1675線性變換的對(duì)角矩陣(編輯修改稿)
2024-08-13 19:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 , s s nssEAA E sOA? ? ? ? ?????? ????所 以 在 基 下 的 矩 陣 有 形 狀為 級(jí) 單 位 陣因 為首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14 012012 () s snssnsEO EAEAOE OAEAO E A? ?????????? ??? ? ??? ??????????? ?????于 是012() ( ) | |snsAEAf E AO E A????? ???? ? ??所 以 的 特 征 多 項(xiàng) 式02| ( ) | | |s n sE E A? ? ? ?? ? ?0( ) ( )s g? ? ???首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 15 2( ) | | .nsg E A n s? ? ??? ? ?這 里 是 的 次 多 項(xiàng) 式( ) .fs??0由 此 可 知 , 至 少 是 的 一 個(gè) 重 根0 0 ( ) .Vs? ???所 以 維 的 重 數(shù)00()?? ?即 特 征 值 的 幾 何 重 數(shù) 特 征 值 的 代 數(shù) 重 數(shù),.?? 很 明 顯 只 要 有 一 個(gè) 特 征 值 的 重 數(shù) 大 于 其 特征 子 空 間 的 維 數(shù) 則 在 任 何 基 下 的 矩 陣 都 不 能 是對(duì) 角 矩 陣首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 16 , ( 1 ) 。 ( 2 ) , ( ) .P n VPV????? ? ?? 設(shè) 是 數(shù) 域 上 維 線 性 空 間 的 線 性 變 換 則在 某 組 基 下 的 矩 陣 是 對(duì) 角 矩 陣 的 是的 特 征 多 項(xiàng) 式 的 根 都 在 內(nèi)對(duì) 于 的充 要 條 件每 個(gè) 特 征 值 維 的 重 數(shù) 綜上討論 , 可得線性變換在某組基下的矩陣是對(duì)角形的另一個(gè)充要條件 : 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( ) 0 ,( ) ( )V E A XV n E A??????? ? ?因 為 就 是 的 解 空 間 所 以 維 秩 ( ) ( ) .E A n V ?? ? ? ?即 秩 維17 1, ( 1 ) 。 ( 2 ) , ( ) ,.A P n CC ACAPAE A n ss??????? ? ? 設(shè) 是 數(shù) 域 上 級(jí) 矩 陣 則 存 在 可 逆 矩 陣 使為 對(duì) 角 形 的 是的 特 征 多 項(xiàng) 式 的 根 都 在 內(nèi)對(duì) 于 的 每 個(gè) 特 征 值秩這充 要 條是件里 的 重 數(shù)首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 于是可得矩陣相似于對(duì)角形矩陣的一個(gè)充要條件 : 18 例 1 設(shè)線性變換 σ在基 ?1 , ?2 , ?3 下的矩陣為 2 1 25 3 31 0 2A?????????????問是否存在一組基 , 使 σ在這組基下的矩陣為對(duì)角 矩陣 ? 解 σ的特征多項(xiàng)式為 2 1 25 3 31 0 2EA??????? ? ? ? ??3( 1 )???首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 19 所以 ,σ的特征值為 1 2 3 1.? ? ?? ? ? ?由于 σ只有一個(gè)特征值 1, 屬于 1 的所有 線性無關(guān)的特征向量是線性方程組 (E A)X = 0 的基礎(chǔ)解系 . 首頁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3 1 2 ( ) 5 2 31 0 1EA??????? ? ? ? ?????因1 0 10 1 1000????? ????20 (該方程組的
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