【文章內容簡介】 （213）的一個最小維狀態(tài)觀測器z=(A22 EA12)z+[(A21 EA11)+(A22 EA12) E]y+(B2 EB1)ux=Q1y+Q2z+Ey=Q2z+Q1+Q2Ey (218) 降維狀態(tài)觀測器的結構圖如圖23所示。圖23 降維狀態(tài)觀測器結構圖 線性二次型最優(yōu)控制問題 無限時間狀態(tài)調節(jié)器問題給定完全能控的線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程x=Ax+Bu , xt0=x0 (219)以及性能指標J=12t0∞[xTtQxt+uTtRu(t)]dt (220)其中Q和R均為定常對稱正定矩陣。假定u(t)不受約束，要求確定最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標（220）達到最小值。這類問題稱為無限時間的狀態(tài)調節(jié)器問題。定理210 對于受控系統(tǒng)（219）及其性能指標（220），設[A,B]能控，則存在惟一的最優(yōu)控制u*t=R1BTPx(t) (221)最優(yōu)性能指標簡化為J*=12x*Tt0Px*(t0) (222)式中，x*(t0)= x0。它所對應的最優(yōu)軌跡是下式的解x*t，即x*(t)=ABR1BTPx*(t) (223)矩陣P為Riccati代數(shù)方程的惟一對稱正定解。ATP+PAPBR1BTP+Q=0 (224)MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了求無限時間狀態(tài)調節(jié)問題的函數(shù)lqr()，其調用格式為K,P,E=lqr(A,B,Q,R)其中，A為系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，B為系統(tǒng)的輸入矩陣，Q,R均為給定的定常對稱正定矩陣,K為最優(yōu)反饋增益矩陣，S為對應Riccati代數(shù)方程的惟一正定解P（若矩陣ABK是穩(wěn)定矩陣，則總有正定解P存在），E為矩陣ABK的特征值。 無限時間輸出調節(jié)器問題給定完全能觀的線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程x=Ax+Bu , xt0=x0y=Cx (225)以及性能指標J=12t0∞[yTtQyt+uTtRu(t)]dt (226)其中Q為定常半正定對稱矩陣， R為定常對稱正定矩陣。假定u(t)不受約束，要求確定最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標（226）達到最小值。這類問題稱為無限時間的輸出調節(jié)器問題。定理211 對于受控系統(tǒng)（225）及其性能指標（226），設[A,B]能控，[A,C]能觀，R0，Q=DT，D≥0，且[A,DC]能觀，則存在惟一的最優(yōu)控制u*t=R1BTPx(t) (227)最優(yōu)性能指標簡化為J*=12x*Tt0Px*(t0) (228)式中，x*(t0)= x0。它所對應的最優(yōu)軌跡是下式的解x*t，即x*t=[ABR1BTP]x*t (229)矩陣P為Riccati代數(shù)方程的惟一對稱正定解。PA+ATPPBR1BTP+CTQC=0 (230)MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了求無限時間狀態(tài)調節(jié)問題的函數(shù)lqry()，其調用格式為K,P,E=lqry(A,B,Q,R)其中，A為系統(tǒng)的系數(shù)矩陣，B為系統(tǒng)的輸入矩陣，Q為定常半正定對稱矩陣， R為定常對稱正定矩陣, K為最優(yōu)反饋增益矩陣，S為對應Riccati代數(shù)方程的惟一正定解P（若矩陣ABK是穩(wěn)定矩陣，則總有正定解P存在），E為矩陣ABK的特征值。 最優(yōu)跟蹤問題對于受控系統(tǒng)（225），給定輸出參考信號yr，并定義誤差向量et=yry(t)，其最優(yōu)跟蹤問題中的性能指標為J=12t0tf[eTtQet+uTtRu(t)]dt (231)其中Q,R均為定常對稱正定矩陣。假定u(t)不受約束，要求確定最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標（231）達到最小值。這個問題的實質是用不大的控制能量，使系統(tǒng)輸出變量y跟蹤輸出參考信號yr的變化，故稱為跟蹤問題。