矩陣的轉(zhuǎn)置、乘法初等變換、逆-文庫吧資料
2024-08-02 04:53本頁面
【正文】 3 ┘ └ 0 1 2 3 ┘ 1 1 則 A1＝ 2 3 這表明 A不是滿秩矩陣 ， 則 A不可逆 ， A1不存在 ，因?yàn)?[AI]的左邊不能化為單位矩陣 。 ? 因此 ， 我們通常把矩陣 A與單位矩陣 I并列 ，構(gòu)成一個(gè) n 2n矩陣 ， 記作 [A E]， 再經(jīng)過初等行變換化為 [E A1]， 這樣就得到了 A1。 1?A例 設(shè) ,0112 ????????A .的逆陣求 A解 設(shè) 是 的逆矩陣 , ??????? dcbaBA則 ?????????????? dcbaAB0112 ???????001??????????????????100122badbca 利用待定系數(shù)法 ????????????????,1,0,02,12badbca?????????????.2,1,1,0dcba又因?yàn)? ??????? 0112 ?????? ?2110 ??????? 0112? ???????2110,10 01 ???????所以 .21 101 ?????? ???AAB AB矩陣可逆的充要條件與逆矩陣的求法 11 21 n 112 22 n 21 n 2 n nn.ij ijA A AA A AAA A AA A a??????????????為 行 列 式 中 元 素 的 代 數(shù) 余 子 式A矩 陣 的 伴 隨 矩 陣1 1 2 1 3 11 2 2 2 3 21 3 2 3 3 3A A AA A AA A A??????????????????????????a,1 1a,1 2a,1 3a,2 1a,2 2a,2 3a,3 1a,3 2a,3 3的 伴 隨 矩 陣EAAA ??.EAAA ?? 先就 3 階矩陣給出證明 . 證 設(shè) ?????????????????????????????????333231232221131211332313322212312111333231232221131211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA于是有 13131212111111 AaAaAab ???23132212211112 AaAaAab ???33133212311113 AaAaAab ???13231222112121 AaAaAab ???23232222212122 AaAaAab ???0AaAaAab 33233222312123 ????., Ab0b0b 333231 ???因此 ????????????A000A000AAA 同理可證， .EAAA ??A?= 0 = 0 = 0 A?.EA?EAAA ?? .EAAA ?? 證 設(shè) A = ( a i j )n n , ),(ijbAA ??記???????????????????????????????????????????nn2n1nn22221n11211nnn2n12n22121n2111nn2n1nn22221n11211bbbbbbbbbAAAAAAAAAaaaaaaaaa?????????????????????也就是 于是有 ???? jnin2j2i1j1iij AaAaAab ??因此 EAAA ??同理可證 ， .EAAA ???????..時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)ji0jiA 定理 1 矩陣 可逆的充要條件是 ，且 ,11 ?? ? AAAA 0?A證明 若 可逆， A .EAAA ??? 11 使即有,11 ??? ? EAA故 .0?A所以.的伴隨矩陣為矩陣其中 AA ?,0時(shí)當(dāng) ?A,0時(shí)當(dāng) ?A??????????????????????????????nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA??????????????212221212111212222111211AAaAaAa nn ???? 1112121111 ?AAaAaAa nnnnnnnn ???? ?2211,???????????????AAAAOO?EAAAAA ?? ?? ,EAAAAAA ??? ??.1 AAA?? ?按逆矩陣的定義得 證畢 .,0,0非奇異矩陣稱為時(shí)當(dāng)稱為奇異矩陣時(shí)當(dāng) AAAA ??奇異矩陣與非奇異矩陣的定義 .為非奇異矩陣是可逆陣的充要條件是由此可得 AA,1??? EBA ,0?A故,1 存在因而 ?A 于是EBB ? ? ?BAA 1?? ? ?ABA 1??EA 1?? .1?? A 證畢? ? ., 1???? ABEBAEAB 則或若推論 證明 ? ? ? ? .,1 111 AAAA ???? 且亦可逆則可逆若逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ? ? 且可逆則數(shù)可逆若 ,0,2 AA ?? ?? ? 且亦可逆則為同階方陣且均可逆若 ,3 ABBA? ?? ? ? ? 1111 ???? ? ABBAABAB1?? AEA ,1 EAA ?? ?? ? .111 ??? ?? ABAB證明 ? ? ??1AB B 1? 1?A? ? .1 11 ?? ? AA ??? ? ? ?TTT AAAA 11 ?? ?? TE? ,E?? ? ? ? .11 TT AA ?? ??? ? .,0,10 kk AAEAA?? ??? 定義時(shí)當(dāng)另外證明 ? ?為正整數(shù)k? ? .1212 ?? ? AA ??推廣 1A mA 1?mA 1?1A? ? ? ? ? ? .,4 AAAA T ?且亦可逆則可逆若 T T1? 1?? ? .AA,A 115 ?? ?則有可逆若證明 EAA ?? 1?11 ?? ?AA.AA 11 ?? ?因此有為整數(shù)時(shí)當(dāng) ,0 ???A,???? ?? AAA ? ? .???? A?例 1 求方陣 的逆矩陣 . ???????????343122321A解 343122321?A?
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