【正文】 定理 2 設(shè) A為可逆方陣，則存在有限個初等方陣 ., 2121 ll PPPAPPP ?? ?使證 ,~ EA?使即存在有限個初等方陣 , 21 lPPP ?APEPPPP lrr ?? ?? 121.PPPA l?21?即 .,:~ BPA nPmBAnm??使階可逆方陣及階可逆方陣存在的充分必要條件是矩陣推論,AE 經(jīng)有限次初等變換可變故利用初等變換求逆陣的方法： ，有時，由當 lPPPAA ?21 0 ??,11111 EAPPP ll ????? ? , 111111 ????? ? AEPPP ll ?及? ?EPPPAPPP llll 1111111111 ????????? ??? ?1?? AE? ?EAPPP ll 11111 ????? ?. )(2 1??AEEAEAnn就變成時，原來的變成當把施行初等行變換，矩陣即對 . 1 BA ?矩陣的方法，還可用于求利用初等行變換求逆陣E)()( 11 BAEBAA ?? ??)( BABA 1?即 初等行變換 例２ .341352,343122321 ,???????????????????????BABAXX ，其中使求矩陣解 .1 BAXA ??可逆，則若???????????343431312252321)( BA??????????????????1226209152052321???????????????????311009152041201??????????????3110064020230112 2rr ?13 3rr ?21 rr ?23 rr ?31 2rr ?32 5rr ?，????????????311003202223001.313223 ?????????????? X）（ 22 ??r）（ 13 ??r??????????????31100640202300131 2rr ?32 5rr ?.1?? CAY即可得作初等行變換，也可改為對 ),( TT CA , 1 作初等列變換，則可對矩陣如果要求 ??????? ?CACAY,CA 1 ?????????????CAE列變換 ),)(,(), 1 TTTT CAECA ?（列變換 TT1 C)( ?? AY T即可得 ,C)( T1?? TA.Y即可求得. ,1000110011102222A1,???????????????????njiijAAn式之和中所有元素的代數(shù)余子求方陣已知????????解 例 3 ,02 ??A? .可逆A?.1* ?? AAA且? ??????????????????10001000010011000010111000012222????????????????EA?????????????????????100010001100010001100010001210001????????????????? 例 1. ┌ 3 1 ┐ 設(shè) A＝ │ │ ， 求 A1 └ 2 1 ┘ 解： ┌ 3 1 1 0 ┐ ① +(1)② ┌ 1 0 1 1 ┐ ② +(2)① │ │ ─→ │ │ ─→ └ 2 1 0 1 ┘ └ 2 1 0 1 ┘ ┌ 1 0 1 1 ┐ ② (1)┌ 1 0 1 1 ┐ │ │─→│ │─→ └ 0 1 2 3 ┘ └ 0 1 2 3 ┘ 1 1 則 A1＝ 2 3 這表明 A不是滿秩矩陣 ， 則 A不可逆 ， A1不存在 ，因為 [AI]的左邊不能化為單位矩陣 。 二 、 解矩陣方程 解矩陣方程 AX＝ B， 即求矩陣 X滿足此等式 。 二、逆矩陣的概念和性質(zhì) 定義 對于 階矩陣 ，如果存在 階矩陣 則說矩陣 A是 可逆 的，并把矩陣 B稱為 A的一個 逆矩陣 . B,EBAAB ??n使得 n A例 設(shè) ,21212121,1111 ?????????????? ?? BA,EBAAB ??? .的一個逆矩陣是 AB?說明 若 是可逆矩陣，則 的逆矩陣是 唯一 的 . A A事實上若設(shè) 和 是 的逆矩陣， B C A 則有 , ECAACEBAAB ????可得 EBB ? ? ?BCA? ? ?ABC? .CCE ??所以 的逆矩陣是唯一的。 即 A＝ (aij)m n， AT＝ (aji)n m 1 1 1 2 12 1 2 2 212nnm m m na a aa a aAa a a??????????????? ?? ?? ????????11 21 112 22 212mmTn n m na a aa a aAa a a?????????????? ? ? ? ? ? ? ???????110 1 ,23A?????? ??????例 若 ?TA則 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下述運算規(guī)律 AA1 TT ?)(.TTT BABA2 ??? )(.TT AA3 ?? ?)(..????????? 311201TAB4 )(. TT AB?(ABC)T＝ CTBTAT 對于多個矩陣相乘，有 ? ?1 2 2 1T T T TttA A A A A A?證明：設(shè) ? ? ? ? ,nsijsmij bBaA ?? ??記 ? ? ? ?., mnijTTnmij dDABcCAB ?? ????由矩陣的乘法定義，有 ,1???skkijkji bac而 BT的第 i行為 ? ?,1 sii bb ?AT的第 j列為 ,1??????????jsjaa?因此 ? ?? ???skskkijkjkkiij baabd1 1,所以 ? ? ,2,1。 ? 如果把同樣的變換施加在單位矩陣上 ， 得到的就是 A的逆矩陣