【文章內(nèi)容簡介】 選法（列席代表人數(shù)不限）。統(tǒng)計(jì)方法一：先選正式代表，再從人中選列席代表，總的選法為。統(tǒng)計(jì)方法二：先選m＋k人（k＝0, 1, …, n－m） ，再從中選出m名正式代表，其余的k人為列席代表，有種選法。總數(shù)＝ 多項(xiàng)式系數(shù)（一） Newton二項(xiàng)式(1) 二項(xiàng)展開式Newton二項(xiàng)式定理（n是正整數(shù)）右端稱為二項(xiàng)式(a＋b)n的展開式，叫做二項(xiàng)式系數(shù)。(2) 組合意義分配問題：將n個(gè)相異的球放入兩個(gè)盒子，a盒放入個(gè)，b盒放入個(gè)，同盒的球不分次序，方案數(shù)為＝即項(xiàng)的系數(shù)為組合數(shù)。例 ＝(a＋b)(a＋b)＝aa＋ab＋ba＋bb＝＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝(aa＋ab＋ba＋bb)(a＋b)＝aaa＋aab＋aba＋abb＋baa＋bab＋bba＋bbb＝產(chǎn)生系數(shù)的根源：同一單項(xiàng)式中有順序，即排列問題（球不同的分配問題）。排列問題：從兩種元素中選n個(gè)的排列（a選r個(gè)，b選個(gè)）（二） 一般分配問題問題：將n個(gè)相異的球放入t個(gè)盒子，要求第1個(gè)盒子放入個(gè)，第2個(gè)盒子放入個(gè)，……，第t個(gè)盒子放入個(gè)，且盒中的球無次序，求不同的分配方案數(shù)。轉(zhuǎn)化：求（n1＋n2＋…＋nt＝n）的全排列數(shù)RP(n，n)：仿照二項(xiàng)式系數(shù)，記為。（三） 多項(xiàng)式系數(shù)一般多項(xiàng)式系數(shù)與的關(guān)系：＝x3＋y3＋z3＋3x2y＋3xy2＋3x2z＋…＋6xyz＝x3＋ y3＋ z3＋x2y ＋xy2＋x2z＋…＋xyz＝x3＋y3＋z3＋x2y＋xy2＋x2z ＋…＋【】設(shè)n與t均為正整數(shù)，則有＝其中求和是在使的所有非負(fù)整數(shù)數(shù)列（n1,n2,…,nt）上進(jìn)行。（證）＝（1）所有項(xiàng)都具形式，且（2）一般項(xiàng)的系數(shù)：個(gè)因式中選取，得項(xiàng)，其系數(shù)為＝＝＝稱為多項(xiàng)式系數(shù)。（四） 多項(xiàng)式展開的項(xiàng)數(shù)【】展開式的項(xiàng)數(shù)等于，而這些項(xiàng)的系數(shù)之和為.（證）展開式的項(xiàng)從t種元素中取n個(gè)的n可重組合。＝1得＝（五） 例【】求的展開式。（解）n＝3，t＝4，有RC(∞，3)＝C(4＋3－1，3)＝20（項(xiàng)）＝＋＋…＋＋…＋＋＋…＋＝＋＋＋＋3＋3＋3＋…＋3＋6abc＋6abd＋6acd＋6bcd【】的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)。＝420【】在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是什么？（解）令。l 展開：的系數(shù)＝＝中的系數(shù)l 的系數(shù)：＝＝－36000【】求證，n≥1（證）（證明組合等式）在二項(xiàng)式中取a＝－x，b＝1＋x1＝＝＝【】今天是星期日，再過天是星期幾？（解）（求余數(shù)，同余運(yùn)算）＝＝＝等價(jià)問題：除以7的余數(shù)＝除以7的余數(shù)＝＝＝＝≡4（mod 7）另法：＝＝＝＝＝＝－3≡4（mod 7）（六） 問題請(qǐng)給出多項(xiàng)式的展開式中和兩項(xiàng)的系數(shù)（答：22680，－189/2）。 排列的生成算法1. 6. 