【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 定的分形圖形的五個(gè)特征。 分形空間通俗地說(shuō)，分形空間是定義了Hausdorff度量的拓?fù)淇臻g，分形集則是分形空間中壓縮映射下的不變集。定義21[3] 設(shè)(X, r)是完備度量空間，X的非空緊子集構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g，記作H(X)。x206。X, A與B206。H(X)，稱r(x, A)=min{r(x, y)：y206。A}為點(diǎn)x到A的距離；A的d 平行體是與A的距離不大于d 的點(diǎn)組成的閉集，即Ad={x206。X：r(x, A)163。d}稱hr(A, B)=inf{d：A206。Bd且B206。Ad}為A與B間的Hausdorff距離。性質(zhì)21 設(shè)(X, r)是完備度量空間，對(duì)任意的A, B, C, D206。H(X)，hr(A∪B, C∪D) 163。 max{hr(A, C), hr(B, D)}定理21 (分形空間的完備性)[3] 設(shè)(X, r)是完備度量空間，則(H(X), hr)是完備度量空間，稱為分形空間。而且，如果{An206。H(X)}165。n=1是一個(gè)柯西序列，則A = An可以表成A = {x206。X：存在柯西序列{xn206。An}165。n=1收斂到x} (21)定理22[3] 設(shè)w：X→X是完備度量空間(X, r)上具有壓縮比c的壓縮映射，則由式(22)定義的W：H(X)→H(X)是(H(X), hr)上具有壓縮比c的壓縮映射. W(B) = {w(x)：x206。B} B206。H(X) (22) 分形的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與維數(shù)的測(cè)量方法分形和分維同其他數(shù)學(xué)概念一樣，都是從客觀存在的數(shù)和形的關(guān)系中抽象出來(lái)的。自然界中的分形，真是比比皆是，俯拾可得。但是必須看清在大、小兩方面客觀存在的特征尺度。在分形幾何學(xué)的基礎(chǔ)上，分維物理學(xué)也正成為有充實(shí)內(nèi)容的研究領(lǐng)域。 分形維數(shù)定量描述分形系統(tǒng)的參數(shù)是分形維數(shù)。分形幾何學(xué)是研究被經(jīng)典數(shù)學(xué)家稱之為“病態(tài)”的不規(guī)則集合，這些不規(guī)則集合一般來(lái)說(shuō)是不光滑的，定量地表述這種不規(guī)則性是分形維數(shù)。所有的分形都具有一個(gè)重要的特征：可通過(guò)一個(gè)特征數(shù)，即分形維數(shù)測(cè)定其不平度，復(fù)雜性和卷積度。首先回顧一下歐氏空間中非規(guī)整幾何圖形的幾何量的計(jì)算。歐氏幾何學(xué)是以規(guī)整幾何圖形為其研究對(duì)象。歐氏幾何的測(cè)量有以下特點(diǎn)：第一類幾何圖形的測(cè)量是以長(zhǎng)度為基礎(chǔ)；第二類幾何圖形也是以長(zhǎng)度（兩點(diǎn)間的距離）為基礎(chǔ)的，平面圖形以圓為基礎(chǔ)，空間圖形以球?yàn)榛A(chǔ)。長(zhǎng)度、面積和體積的量綱數(shù)分別等于幾何圖形存在的空間的維數(shù)，分別是長(zhǎng)度單位的和3次冪。把自由度數(shù)作為維數(shù)（又稱為經(jīng)驗(yàn)維數(shù)）的設(shè)想是很自然的，但早在1890年就有人對(duì)經(jīng)驗(yàn)維數(shù)提出了較深刻的疑問，這是因?yàn)榭梢杂靡粭l曲線即可把平面完全覆蓋，其中最好例子是Peano曲線，如圖22所示。 圖22 Peano曲線Fig. 22 Peano curvePeano曲線可定義為圖中折線的極限。從圖中可以看出，此曲線同樣可以把平面完全覆蓋住。此曲線屬于自相似，處處都不能微分，是分形的一個(gè)例子，被稱為非規(guī)整幾何圖形。Peano曲線的考慮方法，也適用于三維以上，即可以用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示n 維空間圖形中的任意點(diǎn)。也就是說(shuō)，如果從自由度角度來(lái)考慮，也可把n 維空間看成一維，這樣就產(chǎn)生了矛盾。