【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 制精度的要求越來越高，時(shí)滯已經(jīng)不能在分析設(shè)計(jì)時(shí)加以忽略，而是要建立明確的時(shí)滯微分方程以作為更為精確的數(shù)學(xué)模型。因而時(shí)滯系統(tǒng)的研究不僅僅在于理論上巨大意義，還在于實(shí)際控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和應(yīng)用的迫切需要。 魯棒控制自提出以來，很快受到了人們的廣泛重視和研究，取得了一系列的研究結(jié)果和方法，并在一些工程領(lǐng)域中獲得了成功的應(yīng)用。總的來說，不確定性問題、魯棒控制問題、時(shí)滯 系統(tǒng)的控制問題以及魯棒 ?H 問題一直是近二十年來控制界和實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題 。它們之間的結(jié)合所產(chǎn)生的更為復(fù)雜更具有綜合性問題不僅具有豐富的實(shí)際應(yīng)用背景，更具有很高的理論價(jià)值。特別地，隨著線性矩陣不等式及求解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點(diǎn)法的提出，為許多控制問題的分析和求解提供了有效工具。 Matlab 軟件中線性矩陣不等式工具箱的推出使得各種線性矩陣不等式問題的求解更加方便、直接，從而，進(jìn)一步推動(dòng)了線性矩陣不等式處理方法在系統(tǒng)和控制領(lǐng)域中的應(yīng)用。 本文的研究?jī)?nèi)容及安 排 本文主要研究基于狀態(tài)觀測(cè)器的不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)，分別針對(duì)線性不確定系統(tǒng)、線性時(shí)滯不確定系統(tǒng) 設(shè)計(jì) 魯棒控制器，同時(shí)還運(yùn)用 Lyapunov 穩(wěn)定性理論證明了在上述控制器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，最后用 Matlab 的 LMI 工具箱很方便的給出了控制器的解， 并 用 Simulink 對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行了仿真試驗(yàn)，仿真結(jié)果表明上述控制器不僅能夠達(dá)到較好的控制效果，而且具有較強(qiáng)的魯棒性和穩(wěn)定性。 本文研究了基于狀態(tài)觀測(cè)器的魯棒控制器設(shè)計(jì)、線性系統(tǒng)、線性時(shí)滯系統(tǒng)、穩(wěn)定性分析以及在觀測(cè)器設(shè)計(jì)過程中 LMI 參數(shù)選擇的研究。全文共分 為 四 章： 第一章為緒論，簡(jiǎn)要介紹系統(tǒng)不確定性、魯棒控制的起源和發(fā)展以及線性矩陣不等式的發(fā)展。 第二章介紹了狀態(tài)觀測(cè)器 、線性矩陣不等式 、 Lyapunov 穩(wěn)定性理論的相關(guān)知識(shí)。 第三章是基于狀態(tài)觀測(cè)器的線性不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì) ，并驗(yàn)證所 得結(jié)論 。 第四章是基于狀態(tài)觀測(cè)器的線性時(shí)滯不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì) ，并驗(yàn)證所的結(jié)論 。 8 第 2 章 預(yù)備知識(shí) 狀態(tài)觀測(cè)器 狀態(tài)觀測(cè)器就是 根據(jù)系統(tǒng)的外部變量 (輸入變量和輸出變量 )的實(shí)測(cè)值得出狀態(tài)變量估計(jì)值的一類動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，也稱為狀態(tài)重構(gòu)器。 60 年代初期，為了對(duì)控制 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋或其他需要， 、 等人提出狀態(tài)觀測(cè)器的概念和構(gòu)造方法，通過重構(gòu)的途徑解決了狀態(tài)的不能直接量測(cè)的問題。狀態(tài)觀測(cè)器的出現(xiàn)，不但為狀態(tài)反饋的技術(shù)實(shí)現(xiàn)提供了實(shí)際可能性，而且在控制工程的許多方面也得到了實(shí)際應(yīng)用，例如復(fù)制擾動(dòng)以實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)的完全補(bǔ)償?shù)取? 