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組合數(shù)學(xué)教案-1章(排列組合基礎(chǔ))-閱讀頁

2024-08-12 23:18本頁面
  

【正文】 r-1≤n-1,…,c1≤n-r+1即 ci≤n-r+i,i=1, 2, …, r(2)當(dāng)cj<n-r+j時,令i=max,并令得新組合d1d2…dr 。算法:初始組合: 當(dāng)前組合:(1) 若i=max存在,轉(zhuǎn)(2),否則,停止;(2) ci←ci+1。輸出,轉(zhuǎn)(1)。分類統(tǒng)計:(1) 萬位上數(shù)字是5:有15 4個符合要求的數(shù);(2) 萬位4,千位4,5:有1253個;(3) 萬、位、百位分別為5:有11152個。第一步:a從--1中選一個,有種方法;第二步:在余下的五個數(shù)中選b和c,有種方法。例:=10,=35,=40,=15,10+35+40+15=100。首尾和兩“+”之間至少一段。排列組合問題:從99個相異元素中不重復(fù)地選3個。求不同的放法數(shù)。第一步:每個盒子先放一個,共有一種放法。用方法Ⅰ求解:— — … — — … — + — — … — — + — — … —+— — … — — … — ++ — — … — — + — — … —答:=176851用方法Ⅱ求解:將100個相同的球放入4個不同的盒子,每個盒子的容量無限。答:=176851變異二:求解。原方程 變換 ,轉(zhuǎn)化 ()答:解數(shù)為 =166650問題:將原題用變異二的思路求解。思路:放一個物體增加一個隔板(盒子)。問題1:設(shè)前門寬大,可以同時進(jìn)2人,那么又有多少種不同的進(jìn)法?答:有 34567=2520種??倲?shù) L=【】設(shè)是能夠從集合中選出兩兩之差均大于r的k元子集的方案數(shù),試求。為了安全起見,必須同時有4人在場時才能打開大門。結(jié)論1:電子鎖最少特征數(shù):C(7,3)==35原因:每一組合所形成的3人小組缺少的特征必須不一樣的。例:A={16~35};B={6~15,26~35};C={2~5,10~15,20~25,32~35};【】從(0,0)點到達(dá)(m,n)點(mn),要求中間所經(jīng)過的每一個格子點(a,b)恒滿足ba,問有多少條最短路徑?(解)分析:第一步必須從(0, 0)到(0, 1)。從(1, 0)到(m, n)的路徑從(0, 1)到(m, n)點但經(jīng)過y=x線上的格子點的路徑 (m, n) (0, 0)對應(yīng)規(guī)則:最后一次離開對角線之前對稱,之后重合。證明 () 等號何時成立?(解)構(gòu)造問題:在中取k+r個元,有種取法。結(jié)論:后一種取法是前者的部分情況。反過來,當(dāng)n=k+r時,確實有【】(一) 二進(jìn)制串的漢明距離位二進(jìn)制碼, 的個數(shù)為k,記為,稱為a、b碼的Hamming距離。糾錯碼:漢明碼、BCH碼、郭帕碼等。(2) 編碼的距離要求:≥2r+1否則可構(gòu)造c,使之滿足==r而無法糾錯。若≤r,則由三角不等式知對其它碼字b,有≥≥(2r+1)-r=r+1>r(3) 例:r=1,n=8字母碼字相近碼a0000000010000000,01000000,…,00000001b1110000001100000,10100000,…,11100001c0001110010011100,01011100,…,00011101可編碼字符數(shù):n=8,r=1,M≤=28n=8,r=2,M≤=6n=10,r=2,M≤=18n=12,r=2,M≤=51(五) 編碼量編碼集:(n位二進(jìn)制碼)條件:≥與的距離小于等于r的數(shù)有個令Ui={a|d(a,ai)≤r},每個數(shù)最多只能屬于U1,U2,…UM中的一個≤編碼量: M≤ 習(xí)題1(1)基本題:1~9,14,16,19,22~23,29,31(2)加強題:11~12,17,18,21,28(3)提高題:13,15,20,24~26,30,32(4)關(guān)聯(lián)題:10,2711. 在1到9999之間,有多少個每位上數(shù)字全不相同而且由奇數(shù)構(gòu)成的整數(shù)?(解)問題相當(dāng)于求在相異元素{1, 3, 5, 7, 9}中不重復(fù)地取1個、2個、…、4個元素的所有排列數(shù),答案為=5+20+60+120=20512. 比5400小并具有下列性質(zhì)的正整數(shù)有多少個?(1) 每位的數(shù)字全不同; (2) 每位數(shù)字不同且不出現(xiàn)數(shù)字2與7。由乘法法則,滿足條件的數(shù)的總個數(shù)為9+81+648+2016+224=2978(2)仿(1),總個數(shù)為++++=7+49+294+630+150=113013. 一教室有兩排,每排8個坐位,今有14名學(xué)生,問按下列不同的方式入座,各有多少種坐法?(1) 規(guī)定某5人總坐在前排,某4人總在后排,但每人具體坐位不指定;(2) 要求前排至少坐5人,后排至少坐4人??煞殖扇N情況分別討論:①.前排恰好坐6人,入坐方式有種;②. 前排恰好坐7人,入坐方式有種;③前排恰好坐8人,入坐方式有種。故總的入坐方式共有種。14. 一位學(xué)者要在一周內(nèi)安排50個小時的工作時間,而且每天至少工作5小時,問共有多少種安排方案?