矩陣的轉置、乘法初等變換、逆(編輯修改稿)
2024-08-16 04:53 本頁面
【文章內容簡介】 ???mnmnmmnnbbbbxxxxaaaaaaaaaA?????????2121212222111211,如果 m=n, 可考慮 x=b/A ,111 ?? ?? aaaa一、概念的引入 在數(shù)的運算中， 當數(shù) 時， 0?a 有 aa11 ?? a其中 為 的倒數(shù)， a （或稱 的逆）； 在矩陣的運算中， E單位陣 相當于數(shù)的乘法運算中 的 1。 因此在矩陣的運算中可以相應的引入逆矩 陣的概念。 二、逆矩陣的概念和性質 定義 對于 階矩陣 ，如果存在 階矩陣 則說矩陣 A是 可逆 的，并把矩陣 B稱為 A的一個 逆矩陣 . B,EBAAB ??n使得 n A例 設 ,21212121,1111 ?????????????? ?? BA,EBAAB ??? .的一個逆矩陣是 AB?說明 若 是可逆矩陣，則 的逆矩陣是 唯一 的 . A A事實上若設 和 是 的逆矩陣， B C A 則有 , ECAACEBAAB ????可得 EBB ? ? ?BCA? ? ?ABC? .CCE ??所以 的逆矩陣是唯一的。 AA的逆記為 ，即 AA1=A1A=E。 1?A例 設 ,0112 ????????A .的逆陣求 A解 設 是 的逆矩陣 , ??????? dcbaBA則 ?????????????? dcbaAB0112 ???????001??????????????????100122badbca 利用待定系數(shù)法 ????????????????,1,0,02,12badbca?????????????.2,1,1,0dcba又因為 ??????? 0112 ?????? ?2110 ??????? 0112? ???????2110,10 01 ???????所以 .21 101 ?????? ???AAB AB矩陣可逆的充要條件與逆矩陣的求法 11 21 n 112 22 n 21 n 2 n nn.ij ijA A AA A AAA A AA A a??????????????為 行 列 式 中 元 素 的 代 數(shù) 余 子 式A矩 陣 的 伴 隨 矩 陣1 1 2 1 3 11 2 2 2 3 21 3 2 3 3 3A A AA A AA A A??????????????????????????a,1 1a,1 2a,1 3a,2 1a,2 2a,2 3a,3 1a,3 2a,3 3的 伴 隨 矩 陣EAAA ??.EAAA ?? 先就 3 階矩陣給出證明 . 證 設 ?????????????????????????????????333231232221131211332313322212312111333231232221131211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA于是有 13131212111111 AaAaAab ???23132212211112 AaAaAab ???33133212311113 AaAaAab ???13231222112121 AaAaAab ???23232222212122 AaAaAab ???0AaAaAab 33233222312123 ????., Ab0b0b 333231 ???因此 ????????????A000A000AAA 同理可證， .EAAA ??A?= 0 = 0 = 0 A?.EA?EAAA ?? .EAAA ?? 證 設 A = ( a i j )n n , ),(ijbAA ??記???????????????????????????????????????????nn2n1nn22221n11211nnn2n12n22121n2111nn2n1nn22221n11211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaa?????????????????????也就是 于是有 ???? jnin2j2i1j1iij AaAaAab ??因此 EAAA ??同理可證 ， .EAAA ???????..時當時當ji0jiA 定理 1 矩陣 可逆的充要條件是 ，且 ,11 ?? ? AAAA 0?A證明 若 可逆， A .EAAA ??? 11 使即有,11 ??? ? EAA故 .0?A所以.的伴隨矩陣為矩陣其中 AA ?,0時當 ?A,0時當 ?A??????????????????????????????nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA??????????????212221212111212222111211AAaAaAa nn ???? 1112121111 ?AAaAaAa nnnnnnnn ???? ?2211,???????????????AAAAOO?EAAAAA ?? ?? ,EAAAAAA ??? ??.1 AAA?? ?按逆矩陣的定義得 證畢 .,0,0非奇異矩陣稱為時當稱為奇異矩陣時當 AAAA ??奇異矩陣與非奇異矩陣的定義 .為非奇異矩陣是可逆陣的充要條件是由此可得 AA,1??? EBA ,0?A故,1 存在因而 ?A 于是EBB ? ? ?BAA 1?? ? ?ABA 1??EA 1?? .1?? A 證畢? ? ., 1???? ABEBAEAB 則或若推論 證明 ? ? ? ? .,1 111 AAAA ???? 且亦可逆則可逆若逆矩陣的運算性質 ? ? 且可逆則數(shù)可逆若 ,0,2 AA ?? ?? ? 且亦可逆則為同階方陣且均可逆若 ,3 ABBA? ?? ? ? ? 1111 ???? ? ABBAABAB1?
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