在現(xiàn)代控制理論中，利用狀態(tài)反饋可以對(duì) 系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能的改進(jìn)、給定信號(hào)的漸進(jìn)跟蹤、解耦問題等?？梢哉f狀態(tài)反饋理論在現(xiàn)代控制理論中具有十分重要的作用，但是狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)的前提是系統(tǒng)的所有狀態(tài)都 是可測(cè)的，對(duì)于狀態(tài)不可測(cè)系統(tǒng)，解決問題的方法之一就是基于原系統(tǒng)構(gòu)造一個(gè)全維或降維狀態(tài)觀測(cè)器，以獲得狀態(tài)變量的估值。基于觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)包含了兩個(gè)系統(tǒng)：觀測(cè)器系統(tǒng)和狀態(tài)反饋系統(tǒng)。 為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，需要系統(tǒng)全部的狀態(tài)變量。但在實(shí)際系統(tǒng)中，大部分狀態(tài)變量很難直接測(cè)量到。因此，為了實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制，需要通過一個(gè)模型，利用已知的信息對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)。這樣，可以構(gòu)造一個(gè)與已知實(shí)際系統(tǒng){A,B,C}具有同樣動(dòng)態(tài)方程的模擬系統(tǒng)，用模擬系統(tǒng)的狀態(tài)向量 )(?tx 作為實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)向 量 )(tx 的估計(jì)值。因此，控制器可以看成是實(shí)際對(duì)象的一個(gè)實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)。它利用控制對(duì)象的數(shù)學(xué)模型和輸入變量，采用適當(dāng)?shù)目刂品椒?，以保證狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)可以很快地逼近控制對(duì)象的狀態(tài)。因而狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)又稱為實(shí)際狀態(tài)的估計(jì)值或者估計(jì)狀態(tài)。 [5] 1. 狀態(tài)觀測(cè)器的原理 在一般情況下，系統(tǒng)的輸出量 )(ty 與控制輸入 )(tu 均為已知，所以希望能從)(ty 與 )(tu 對(duì)構(gòu)造的系統(tǒng)模型來估計(jì)出狀態(tài)向量。當(dāng)系統(tǒng)完全可觀測(cè)時(shí)，一定存在狀態(tài)觀測(cè)器。 9 對(duì)于與廣義對(duì)象同維的狀態(tài)觀測(cè)器，有 A?? =A? + uByBx 21?? ?? （ ） 其中， nRx?? 是狀態(tài) x 的估計(jì)值， 22 21 ?,?,? mnpnnn RBRBRA ??? ??? 。對(duì)于降維狀態(tài)觀測(cè)器，有 uByBA 21 ??? ??? ??? （ ） yDCx ?? ?? ?? （ ） 這時(shí) nkpnR k ???? 2,? 是降維觀測(cè)器的狀態(tài)， 222 ,?,?,? 21 pnknmkpkkk RDRCRBRRA ????? ?????? 。 基于狀態(tài)估計(jì)值 x? 的狀態(tài)反饋律為 xFu ?? （ ） 由（ ）式或（ ）式與（ ）式構(gòu)成的控制器 K，最終可轉(zhuǎn)化成 ??? ???? kkkk DBCAK 的形式。對(duì)于由（ ）式和（ ）式構(gòu)成的情況，有 0,?,?,?? 12 ????? kkkk DFCBBFBAA （ ） 其中 xnn ?, ?? ?? 。對(duì)于由（ ）式和（ ）式構(gòu)成的情況，有 DFDCFCDFBBBCFBAA kkkk ?,?,???,??? 212 ?????? （ ） 這時(shí) ??? ?? ,kn 。這樣，閉環(huán)控制系統(tǒng)中由 w 到 z 的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣由（ ）式和（ ）式來描述。 