1 序數(shù)法（一） 數(shù)的位權(quán)表示（1）十進(jìn)制數(shù)：小于的正整數(shù)n的位權(quán)形式：n＝， 0≤≤9＜10例 315＝（r＝3）（2）推廣（p進(jìn)制數(shù)）n＝， 0≤＜p（3）特點(diǎn)：①固定進(jìn)制；②逢p進(jìn)一；③十進(jìn)制r位數(shù)最小為0，最大為999…9＝－1＜；④將十進(jìn)制換算為p進(jìn)制數(shù)方法：除p取余法。（二） 變進(jìn)制表示（1）依據(jù)： n!＝(n－1)(n－1)!＋(n－1)!遞歸：n!＝(n－1)(n－1)!＋(n－2)(n－2)!＋(n－2)!＝(n－1)(n－1)!＋(n－2)(n－2)!＋(n－3)(n－3)!＋(n－3)!……＝(n－1)(n－1)!＋(n－2)(n－2)!＋…＋22!＋11!＋1!n!＝＋1n!－1＝(n－1)(n－1)!＋(n－2)(n－2)!＋…＋22!＋11!類似 －1＝9＋9＋…＋9101＋9結(jié)論：從0到n!－1的任何整數(shù)m都可唯一地表示為m＝(n－1)!＋(n－2)!＋…＋2!＋1!＝其中 （＝1，2，…，n－1）結(jié)論： m將十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為變進(jìn)制：20＝3*3!＋1*2!＋0*1!＝(310)30＝1*4!＋1*3!＋0*2!＋0*1!＝(1100)100＝4*4!＋0*3!＋2*2!＋0*1!＝(4020)200＝(13110)，8005＝(143201)（2）的計(jì)算記 ＝an－1＋an－2＋…＋a3＋a2m247。2!＝＝＝＋＋…＋＋(m－)247。3!＝算法：其中表示不大于x的最大整數(shù)。 （3）特點(diǎn)：① 變進(jìn)制；② 從右向左，第位逢＋1進(jìn)一；③n－1位數(shù)最小為0，最大為：(n－1)(n－1)!＋(n－2)(n－2)!＋…＋22!＋11!＝n!－1＜n!；④將十進(jìn)制換算為變進(jìn)制數(shù)方法。（三） 序數(shù)法（1）規(guī)則設(shè)n 個(gè)元素為1，2，…，n。特點(diǎn)：n元排列n－1位變進(jìn)制數(shù)。對(duì)應(yīng)規(guī)則：序列排列（p）＝，其中ai為排列（p）中數(shù)i＋1所在位置后面比i＋1小的數(shù)的個(gè)數(shù)，即排列（p）中從數(shù)i＋1開始向右統(tǒng)計(jì)不大于i的數(shù)的個(gè)數(shù)（2）實(shí)例1）排列數(shù)：n＝4 （p）＝（3124）＝(020)2）數(shù)排列 ＝(111) （p）＝（2341）3）數(shù) (7 3 5 2 3 3 2 2 0) 排列 3 5 A 8 6 4 9 7 1 2 數(shù) (987654321) 排列A 9 8 7 6 5 4 3 2 14）排列 3, 5, 7, 9, A, 8, 6, 4, 2, 1 數(shù) (5 5 4 4 3 3 2 2 1)（3）例：4元排列的生成ma3 a2 a1p1 p2 p3 p4ma3 a2 a1p1 p2 p3 p4012345678910110000010100110200211001011101111201211234213413242314312432141243214313422341314232411213141516171819202122232002012102112202213003013103113203211423241314322431341234214123421341324231431243211. 6. 2 字典序法（一） 算法將所有n元排列按照“字典順序”排成隊(duì)。初始排列： 設(shè)當(dāng)前排列為（1） 求滿足關(guān)系式的k的最大值，設(shè)為i，即（2） 求滿足關(guān)系式的k的最大值，設(shè)為j，即（3） 與互換位置得（4） 中部分的元素順序逆轉(zhuǎn)，得新排列。（二） 例（1）設(shè)＝3421：i＝2，j＝2，p1與p2交換得q1 q2 q3 q4 ＝4321，321逆轉(zhuǎn)得下一排列4123 。