狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)習(xí)題(編輯修改稿)
2025-07-04 21:20 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 得： （519）例54設(shè)階單輸入線性定常系統(tǒng)為，求狀態(tài)反饋，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為解1：原系統(tǒng)為能控標(biāo)準(zhǔn)形，特征多項(xiàng)式為，不滿足穩(wěn)定的必要條件。希望狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)為我們所希望的特征多項(xiàng)式，即， 綜合可得：；；，求的狀態(tài)反饋為閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：解2：對(duì)某些低階的簡(jiǎn)單系統(tǒng)可以采用“直接法”配置極點(diǎn)。設(shè)反饋矩陣為，我們希望閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)例52圖 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖比較可得：,；所求狀態(tài)反饋為： 極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)算法 單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置主要有兩種方法：通過(guò)能控標(biāo)準(zhǔn)型（非能控標(biāo)準(zhǔn)型可以通過(guò)非奇異變換變成能控標(biāo)準(zhǔn)型）的設(shè)計(jì)方法稱為變換法；利用系統(tǒng)特征多項(xiàng)式和希望的特征多項(xiàng)式相等的充要條件，使兩多項(xiàng)式同次冪的系數(shù)相等，可以直接解出增益矩陣，稱為直接法。例55（）被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為，設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為。解：為了便于設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器的實(shí)施，描述被控對(duì)象的狀態(tài)空間模型應(yīng)當(dāng)盡可能地選擇那些易于直接測(cè)量的信號(hào)作為狀態(tài)變量。將傳遞函數(shù)做一下串聯(lián)分解，將串聯(lián)子系統(tǒng)的輸出選為狀態(tài)變量，顯然，這樣的狀態(tài)變量容易直接測(cè)量。由此得到狀態(tài)空間模型為，（1）變換法 首先確定非奇異變換，將串聯(lián)分解實(shí)現(xiàn)變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。由于 所希望的 系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)型為 故狀態(tài)變換矩陣 ，要設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器增益為 即 （2）直接法 設(shè) 其閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為 比較可知 即 工程實(shí)踐中，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性往往以時(shí)域指標(biāo)給出，比如要求超調(diào)量小于等于多少，超調(diào)時(shí)間不超過(guò)多少，阻尼振蕩頻率不大于多少等。例56（）設(shè)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為，試在系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形下，求狀態(tài)反饋，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足：超調(diào)量，峰值時(shí)間（超調(diào)時(shí)間），阻尼振蕩頻率。解：由分母，所以，系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)空間模型為，被控對(duì)象的特征多項(xiàng)式為，系數(shù)不嚴(yán)格為正，為二階不穩(wěn)定系統(tǒng)，其極點(diǎn)。經(jīng)反饋后，閉環(huán)二階系統(tǒng)應(yīng)變?yōu)槲覀兯Ｍ姆€(wěn)定的特征多項(xiàng)式， 要求系統(tǒng)性能指標(biāo)滿足：，，當(dāng)時(shí)，滿足上述條件。經(jīng)配置后應(yīng)為二階穩(wěn)定系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為：故閉環(huán)特征多項(xiàng)式反饋增益為所求的狀態(tài)反饋為 例57（）倒立擺系統(tǒng)的線性化狀態(tài)空間模型（對(duì)應(yīng)）為 其中 是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，是擺桿的角位移，是小車的位移，是作用在小車上的力。設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)是解：開環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 ，對(duì)應(yīng)極點(diǎn) 因此，開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，這和直觀感受到的現(xiàn)象是一致的。以初始狀態(tài)的開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖進(jìn)一步驗(yàn)證了這一事實(shí)：但倒立擺系統(tǒng)是能控的，因此可以進(jìn)行極點(diǎn)配置，以保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。用直接法求得 閉環(huán)系統(tǒng)為 再在閉環(huán)系統(tǒng)中考察初始狀態(tài)的響應(yīng)，編制和執(zhí)行以下m文件（參見），可得 Ackermann公式Ackermann公式給出了極點(diǎn)配置的解析表達(dá)式，特別適合于編程計(jì)算。假設(shè)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)為，線性狀態(tài)反饋控制器為，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 （520）則極點(diǎn)配置要求滿足 （521）根據(jù)凱萊哈米爾頓定理，應(yīng)滿足其自身的特征方程，即 （522）為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，以為例，可以方便地推廣到任意階的單輸入系統(tǒng)考慮恒等式 將上述等式分別并相加得即 應(yīng)用（522） （523）由于系統(tǒng)完全能控，能控性矩陣可逆，故 兩邊左乘“提取”向量，可得 （524）顯然，此結(jié)果推廣到階單輸入系統(tǒng)。 （525）（525）稱為Ackermann公式。 應(yīng)用Matlab求解極點(diǎn)配置 Matlab提供了兩個(gè)函數(shù)acker和place來(lái)確定極點(diǎn)配置的增益矩陣。函數(shù)acker就是基于Ackermann公式，他只能應(yīng)用到單輸入系統(tǒng)，要配置的閉環(huán)極點(diǎn)中可以包括多重極點(diǎn)。如果系統(tǒng)有多個(gè)輸
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