如果給系統(tǒng)加入某種形式的擾動(dòng)，則原系統(tǒng)在直接狀態(tài)反饋下的各項(xiàng)性能指針基本不變，而觀測(cè)器－狀態(tài)反饋系統(tǒng)的響應(yīng)則會(huì)發(fā)生大幅度的變化，響應(yīng)的抖動(dòng)幅度加大，穩(wěn)態(tài)時(shí)間變長(zhǎng)。觀測(cè)的狀態(tài)變量與實(shí)際的狀態(tài)變量間的誤差，只與初始條件有關(guān)，與控制變量無關(guān)。只要現(xiàn)時(shí)狀態(tài)觀測(cè)器是漸進(jìn)穩(wěn)定的，不管初始條件如何，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，觀測(cè)誤差總是趨近于零，即觀測(cè)狀態(tài)趨向于實(shí)際狀態(tài)。 10 線性矩陣不等式 近十多年來，由于線性矩陣不等式 (LMI)的優(yōu)良性能以及數(shù)學(xué)規(guī)劃和解法的突破，特別是內(nèi)點(diǎn)法的提出以及 Matlab 軟件中 LMI 工具箱的推出， LMI 這一工具越來越受到人們的廣泛關(guān)注與重視，使其在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方面得到了廣泛的重視和應(yīng)用，成為這一領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。在此之前，絕大多數(shù)的控制問題都是通過 Riccati 方程或其不等式的方法來表示和求解的。但是，求解 Riccati 方程或其不等式時(shí)，有大量的參數(shù)和正定對(duì)稱矩陣需要預(yù)先調(diào)整，因而有時(shí)即使問題本身是有解的，也不能找出問題的解。這給實(shí)際問題的 解決帶來了很大的不便，而 LMI方法可以很好地彌補(bǔ) Riccati 方程方法的不足，不需要調(diào)整任何參數(shù)，便可獲得問題的解。 [6] 線性矩陣不等式 (LMI)是如下形式： 0)( 110 ????? mm FxFxFxF ? () 其中 mxxx , 21 ? 是 m 個(gè)實(shí)數(shù)變量，稱為 LMI 的決策變量，而 nTm Rxxx ?? ),( 1 ?是由決策變量構(gòu)成的向量，稱為決策向量， nnTii RFF ??? ， mi ,1,0 ?? 是一組給定的實(shí)對(duì)稱矩陣。 （ )式中的不等號(hào)“ ”指的是矩陣 F(x)是負(fù)定的，即對(duì)所有非零的向量 0)(, ?? vxFvRv Tn ，或者 F(x)的最大特征值小于零。 若 F(y)0 和 F(z)0 時(shí)，則 0)2( ??zyF ，所以式（ ）是凸約束。注意到多個(gè) LMI 可用一個(gè) LMI 表示，即 0)(,0)(,0)( 21 ??? xFxFxF m? 等價(jià)于 0)}(,),(),({ 21 ?xFxFxFd ia g m? 在許多將一些非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式的問題中， 我們常常用到矩陣的 Schur 補(bǔ)性質(zhì)?？紤]一個(gè)矩陣身 nnRS ?? ，并將 S 進(jìn)行分塊： ??????? 2221 1211 SS SSS 其中的 11S 是 r? r 維的。假定 11S 是非奇異的，則 121112122 SSSS ?? 稱為 11S 在 S 中的Schur 補(bǔ)。以下引理給出了矩陣的 Schur 補(bǔ)性質(zhì)。 11 引理 對(duì)給定的對(duì)稱矩陣 ??????? 2221 1211 SSSSS ，其中 11S 是 r? r 維的。以下三個(gè)條件是等價(jià)的： (ⅰ ) 0?S 。 (ⅱ ) 0,0 12111122211 ??? ? SSSSS T。 (ⅲ ) 0,0 12122121122 ??? ? TSSSSS 。 對(duì)二次非線性矩陣不等式，通過 Schur 補(bǔ)引理可以轉(zhuǎn)化為 LMI，從而推廣 LMI 在控制理論研究中的 應(yīng)用范圍，其基本思想是：若0)()()()(,0)(),()(),()(Q 1 ????? ? xSxRxSxQxRxRxRxQx TTT 則等價(jià)于 ??? ???? 0)( )()( )( xR xSxS xQT 三種最基本的 LMI 問題是： 1) 可行 性 問題 （ LMIP） ： 對(duì)給定的線性矩陣不等式 F(x)0，檢驗(yàn)是否存在 x，使得 F(x)0 成立的問題稱為一個(gè)線性矩陣不等式的可行性問題。如果存在這樣的 x，則該線性矩陣不等式問題是可行的，否則這個(gè)線性矩陣不等式就是不可行的。 2) 特征值問題 (EVP)： 該問題是在 — 個(gè)線性矩陣不等式約束下，求矩陣 G(x)的最大特征值的最小化問題或確定問題的約束是不可行的。