狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)習(xí)題(已修改)
2025-06-19 21:20 本頁面
【正文】 《現(xiàn)代控制理論》講義 第五章 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)習(xí)題Chapter5 狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì) 控制方式有“開環(huán)控制”、“閉環(huán)控制”。“開環(huán)控制”就是把一個(gè)確定的信號(hào)（時(shí)間的函數(shù)）加到系統(tǒng)輸入端，使系統(tǒng)具有某種期望的性能。然而，由于建模中的不確定性或誤差、系統(tǒng)運(yùn)行過程中的擾動(dòng)等因素使系統(tǒng)產(chǎn)生一些意想不到的情況，這就要求對(duì)這些偏差進(jìn)行及時(shí)修正，這就是“反饋控制”。在經(jīng)典控制理論中，我們依據(jù)描述控制對(duì)象輸入輸出行為的傳遞函數(shù)模型來設(shè)計(jì)控制器，因此只能用系統(tǒng)輸出作為反饋信號(hào)，而在現(xiàn)代控制理論中，則主要通過更為廣泛的狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行綜合。 通過狀態(tài)反饋來改變和控制系統(tǒng)的極點(diǎn)位置可使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的動(dòng)態(tài)特性。利用狀態(tài)反饋構(gòu)成的調(diào)節(jié)器，可以實(shí)現(xiàn)各種目的，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足設(shè)計(jì)要求。，通過狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置，使閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量，峰值時(shí)間（超調(diào)時(shí)間），阻尼振蕩頻率。 線性反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與性質(zhì) 設(shè)系統(tǒng)為 （51） 圖51 經(jīng)典控制輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)經(jīng)典控制中采用輸出(和輸出導(dǎo)數(shù))反饋（圖51）： 為標(biāo)量，為參考輸入 （52） 可見，在經(jīng)典控制中，通過適當(dāng)選擇，可以利用輸出反饋改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能?，F(xiàn)代控制中采用狀態(tài)反饋（圖51）： ，（的行=的行，的列=的行）稱為狀態(tài)反饋增益矩陣。狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 （53） 式中： （54）圖52 現(xiàn)代控制狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)若，“狀態(tài)反饋”退化成“輸出反饋”，表明“輸出反饋”只是“狀態(tài)反饋”的一種特例，因此，在經(jīng)典控制理論中的“輸出反饋”（比例控制P）和“輸出導(dǎo)數(shù)反饋”（微分控制D）能實(shí)現(xiàn)的任務(wù)，狀態(tài)反饋必能實(shí)現(xiàn)，反之則未必。定理51（） 若階系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則經(jīng)過狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)仍然是狀態(tài)完全能控的。即狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。但狀態(tài)反饋不一定能保持原系統(tǒng)的能觀性。證明 對(duì)系統(tǒng)（51）的任意能控狀態(tài)，根據(jù)能控性定義，在時(shí)間內(nèi)，存在一個(gè)控制作用，使得在該控制作用下。對(duì)（51）加了狀態(tài)反饋控制律后，需要證明仍然是閉環(huán)系統(tǒng)（53）的能控狀態(tài)。事實(shí)上，在時(shí)間段上，取 （55）則由于 所以，也是閉環(huán)系統(tǒng)（53）的能控狀態(tài)。由于的任意性，定理得證。例51原系統(tǒng)為，狀態(tài)反饋矩陣為 ，討論系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)反饋前后的能控性和能觀性。解：原系統(tǒng)能控且能觀；經(jīng)狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)反饋后能控性不變；但，系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)反饋后不能保持原系統(tǒng)的能觀性（狀態(tài)反饋有可能改變輸出端）。定理52（）“輸出反饋”不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性（證明略）。定理53（）對(duì)能控的單輸入、單輸出系統(tǒng)，“狀態(tài)反饋”不能移動(dòng)系統(tǒng)的零點(diǎn)（證明見）。證明：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 ，由于系統(tǒng)的能控性，狀態(tài)空間模型必能通過非奇異變換得到（等價(jià)于）能控標(biāo)準(zhǔn)型，由關(guān)系式 可得 由于等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的傳遞函數(shù)，所以（1）采用狀態(tài)反饋后，同理可得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) （2）其中 。由（1）、（2）可知，狀態(tài)反饋僅改變傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)（只改變系統(tǒng)的極點(diǎn)多項(xiàng)式），而不會(huì)改變分子多項(xiàng)式的系數(shù)。此時(shí)，只要不發(fā)生零極點(diǎn)相消的現(xiàn)象，狀態(tài)反饋就不能改變零點(diǎn)。證畢。 穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì) 穩(wěn)定是一個(gè)系統(tǒng)正常運(yùn)行的首要條件。若一個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，則必須運(yùn)用外部控制設(shè)法讓其穩(wěn)定。如何確定增益矩陣，使下面閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的？ （56） 根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)（56）漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是存在一個(gè)二次型的Lyapunov函數(shù)，其中是待定的對(duì)稱正定矩陣?？梢酝ㄟ^使標(biāo)量函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的來確定和。 Riccati矩陣方程處理方法這種方法可用來處理非線性系統(tǒng)、時(shí)滯系統(tǒng)等各類系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，也可用于魯棒控制器的設(shè)計(jì)。對(duì)標(biāo)量函數(shù)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)： （57）應(yīng)用可知，后面兩項(xiàng)“標(biāo)量”相等
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