【正文】 bb＝產(chǎn)生系數(shù)的根源：同一單項(xiàng)式中有順序，即排列問題（球不同的分配問題）。（證）＝（1）所有項(xiàng)都具形式，且（2）一般項(xiàng)的系數(shù)：個(gè)因式中選取，得項(xiàng)，其系數(shù)為＝＝＝稱為多項(xiàng)式系數(shù)。＝420【】在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是什么？（解）令。2!＋12!＝＝＝＋＋…＋＋(m－)247。1!＝n!－1＜n!；④將十進(jìn)制換算為變進(jìn)制數(shù)方法。初始排列： 設(shè)當(dāng)前排列為（1） 求滿足關(guān)系式的k的最大值，設(shè)為i，即（2） 求滿足關(guān)系式的k的最大值，設(shè)為j，即（3） 與互換位置得（4） 中部分的元素順序逆轉(zhuǎn)，得新排列。舉例（n＝4）： 規(guī)律：4從一端移到另一端，共進(jìn)行了3次換位，然后暫停一次，3開始活動(dòng)。若每個(gè)cj ＝n－r＋j，則已經(jīng)達(dá)到最后一個(gè)組合，生成完畢。例：n＝10，r＝514678 → 14679 → 1467A → 14689 → 1468A → 1469A → 14789 應(yīng)用舉例【】試確定由1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)大于43500的五位數(shù)？（解）（有限制條件的RP(∞，5)的問題）。函數(shù)個(gè)數(shù) ＝40（個(gè)）【】滿足的正整數(shù)解有多少組？（解）（組合問題）方法Ⅰ思路：長(zhǎng)度為100的線段被分為4段，每段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，記為。分配模型：將3個(gè)相同的球放入99個(gè)相異的盒子，每盒最多放一個(gè)球。排列組合問題：從4種相異元素中可重復(fù)地選100個(gè)，每種元素至少選一個(gè)。求不同的放法數(shù)。【】把r個(gè)相異物體放入n不同的盒子里,每個(gè)盒子允許放任意個(gè)物體,而且要考慮放入同一盒中的物體的次序,求這種分配方案有多少?特點(diǎn)：既不是相異元素的不重復(fù)排列，也不是簡(jiǎn)單的重復(fù)排列。問題2：火車站外有100名乘客，欲從4個(gè)門排隊(duì)進(jìn)入候車室，問有多少種進(jìn)門的排隊(duì)方式？問題3：大樓共有19層，今有12人從一樓進(jìn)入電梯上樓，每層都可能有人出電梯，且電梯的門同時(shí)只能容許一個(gè)人出入，問有多少種方式出電梯？【】把元集S劃分成個(gè)無序非空子集（n≥4），共有多少種分法？ （解）（球不同盒子相同）模型：分配問題：將n個(gè)不同的球放入n－3個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子最少一個(gè)球求解：分三類情況： (1) 一個(gè)子集為4元集，其余子集為一元集，等于n元集的不重復(fù)的4組合數(shù)；(2) 一個(gè)子集3元，一個(gè)子集2元，其余子集1元：n元集S的5組合數(shù)為，把5元集劃分成一個(gè)3元子集和一個(gè)2元子集的方法有＝10種，由乘法法則，此類劃分方法有10種；(3) 3個(gè)子集2元，其余子集1元：n元集的6組合數(shù)為，把6元子集劃分成3個(gè)2元子集的方法有 屬于此類的劃分方法有種。試問該電子鎖至少應(yīng)具備多少個(gè)特征？每位科學(xué)家的“鑰匙”至少應(yīng)有多少種特征？（解）（秘密共享）分析：任意3個(gè)人在一起，至少缺一種特征，不能打開電子鎖。等價(jià)于從（0, 1）點(diǎn)到（m, n）點(diǎn)的路徑數(shù)（前提：滿足條件）。一種特殊取法：先取前k個(gè)元素；再從其余的個(gè)元素中取r個(gè)，有種。例：(0000, 0000)＝0，(0000, 1001)＝2，(0101, 1010)＝4（二） 性質(zhì)三角不等式 （三） 檢錯(cuò)碼與糾錯(cuò)碼檢錯(cuò)碼：奇偶校驗(yàn)碼、漢明碼、BCH碼等。反之，設(shè)任何≥2r＋1。（解）（1）5人在前排就座，其坐法數(shù)為 ，4人在后排就座，其坐法數(shù)為 ，還空7個(gè)坐位，讓剩下的14－5－4＝5個(gè)人入坐，就座方式為 種，由乘法法則，就座方式總數(shù)為＝28 449 792 000（2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也如此。