它的一般形式是： 0)()(..min??xHIxGts ?? () 這樣一個(gè)問題也可以轉(zhuǎn)化成以下的一個(gè)等價(jià)問題： 0)(..min ?xFts xcT () 這也是 LMI 工具箱中特征值問題求解器所要處理問題的標(biāo)準(zhǔn)形式。問題 ()和問題 ()的相互轉(zhuǎn)化是因?yàn)椋阂环矫妫? 0)(..min ?xFts xcT ?0)(..min??xFxcts T ?? 另一方面， 定義 ? ? ? ? ? ?TTTT cxHIxGd ia gxFxx 1,0,)(,)()?(,? ???? ?? , 則 )?(xF是 x? 的一個(gè)仿射函數(shù)，且問題 ()可以寫成： 12 0)?(.. ?min ?xFts xcT 3) 廣義特征值最小優(yōu)化問題： ..mints? 0)(,0)(),()( ??? xCxBxBxA ? 上述問題框架由于：（ 1）有充分的數(shù)值方法可解，如最近發(fā)展起來 用于解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點(diǎn)方法，內(nèi)點(diǎn)方法是多項(xiàng)式時(shí)間的全局最優(yōu)化方法； （ 2）非常適合于處理不確定性；（ 3）適合處理設(shè)計(jì)過程的不同目標(biāo)，如目標(biāo)的折中、性能限制和可能性分析等；（ 4）非常寬的應(yīng)用，不僅僅應(yīng)用于控制與辨識(shí)等原因非常吸引人。 [7]在大多數(shù)的控制應(yīng)用中， LMI 不會(huì)自然有式（ ）的標(biāo)準(zhǔn)形式，而經(jīng)常是如下的仿線性形式 L(X ,X , ,X ) R(X ,X , ,X ) 其 中 L(.)和 R(.)是矩陣變量 X ,X , ,X 的仿線性函數(shù)。許多控制問題具有 LMI 形式，其中包括 Lyapunov 型控制分析和設(shè)計(jì)， LQG 優(yōu)化控制、 ?H 控制、方差控制、估計(jì)與辨識(shí)等。 二十世紀(jì)九十年代初，隨著求解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點(diǎn)法的提出，線性矩陣不等式再一次受到控制界的關(guān)注，并被應(yīng)用到系統(tǒng)和控制的各個(gè)領(lǐng)域中。許多控制問題可以轉(zhuǎn)化成為一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性問題，或者是一個(gè)具有線性矩陣不等式約束的凸優(yōu)化問題。由于有了求解凸優(yōu)化問題的內(nèi)點(diǎn)法，使得這些問 題可以得到有效的解決。 1995 年， Matlab 推出了求解線性矩陣不等式問題的 LMI工具箱，從而使得人們能夠更加方便和有效地來處理、求解線性矩陣不等式系統(tǒng)，進(jìn)一步推動(dòng)了線性矩陣不等式方法在系統(tǒng)和控制領(lǐng)域中的應(yīng)用。 線性矩陣不等式處理方法可以克服 Riccati 方程處理方法中存在的許多不足。線性矩陣不等式方法給出了問題可解的一個(gè)凸約束條件，因此，可以應(yīng)用求解凸優(yōu)化問題的有效方法來進(jìn)行求解。正是這種凸約束條件，使得在控制器設(shè)計(jì)時(shí)，得到的不僅僅是一個(gè)滿足設(shè)計(jì)方法的控制器，而是從凸約束條件的任意一個(gè)可行解都 可以得到的一個(gè)控制器，即可以得到滿足設(shè)計(jì)要求的一組控制器。 Lyapunov 穩(wěn)定性理論 俄國(guó)數(shù)學(xué)家和力學(xué)家 1892 年所創(chuàng)立的用于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論。對(duì)于控制系統(tǒng)，穩(wěn)定性是需要研究的一個(gè)基本問題。在研究線性定常系統(tǒng)時(shí)，已有許多判據(jù)如代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)等可用來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論能同時(shí)適用于分析線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是更為一般的穩(wěn)定性分析方法。李雅普諾夫穩(wěn)定性理 13 論主要指李雅普諾夫第二方法，又稱李雅普諾夫直接法。李雅普諾夫第二 方法可用于任意階的系統(tǒng)，運(yùn)用這一方法可以不必求解系統(tǒng)狀態(tài)方程而直接判定穩(wěn)定性。對(duì)非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的求解常常是很困難的，因此李雅普諾夫第二方法就顯示出很大的優(yōu)越性。與第二方法相