(解)是重復(fù)組合問題。或者更一般,每天在5小時外再最多工作小時,那么,答案是多項式=中的系數(shù),其中。15. 若某兩人拒絕相鄰而坐,問12個人圍圓桌就坐有多少種方式?(答) 11?。?10?。?10!16. 有15名選手,其中5名只能打后衛(wèi),8名只能打前鋒,2名能打前鋒或后衛(wèi),今欲選出11人組成一支球隊,而且需要7人打前鋒,4人打后衛(wèi),試問有多少種選法?(答) =40+2(140+80)+(280+80+2280)=1 40017. 求展開式中項前的系數(shù)。(解)由多項式的展開式公式==++++++++++++++=++++++++++++++=++++++++++++++可以驗證,系數(shù)之和13+46+63+123=81=19. 求展開式中的系數(shù)。并給出組合意義。一種分法是先從n個人中選出r+1人,剩下人為一組,再將所選的r+1人分為兩組,一組1人,一組r人。112. 證明 。將n個不同的球放入標(biāo)號為A、B、C的3個盒子,其中要求A盒只放1個球,其余兩盒的球數(shù)不限。當(dāng),各種情況互不重復(fù),且包含了所有放法,故對k求和,即得等式左端。此時從n個數(shù)中取m個的方案數(shù)為C(n,m)。故總的方案數(shù)為=114. 六個引擎分列兩排,要求引擎的點火次序兩排交錯開來,試求從某一特定引擎開始點火有多少種方案?(解)設(shè)兩排引擎分別為a,b,c 和x,y,z。(2)如果只指定從a,b,c這一排先開始點火,不指定某一個,則方案數(shù)為332211=36(3)如果第一個引擎任意選,只要求點火過程是交錯的,則方案數(shù)為632211=72115. 試求從1到1000000的整數(shù)中,0出現(xiàn)了多少次?(解)先不考慮1 000 000本身,那么任一個000 000~999 999之間的數(shù)都可以表示成如下形式其中每個是0到9的數(shù)字。10=但習(xí)慣上在計算0的個數(shù)時,不包括無效0(即高位的0),因而要從中去掉無效0,其中1位數(shù)有9個(不包括0),其無效0共有個;2位數(shù)有90個,其無效0共個。116. n個男n個女排成一男女相間的隊伍,試問有多少種不同的方案?若圍成一圓桌坐下,又有多少種不同的方案?答 (1)2; (2)n!(n-1)!117. n個完全一樣的球,放到r個有標(biāo)志的盒子,n≥r,要求無一空盒,試證其方案數(shù)為 。然后把剩下的個球任意地放到r個盒子中,因為此時每盒的球數(shù)不限,這相當(dāng)于求的組合,其組合數(shù)為118. 設(shè)n=,、…、是k個不同的素數(shù),試求能整除盡數(shù)n的正整數(shù)數(shù)目?!?交點數(shù)=(2)交點總數(shù)2+對角線條數(shù)=121. 試證一整數(shù)n是另一個整數(shù)的平方的充要條件是除盡n的正整數(shù)的數(shù)目為奇數(shù)。n是一個完全平方數(shù) 都是偶數(shù) +1都是奇數(shù) =奇數(shù),即n的正因子數(shù),亦即除盡n的正整數(shù)有奇數(shù)個。假設(shè)盒子始終是不同的,(1)Maxwell-Boltzmann假定:r個質(zhì)點是不同的,任何盒子可以放任意個。(3)Fermi—Dirac假定:r個質(zhì)點都完全相同,每盒不得超過一個。123. 從26個英文字母中取出6個字母組成一字,若其中有2或3個母音,問分別可構(gòu)成多少個字(不允許重復(fù))?124. 給出 的組合意義。126. 證明:127. 對于給定的正整數(shù)n,證明在所有C(n,r)(r=1,2, …,n)中,當(dāng)k=時,C(n,k)是最大值。(b)證明是整數(shù)。方法二:因為,所以是多項式中項的系數(shù)。(b)仿(a),把kn個不同的球放入n個相異的盒子中,每個盒子中恰有k個球,其分配方案數(shù)即為=,但若盒子相同,則分配方案數(shù)即為,再令k=n,即得結(jié)果。求從這2n個球中選取n個的方案數(shù)。求從這3n+1個球中選取n個的方案數(shù)。所以,總的方案數(shù)為 (b)與(a)類似,方案數(shù)==130. 證明在由字母表{0,1,2}生成的長度為n的字符串中。并設(shè)滿足條件的串為 。因此,在三進(jìn)制串中,除了每一位都是2的偶串(22…2)之外,所有偶串與奇串一一對應(yīng),故各有個,再加上全2的串,偶串的總數(shù)應(yīng)為=(b)設(shè)偶串中有2k個0,則。所以,由乘法法則知有2k個0的偶串共有個。故由加法法則,全部偶串共有,個。131. 5臺教學(xué)儀器供m個學(xué)生使用,要求使用第1臺和第2臺的人數(shù)相等,有多少種分配方案?(解)由題目要求知5臺儀器被視為是不同的。由加法法則,總的分配方案數(shù)為其中t=。而不合要求的數(shù)的特征是從左向右掃描時,必然在某一位首次出現(xiàn)0的個數(shù)大于1的個數(shù),即從左向右累計到第2k+1位時出現(xiàn)k+1個0和k個1。將后部分的0改寫為1,1改寫為0。即一個不合要求的數(shù)唯一對應(yīng)于這樣的一個數(shù)z。依同法將此位后的0與1互換,使z變成由n個1和n個0組成的2n位數(shù)。即 故=解法二:見教材
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