但這樣計(jì)算無疑是有重復(fù)的，例如恰好選6人坐前排，其余8人全坐后排，那么上式中的就有重復(fù)。（3）另外，設(shè)每周工作t天，每天最少工作5小時(shí)，最多工作小時(shí)，可以不按照上邊的兩步分配方法求解，而是直接計(jì)算多項(xiàng)式＝，中的系數(shù)，即得答案。（答） ＝＝840110. 試證任一正整數(shù)n可唯一地表成如下形式：n＝ ，0≤ai≤i， 111. 證明 nC(n－1，r)＝(r＋1)C(n，r＋1)。另一種分法是先選一人為一組，再從其余的人中選人為一組，剩下的人為一組。那么，有兩種思路：（1） 先從此n個(gè)不同的球中選出1個(gè)，放入A盒，再將其余個(gè)球放入另外兩盒，有種放法；（2） 先由n個(gè)球中選出k個(gè)，再從所選的k個(gè)球中選出1個(gè)放入A盒，將其余的k－1個(gè)球放入B盒，所剩的n－k個(gè)球放入C盒，有種放法。從m個(gè)數(shù)中取第一組數(shù)共有m－1種取法。因?yàn)槊课粩?shù)字可以有10種選擇，根據(jù)乘法法則，共有個(gè)“6位數(shù)”，又每個(gè)“6位數(shù)”由6個(gè)數(shù)字組成（包括無效0），那么共有個(gè)數(shù)字，又每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率相等， 所以0出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)是247。（證） 因?yàn)楹凶硬荒芸?，所以每個(gè)盒子可先放一個(gè)球。（證）設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為n＝。（2）Bose－Einstein假定：r個(gè)質(zhì)點(diǎn)完全相同，每一個(gè)盒子可以放任意個(gè)。125. 給出 的組合意義。（證）（a）方法一：把2n個(gè)不同的球放入n個(gè)相異的盒子中，每個(gè)盒子中恰有2個(gè)球，其分配方案數(shù)即為＝。129. （a）在2n個(gè)球中，有n個(gè)相同。（解）（a）視為從集合中選取n個(gè)元素，分類統(tǒng)計(jì)，共有n＋1類取法：設(shè)第k類取法是指所取的n個(gè)元素中含有k個(gè)，個(gè)其它的（每個(gè)最多取一次），則此類取法共有種?？紤]諸中至少有一個(gè)為0或1的串，那么，從串的左邊開始向右掃描，總是會(huì)碰到0或1，對(duì)掃描到的第一個(gè)0（或1），將其改為1（或0），從而將偶串變成了唯一的一個(gè)奇串，或?qū)⑵娲兂闪宋ㄒ坏囊粋€(gè)偶串。又知對(duì)于不同的k，相應(yīng)的串之間沒有重復(fù)。將分配過程分為三步：（1）從m個(gè)學(xué)生中選出2k人，有種選法；（2）將選出的2k個(gè)學(xué)生分給2號(hào)儀器，且每臺(tái)儀器k個(gè)人，有種分法；（3）將其余的名學(xué)生分給5號(hào)儀器，每臺(tái)儀器所分人數(shù)不限，有種分法。此時(shí)，后2(n－k)－1位上有n－k個(gè)1，n－k－1個(gè)0。10000111 11111000， 00011110 0001111101010110 01010111， 00111001 00111110反之，給定一個(gè)由n－1個(gè)1和n＋1個(gè)0組成的2n位數(shù)z．由于0比1多2個(gè)，故一定在某一位首次出現(xiàn)0的累計(jì)數(shù)超過1的累計(jì)數(shù)。所以，這兩種二進(jìn)制數(shù)一一對(duì)應(yīng)。結(jié)果整個(gè)數(shù)變成由n－1個(gè)1和n＋1個(gè)0組成的2n位數(shù)z。132. 由n個(gè)0及n個(gè)1組成的字符串，其任意前k個(gè)字符中，0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)的字符串有多少？（解）解法一：由n個(gè)1和n個(gè)0組成的2n位二進(jìn)制數(shù)共有個(gè)（2n個(gè)不盡相異元素的全排列） ，設(shè)所求的二進(jìn)制數(shù)共有個(gè)，不符合要求的數(shù)有個(gè)。再結(jié)合（a），即得欲證的結(jié)論?？