n＝4的全部排列：1234 → 1243 → 1324 → 1342 → 1423 → 1432 → 2134 → 2143 →2314 → 2341 → 2413 → 2431 → 3124 → 3142 → 3214 → 3241 →3412 → 3421 → 4123 → 4132 → 4213 → 4231 → 4312 → 4321說明：第（4）步的必要性（2）85376421 i＝4，j＝6 ＝85476321 8541236785412367 i＝8，j＝8 ＝85412376 85412376 i＝7，j＝8 ＝85412673 8541263785413726 i＝8，j＝8 ＝8541376285413762 i＝6，j＝7 ＝85416732 854167231. 6. 3 鄰位互換生成算法初始排列：（當(dāng)一個(gè)數(shù)上方箭頭所指的一側(cè)相鄰的數(shù)比該數(shù)小時(shí)，稱該數(shù)處于活動(dòng)狀態(tài)）初始排列：設(shè)當(dāng)前排列為 （1） 若排列中無一數(shù)處于活動(dòng)狀態(tài)，則停止，否則轉(zhuǎn)（2）；（2） 求所有處于活動(dòng)狀態(tài)的數(shù)中的最大者，設(shè)為k，k和它的箭頭所指的一側(cè)的相鄰數(shù)互換位置，轉(zhuǎn)（3）。（3） 令比k大的所有數(shù)的箭頭改變方向，轉(zhuǎn)（1）。舉例（n＝4）： 規(guī)律：4從一端移到另一端，共進(jìn)行了3次換位，然后暫停一次，3開始活動(dòng)。3和4不能動(dòng)時(shí)換2，依次類推。 組合的生成算法【例】從6個(gè)元素1, 2, 3, 4, 5, 6中取3個(gè)的組合：123 → 124 → 125 → 126 → 134 → 135 → 136 → 145 → 146 → 156 →234 → 235 → 236 → 245 → 246 → 256 → 345 → 346 → 356 → 456規(guī)律：低位累加，逐位前移。（1）設(shè)組合c1c2…cr滿足 c1＜c2＜…＜cr則 cr≤n，cr－1≤n－1，…，c1≤n－r＋1即 ci≤n－r＋i，i＝1, 2, …, r（2）當(dāng)cj＜n－r＋j時(shí)，令i＝max，并令得新組合d1d2…dr 。若每個(gè)cj ＝n－r＋j，則已經(jīng)達(dá)到最后一個(gè)組合，生成完畢。算法：初始組合： 當(dāng)前組合：（1） 若i＝max存在，轉(zhuǎn)（2），否則，停止；（2） ci←ci＋1。（3） ，j＝i＋1, i＋2, …, r。輸出，轉(zhuǎn)（1）。例：n＝10，r＝514678 → 14679 → 1467A → 14689 → 1468A → 1469A → 14789 應(yīng)用舉例【】試確定由1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)大于43500的五位數(shù)？（解）（有限制條件的RP(∞，5)的問題）。分類統(tǒng)計(jì)：（1） 萬位上數(shù)字是5：有15 4個(gè)符合要求的數(shù)；（2） 萬位4，千位4，5：有1253個(gè)；（3） 萬、位、百位分別為5：有11152個(gè)?？倲?shù)： 54＋253＋52＝900 （個(gè)）【】從－2，－1，0，1，2，3共6個(gè)數(shù)中不重復(fù)地選3個(gè)數(shù)作為二次函數(shù)的系數(shù)，使得拋物線的開口方向向下，共可作出多少個(gè)二次函數(shù)？（解）（不重復(fù)排列）拋物線開口向下a＜0。第一步：a從－－1中選一個(gè)，有種方法；第二步：在余下的五個(gè)數(shù)中選b和c，有種方法。函數(shù)個(gè)數(shù) ＝40（個(gè)）【】滿足的正整數(shù)解有多少組？