信號的漸進跟蹤、解耦問題等?？梢哉f狀態(tài)反饋理論在現(xiàn)代控制理論中具有十分重要的作用，但是狀態(tài)反饋實現(xiàn)的前提是系統(tǒng)的所有狀態(tài)都 是可測的，對于狀態(tài)不可測系統(tǒng)，解決問題的方法之一就是基于原系統(tǒng)構(gòu)造一個全維或降維狀態(tài)觀測器，以獲得狀態(tài)變量的估值?；谟^測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)包含了兩個系統(tǒng)：觀測器系統(tǒng)和狀態(tài)反饋系統(tǒng)。 為了實現(xiàn)狀態(tài)反饋，需要系統(tǒng)全部的狀態(tài)變量。但在實際系統(tǒng)中，大部分狀態(tài)變量很難直接測量到。因此，為了實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制，需要通過一個模型，利用已知的信息對系統(tǒng)狀態(tài)變量進行估計。這樣，可以構(gòu)造一個與已知實際系統(tǒng){A,B,C}具有同樣動態(tài)方程的模擬系統(tǒng)，用模擬系統(tǒng)的狀態(tài)向量 )(?tx 作為實際系統(tǒng)狀態(tài)向 量 )(tx 的估計值。因此，控制器可以看成是實際對象的一個實時仿真系統(tǒng)。它利用控制對象的數(shù)學模型和輸入變量，采用適當?shù)目刂品椒?，以保證狀態(tài)觀測器的狀態(tài)可以很快地逼近控制對象的狀態(tài)。因而狀態(tài)觀測器的狀態(tài)又稱為實際狀態(tài)的估計值或者估計狀態(tài)。 [5] 1. 狀態(tài)觀測器的原理 在一般情況下，系統(tǒng)的輸出量 )(ty 與控制輸入 )(tu 均為已知，所以希望能從)(ty 與 )(tu 對構(gòu)造的系統(tǒng)模型來估計出狀態(tài)向量。當系統(tǒng)完全可觀測時，一定存在狀態(tài)觀測器。 9 對于與廣義對象同維的狀態(tài)觀測器，有 A?? =A? + uByBx 21?? ?? （ ） 其中， nRx?? 是狀態(tài) x 的估計值， 22 21 ?,?,? mnpnnn RBRBRA ??? ??? 。對于降維狀態(tài)觀測器，有 uByBA 21 ??? ??? ??? （ ） yDCx ?? ?? ?? （ ） 這時 nkpnR k ???? 2,? 是降維觀測器的狀態(tài)， 222 ,?,?,? 21 pnknmkpkkk RDRCRBRRA ????? ?????? 。 基于狀態(tài)估計值 x? 的狀態(tài)反饋律為 xFu ?? （ ） 由（ ）式或（ ）式與（ ）式構(gòu)成的控制器 K，最終可轉(zhuǎn)化成 ??? ???? kkkk DBCAK 的形式。對于由（ ）式和（ ）式構(gòu)成的情況，有 0,?,?,?? 12 ????? kkkk DFCBBFBAA （ ） 其中 xnn ?, ?? ?? 。對于由（ ）式和（ ）式構(gòu)成的情況，有 DFDCFCDFBBBCFBAA kkkk ?,?,???,??? 212 ?????? （ ） 這時 ??? ?? ,kn 。這樣，閉環(huán)控制系統(tǒng)中由 w 到 z 的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣由（ ）式和（ ）式來描述。 如果給系統(tǒng)加入某種形式的擾動，則原系統(tǒng)在直接狀態(tài)反饋下的各項性能指針基本不變，而觀測器－狀態(tài)反饋系統(tǒng)的響應則會發(fā)生大幅度的變化，響應的抖動幅度加大，穩(wěn)態(tài)時間變長。觀測的狀態(tài)變量與實際的狀態(tài)變量間的誤差，只與初始條件有關(guān)，與控制變量無關(guān)。只要現(xiàn)時狀態(tài)觀測器是漸進穩(wěn)定的，不管初始條件如何，隨著時間的增長，觀測誤差總是趨近于零，即觀測狀態(tài)趨向于實際狀態(tài)。 10 線性矩陣不等式 近十多年來，由于線性矩陣不等式 (LMI)的優(yōu)良性能以及數(shù)學規(guī)劃和解法的突破，特別是內(nèi)點法的提出以及 Matlab 軟件中 LMI 工具箱的推出， LMI 這一工具越來越受到人們的廣泛關(guān)注與重視，使其在控制系統(tǒng)的分析和設計方面得到了廣泛的重視和應用，成為這一領(lǐng)域的研究熱點。在此之前，絕大多數(shù)的控制問題都是通過 Riccati 方程或其不等式的方法來表示和求解的。但是，求解 Riccati 方程或其不等式時，有大量的參數(shù)和正定對稱矩陣需要預先調(diào)整，因而有時即使問題本身是有解的，也不能找出問題的解。這給實際問題的 解決帶來了很大的不便，而 LMI方法可以很好地彌補 Riccati 方程方法的不足，不需要調(diào)整任何參數(shù)，便可獲得問題的解。 [6] 線性矩陣不等式 (LMI)是如下形式： 0)( 110 ????? mm FxFxFxF ? () 其中 mxxx , 21 ? 是 m 個實數(shù)變量，稱為 LMI 的決策變量，而 nTm Rxxx ?? ),( 1 ?是由決策變量構(gòu)成的向量，稱為決策向量， nnTii RFF ??? ， mi ,1,0 ?? 是一組給定的實對稱矩陣。 （ )式中的不等號“ ”指的是矩陣 F(x)是負定的，即對所有非零的向量 0)(, ?? vxFvRv Tn ，或者 F(x)的最大特征值小于零。 若 F(y)0 和 F(z)0 時，則 0)2( ??zyF ，所以式（ ）是凸約束。注意到多個 LMI 可用一個 LMI 表示，即 0)(,0)(,0)( 21 ??? xFxFxF m? 等價于 0)}(,),(),({ 21 ?xFxFxFd ia g m? 在許多將一些非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式的問題中， 我們常常用到矩陣的 Schur 補性質(zhì)?？紤]一個矩陣身 nnRS ?? ，并將 S 進行分塊： ??????? 