定理212 設[A,B]能控，A,C能觀,R0，Q=DT，D≥0，則系統(tǒng)（225）在指標（231）下的最優(yōu)控制為u*t=R1BTPxt+R1BTg (232)它所對應的最優(yōu)軌跡是下式的解x*t，即x*t=(ABR1BTP)x*t+BR1BTg (233)其中矩陣P為下列Riccati代數(shù)方程的正定解PA+ATPPBR1BTP+CTQC=0 (234)而常數(shù)向量g≈(PBR1BTAT)1CTQyr (235) 本章小結 本章介紹了線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述法、系統(tǒng)能控性和能觀性的定義及判據(jù)、狀態(tài)反饋的概念和極點配置的方法、狀態(tài)觀測器的分類及其構造方法、線性二次型最優(yōu)控制問題的定義及求解方法，為后續(xù)章節(jié)基于MATLAB語言和GUI界面設計反饋控制器和狀態(tài)觀測器奠定了理論基礎。第3章 反饋控制器與狀態(tài)觀測器的程序設計法 程序設計軟件簡介 MATLAB簡介MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）的簡稱，是美國Math Works公司發(fā)布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設計語言的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平[13]。 GUIDE簡介 GUIDE是MATLAB圖形用戶接口開發(fā)環(huán)境（Graphical User Interface Development Environment）的簡稱，它提供了一系列建立GUI對象的開發(fā)工具，圖形化的界面極大的簡化了GUI設計過程中的界面布局操作。在GUIDE中提供了多種功能強大但性能各異的GUI對象, 設計者可根據(jù)功能需要自由調用、組合。界面布局完成后, 再編寫包含GUI對象運行所需代碼的M文件即可[14]。 Simulink簡介Simulink是MATLAB中的一種可視化仿真工具， 是一種基于MATLAB的框圖設計環(huán)境，是實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的集成環(huán)境。Simulink具有適應面廣、結構清晰、仿真精細、貼近實際、效率高、使用靈活等優(yōu)點，并基于以上優(yōu)點，Simulink已被廣泛應用于控制理論和數(shù)字信號處理的復雜仿真和設計[15]。 程序總體設計流程圖 本軟件是基于MATLAB語言和GUI界面而設計，共包含了“登錄”界面、“軟件簡介”界面、“參數(shù)設置”界面等12個界面，可根據(jù)給定的系統(tǒng)參數(shù)判斷系統(tǒng)的能控性和能觀性，并自動生成反饋控制器模型或狀態(tài)觀測器模型。程序總體設計流程圖如圖31所示：開始登錄界面軟件簡介參數(shù)輸入?yún)?shù)是否有效NY控制器設計類型選擇LQ最優(yōu)控制器輸出結果結束輸出結果結束參數(shù)是否完整參數(shù)是否完整能控性判斷能觀性判斷NYNNY輸出結果降維狀態(tài)觀測器輸出結果全維狀態(tài)觀測器觀測器設計類型選擇結束極點配置控制器參數(shù)是否完整參數(shù)是否完整NNNNYYYY結束圖31 程序總體設計流程圖 反饋控制器的MATLAB設計法 反饋控制器的流程圖設計結合反饋控制器的研究內容及程序總體設計流程圖,不難得出反饋控制器的設計流程圖，如圖32所示。 反饋控制器的功能設計本論文所設計的反饋控制器，主要可以實現(xiàn)如下功能：（1）系統(tǒng)能控性的自動判斷；（2）極點配置控制器的自動求解；（3）LQR最優(yōu)控制器的自動求解。鑒于此，我們分別用MATLAB語言實現(xiàn)上述功能。1）系統(tǒng)能控性的自動判斷, MATLAB自帶的ctrb函數(shù)可以根據(jù)給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式自動生成系統(tǒng)的能控性矩陣Qc，其調用格式為：Qc=ctrb(A,B)，然后再根據(jù)能控性矩陣的秩是否等于系數(shù)矩陣A的維數(shù)來判斷系統(tǒng)是否能控。MATLAB程序見附錄2。 在這里，必須明確一點，那就是當我們直接利用系統(tǒng)的能控性矩陣來判斷系統(tǒng)是否能控時，系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)A和B必須滿足如下關系：（1）系數(shù)矩陣A和控制矩陣B缺一不可；（2）系數(shù)矩陣A必須為方陣；（3）控制矩陣B的行數(shù)必須與系數(shù)矩陣A的列數(shù)一致；否則，系統(tǒng)報錯[16]。 