捎蓛刹絹順?gòu)造這樣的n位串：（1） 先在n個(gè)不同的位置放入2k個(gè)相同的0，有種放法；（2） 再在其余的個(gè)位置放入1或2，其放法對(duì)應(yīng)位二進(jìn)制串的個(gè)數(shù)，有個(gè)。(a) 0出現(xiàn)偶數(shù)次的字符串有個(gè)；(b) 其中q＝2.（證）（a）稱滿足條件的串為偶串，否則為奇串。（b）在3n＋1個(gè)球中，有n個(gè)相同。方法三： 集合中2n個(gè)元素的全排列的總數(shù)即為其次，對(duì)，方法類似，關(guān)鍵是看出＝。128. （a）用組合方法證明和都是整數(shù)。（解）（1）重復(fù)排列問題，共有種不同圖象；（2）重復(fù)組合問題，共有種不同圖象；（3）不重復(fù)組合問題，共有種不同圖象。122. 統(tǒng)計(jì)力學(xué)需要計(jì)算r個(gè)質(zhì)點(diǎn)放到n個(gè)盒子里去，并分別服從下列假定之一，問有多少種不同的圖象。答 119. 試求n個(gè)完全一樣的骰子能擲出多少種不同的方案？（解）等價(jià)于從6類相異元素集中可重復(fù)地選取n個(gè)元素的n－重組合數(shù)：120. 凸十邊形的任意三個(gè)對(duì)角線不共點(diǎn)，試求這凸十邊形的對(duì)角線交于多少個(gè)點(diǎn)？又把所有的對(duì)角線分割成多少段？（解）（1）求交點(diǎn)數(shù)：一個(gè)交點(diǎn)兩條對(duì)角線四個(gè)頂點(diǎn)。余類推，這樣，無效0的總數(shù)為注意到全0時(shí)的6個(gè)0和1 000 000本身的6個(gè)0相互抵消，所以1到1 000 000之間的自然數(shù)中0出現(xiàn)的次數(shù)為＝488 895注 1出現(xiàn)的次數(shù)為（要考慮1 000 000這個(gè)數(shù)的首位1），2，3，…，9各自出現(xiàn)的次數(shù)為。（1）設(shè)特定的引擎是a，則點(diǎn)火的方案數(shù)為32211＝12。113. 有n個(gè)不同的整數(shù)，從中取出兩組來，要求第一組數(shù)里的最小數(shù)大于第二組的最大數(shù)，問有多少種方案？（解） 設(shè)取的第一組數(shù)有a個(gè)，第二組有b個(gè)，而要求第一組數(shù)中最小數(shù)大于第二組中最大的，即只要從n個(gè)數(shù)中取出m＝a＋b個(gè)數(shù)，從大到小排序后取前a個(gè)作為第一組，剩余的為第二組，就滿足題目的要求。（證）用殊途同歸法。意義：將n個(gè)人分為3組：一組1人，一組r人，另一組人。（答） ＝＝1008018. 求的展開式。（1）每周按7天計(jì)算，先要拿出57＝35小時(shí)平均分配到每一天，再將其余的15小時(shí)安排到7天之中，每天的小時(shí)數(shù)不受限制，則安排方案數(shù)為（2）若每周的工作日按6天計(jì)，則問題變成在平均分配完56＝30小時(shí)后，再將余下的20小時(shí)分配到這6天中，但此時(shí)每天最多只能分配19小時(shí)。各類入坐方式互相不同，由加法法則，總的入坐方式總數(shù)為＋＋誤：先選6人坐前排，再選4人坐后排，剩下的4人坐入余下的6個(gè)座位。（解）（1）分類統(tǒng)計(jì)：①一位正整數(shù)有個(gè)；②兩位正整數(shù)有＝81個(gè)；③三位正整數(shù)有＝998＝648個(gè)；④千位數(shù)小于5的四位數(shù)有＝4987＝2016個(gè)；⑤千位數(shù)等于5，百位數(shù)小于4的數(shù)有＝487＝224個(gè)。（四） 漢明碼（1） 思想：如若與碼a的距離≤r，則認(rèn)為是a的錯(cuò)誤碼而予以糾正。等號(hào)成立的條件：n＝k＋r（否則總有不全含的k＋r元子集）。結(jié)論：所求路徑數(shù)＝(0, 1)點(diǎn)到（m, n）點(diǎn)路徑數(shù)－(1, 0)點(diǎn)到（m, n）點(diǎn)路徑數(shù) N＝ ＝(m＋n－1)! ＝(m＋n－1)! ＝ （n—m）＝ 【】n, h, r都是非負(fù)整數(shù)，并且。1ABC8ACF15AFG22BDG29CEF2ABD9ACG16BCD23BEF30CEG3ABE10ADE17BCE24BEG31CFG4ABF11ADF18BCF25BFG32DEF5ABG12ADG19BCG26CDE33DEG6ACD13AEF20BDE27CDF34DF