2221 1211 SS SSS 其中的 11S 是 r? r 維的。假定 11S 是非奇異的，則 121112122 SSSS ?? 稱為 11S 在 S 中的Schur 補。以下引理給出了矩陣的 Schur 補性質(zhì)。 11 引理 對給定的對稱矩陣 ??????? 2221 1211 SSSSS ，其中 11S 是 r? r 維的。以下三個條件是等價的： (ⅰ ) 0?S 。 (ⅱ ) 0,0 12111122211 ??? ? SSSSS T。 (ⅲ ) 0,0 12122121122 ??? ? TSSSSS 。 對二次非線性矩陣不等式，通過 Schur 補引理可以轉(zhuǎn)化為 LMI，從而推廣 LMI 在控制理論研究中的 應用范圍，其基本思想是：若0)()()()(,0)(),()(),()(Q 1 ????? ? xSxRxSxQxRxRxRxQx TTT 則等價于 ??? ???? 0)( )()( )( xR xSxS xQT 三種最基本的 LMI 問題是： 1) 可行 性 問題 （ LMIP） ： 對給定的線性矩陣不等式 F(x)0，檢驗是否存在 x，使得 F(x)0 成立的問題稱為一個線性矩陣不等式的可行性問題。如果存在這樣的 x，則該線性矩陣不等式問題是可行的，否則這個線性矩陣不等式就是不可行的。 2) 特征值問題 (EVP)： 該問題是在 — 個線性矩陣不等式約束下，求矩陣 G(x)的最大特征值的最小化問題或確定問題的約束是不可行的。它的一般形式是： 0)()(..min??xHIxGts ?? () 這樣一個問題也可以轉(zhuǎn)化成以下的一個等價問題： 0)(..min ?xFts xcT () 這也是 LMI 工具箱中特征值問題求解器所要處理問題的標準形式。問題 ()和問題 ()的相互轉(zhuǎn)化是因為：一方面， 0)(..min ?xFts xcT ?0)(..min??xFxcts T ?? 另一方面， 定義 ? ? ? ? ? ?TTTT cxHIxGd ia gxFxx 1,0,)(,)()?(,? ???? ?? , 則 )?(xF是 x? 的一個仿射函數(shù)，且問題 ()可以寫成： 12 0)?(.. ?min ?xFts xcT 3) 廣義特征值最小優(yōu)化問題： ..mints? 0)(,0)(),()( ??? xCxBxBxA ? 上述問題框架由于：（ 1）有充分的數(shù)值方法可解，如最近發(fā)展起來 用于解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點方法，內(nèi)點方法是多項式時間的全局最優(yōu)化方法； （ 2）非常適合于處理不確定性；（ 3）適合處理設計過程的不同目標，如目標的折中、性能限制和可能性分析等；（ 4）非常寬的應用，不僅僅應用于控制與辨識等原因非常吸引人。 [7]在大多數(shù)的控制應用中， LMI 不會自然有式（ ）的標準形式，而經(jīng)常是如下的仿線性形式 L(X ,X , ,X ) R(X ,X , ,X ) 其 中 L(.)和 R(.)是矩陣變量 X ,X , ,X 的仿線性函數(shù)。許多控制問題具有 LMI 形式，其中包括 Lyapunov 型控制分析和設計， LQG 優(yōu)化控制、 ?H 控制、方差控制、估計與辨識等。 二十世紀九十年代初，隨著求解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點法的提出，線性矩陣不等式再一次受到控制界的關(guān)注，并被應用到系統(tǒng)和控制的各個領(lǐng)域中。許多控制問題可以轉(zhuǎn)化成為一個線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性問題，或者是一個具有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問題。由于有了求解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點法，使得這些問 題可以得到有效的解決。 1995 年， Matlab 推出了求解線性矩陣不等式問題的 LMI工具箱，從而使得人們能夠更加方便和有效地來處理、求解線性矩陣不等式系統(tǒng)，進一步推動了線性矩陣不等式方法在系統(tǒng)和控制領(lǐng)域中的應用。 線性矩陣不等式處理方法可以克服 Riccati 方程處理方法中存在的許多不足。線性矩陣不等式方法給出了問題可解的一個凸約束條件，因此，可以應用求解凸優(yōu)化問題的有效方法來進行求解。正是這種凸約束條件，使得在控制器設計時，得到的不僅僅是一個滿足設計方法的控制器，而是從凸約束條件的任意一個可行解都 可以得到的一個控制器，即可以得到滿足設計要求的一組控制器。 Lyapunov 穩(wěn)定性理論 俄國數(shù)學家和力學家 1892 年所創(chuàng)立的用于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論。對于控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性是需要研究的一個基本問題。在研究線性定常系統(tǒng)時，已有許多判據(jù)如代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)等可用來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論能同時適用于分析線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是更為一般的穩(wěn)定性分析方法。李雅普諾夫穩(wěn)定性理 13 論主要指李雅普諾夫第二方法，又稱李雅普諾夫直接法。李雅普諾夫第二 方法可用于任意階的系統(tǒng)，運用這一方法可以不必求解系統(tǒng)狀態(tài)方程而直接判定穩(wěn)定性。對非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的求解常常是很困難的，因此李雅普諾夫第二方法就顯示出很大的優(yōu)越性。與第二方法相