2）極點配置控制器的自動求解,求解極點配置控制器的實質就是確定反饋控制律u=vKx中K的取值。在MATLAB控制工具箱中，直接用于系統(tǒng)極點配置的函數(shù)有acker()和place()，調用格式為K=acker(A,B,P)和K=place(A,B,P)。其中acker()函數(shù)可以求解多重極點的配置，但只能用于單輸入系統(tǒng)；place()函數(shù)可用于單輸入和多輸入系統(tǒng)，但不能求解多重極點配置的問題。MATLAB程序見附錄3。 3）LQR最優(yōu)控制器的自動求解,求解LQR最優(yōu)控制器的實質就是確定反饋控制律u=Kx中K的取值。MATLAB控制工具箱提供了求無限時間調節(jié)問題的函數(shù)lqr()和lqry()，調用格式為K=lqr(A,B,Q,R)和K=lqry(A,B,Q,R)，其中Q為半正定實對稱矩陣，R為正定實對稱矩陣。MATLAB程序見附錄4。開始登錄界面軟件簡介參數(shù)輸入?yún)?shù)是否有效NY能控性判斷NY控制器設計類型選擇LQ最優(yōu)控制器狀態(tài)反饋控制器參數(shù)是否完整有效參數(shù)是否完整有效NNYY輸出結果輸出結果結束結束圖32 反饋控制器設計流程圖 反饋控制器的GUI界面設計 GUI界面可通過兩種方法來設計，一是編寫M函數(shù)文件，一是直接利用GUIDE建立，本論文采用后一種方法。這是因為GUIDE提供了一系列工具用于直接建立GUI對象，極大地簡化了設計和建立GUI的過程,可使初次接觸MATLAB或GUI的讀者不必精通MATLAB程序語言就能設計出美觀實用的GUI界面[17]。根據(jù)本論文的研究內容，我們建立以下GUI界面:　 1)登錄界面 登錄界面的主體是一張實景圖，并輔以作者本人的學號、姓名、班級和畢業(yè)設計課題名稱等信息。我們先通過GUIDE新建一個GUI初始界面，如圖33所示：圖33 GUI初始界面在GUI界面中讀入并顯示圖片需添加坐標軸（Axes），其MATLAB程序如下所示：I=imread(39。39。 , 39。jpg39。)。 %顯示被控對象的模型axes ()。 %設定坐標系為當前坐標系image(I)。 %顯示讀入的圖片set(,39。visible39。,39。off39。)。 %此句等同于axis off 在GUIDE中單純地要顯示信息，只需添加靜態(tài)文本（Static Text）就能實現(xiàn)，為使界面美觀，再設置靜態(tài)文本中相關屬性即可。此外，我們還需添加兩個觸控按鈕（Push Button），“登錄”按鈕用以實現(xiàn)跳入下一界面，并關閉本界面；“退出”按鈕用以實現(xiàn)直接退出本界面，但不關閉MATLAB窗口。“登錄”( “確定”按鈕的程序設計同此)按鈕的回調函數(shù)如下所示：jianjie。 %指定跳入下一界面close gcbf。 %關閉本界面“退出”按鈕的回調函數(shù)如下所示：close(gcbf)。 %關閉本界面 至此，設計好的登錄界面效果圖如圖34所示：圖34 登錄界面效果圖 2）軟件簡介界面軟件簡介界面主要還是應用了上節(jié)內容中靜態(tài)文本（Static Text）和觸控按鈕（Push Button）的相關知識，其效果圖如圖35所示：圖35 軟件簡介界面效果圖 3）參數(shù)設置界面 參數(shù)設置界面除用到之前的靜態(tài)文本（Static Text）和觸控按鈕（Push Button）外，還用到了可編輯文本（Edit Text），用以實時輸入或顯示數(shù)據(jù)內容。 由于MATLAB本來就是以矩陣或數(shù)組的形式讀入或寫出數(shù)據(jù)的，故可直接在可編輯文本中寫入矩陣，只是要將寫入的數(shù)據(jù)進行運算時，再用str2num命令將字符串轉化為數(shù)值數(shù)據(jù)即可[18]。MATLAB程序見附錄1。 由于所輸入的各參數(shù)值均要作為后續(xù)分析設計的已知量，為了方便后續(xù)操作對給定數(shù)據(jù)的直接讀取調用，設輸入的系數(shù)矩陣A、控制矩陣B、輸出矩陣C和直饋矩陣D的值為全局變量[19]，設置方法如下所示： %本界面global A B C D A = get(,39。String39。)。B = get(,39。String39。)。C = get(,39。String39。)。D = get(,39。Stri