為了避免這一矛盾，必須從根本上重新考慮維數(shù)的定義。為此，提出了不少有關(guān)維數(shù)的定義，其中最易理解且與分形維數(shù)有密切關(guān)系的是相似維數(shù) (Similarity Dimension)。根據(jù)相似性，一般地，如果某圖形是由把全體縮小為的個(gè)相似圖形構(gòu)成，那么此指數(shù)就具有維數(shù)的意義，此維數(shù)被稱為相似維數(shù)。定義22[3] 設(shè)A是(Rn, rE)上的有界子集，如果A可以分成N(1)個(gè)相等且與A相似的部分，則稱A為自相似集. 如果每部分與A的相似比為r，則稱Ds為自相似集A的相似維數(shù)，記為dimsA = Ds，并有Ds = 性質(zhì)22 對(duì)(Rn, rE)上的自相似集A，dimsA = dimHA。提出相似維數(shù)雖然是把經(jīng)驗(yàn)維數(shù)擴(kuò)大為非整數(shù)值的劃時(shí)代進(jìn)展，但按照其定義，它的適用范圍就非常有限，因?yàn)橹挥袑?duì)具有嚴(yán)格相似性的有規(guī)分形，才能應(yīng)用這一維數(shù)。1919年，Hausdorff提出維數(shù)可以是分?jǐn)?shù)即分?jǐn)?shù)維，并定義了分?jǐn)?shù)維的Hausdorff測(cè)度。Hausdorff維數(shù)則適用于包括隨機(jī)圖形在內(nèi)的任意圖形。大部分維數(shù)的定義都是基于“用尺度進(jìn)行量度”這樣的設(shè)想，忽略尺寸小于的不規(guī)則性，并察看當(dāng)時(shí)，這些測(cè)量值的變化。也可以用同樣的方法來(lái)描述Hausdorff維數(shù)。維數(shù)和測(cè)量有密切關(guān)系。為了測(cè)量一塊平面圖形的面積，可以用一個(gè)邊長(zhǎng)為、面積為的“標(biāo)準(zhǔn)”方塊去覆蓋它。所得的方塊數(shù)就是它的面積（以為單位），如果用標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度去測(cè)面積，那就會(huì)得到無(wú)窮大；相反，用標(biāo)準(zhǔn)立體去測(cè)沒有體積的平面，結(jié)果是零。用維的標(biāo)準(zhǔn)體去測(cè)量某個(gè)幾何對(duì)象時(shí)，只有與拓?fù)渚S一致時(shí)，才能得到有限的結(jié)果。如果，結(jié)果是；如果，則得到0。由此得出結(jié)論：對(duì)于一個(gè)有確定維數(shù)的幾何體，若用與它相同維數(shù)的“尺”去量，則可得到一確定的數(shù)值；若用低于它維數(shù)的“尺”去量它，結(jié)果為無(wú)窮大；若用高于它維數(shù)的“尺”去量它，結(jié)果為零。(1) Hausdorff測(cè)度定義23[3] 如果U為n維歐氏空間Rn中任意非空子集，U的直徑|U| sup {|xy| : x, y206。U}如果{Ui}為可數(shù)(或有限)個(gè)直徑不超過(guò)d的集構(gòu)成的覆蓋F的集類，即F204。Ui，且對(duì)任一i，都有0|Ui|163。d，則稱{Ui}為F的一個(gè)d 覆蓋。定義24[3] 設(shè)F為完備度量空間(Rn, rE)的Borel子集，s206。(0, ∞)，對(duì)任何d0，Hds(F) = inf{|Ui|s : {Ui}為F的一個(gè)d 覆蓋} (23)考慮所有直徑不超過(guò)d 的F的覆蓋，并試圖使這些直徑的s次冪的和達(dá)到最小。當(dāng)d減少時(shí)，式(23)中能覆蓋F的集類是減少的，所以下確界Hds(F)隨著d減少不減，且當(dāng)d174。0時(shí)趨于一極限。記：H s(F ) = Hds(F) (24)對(duì)Rn中的任意子集F，這個(gè)極限都存在，但極限值可以是(并且通常是)0或165。，則稱式(24)定義的H s(F)為F的s維Hausdorff測(cè)度。H s為一測(cè)度. 它推廣了長(zhǎng)度、面積和體積等概念。Rn中任何子集的n維Hausdorff測(cè)度與n維勒貝格(Lebesgue)測(cè)度，即通常的n維體積Voln()，相差一常數(shù)倍。更精確地，若F是Rn中Borel子集，則H n(F) = Voln(F)類似地，對(duì)Rn中“好的”低維子集，H0(F)是F中點(diǎn)的數(shù)目；H1(F)給出了光滑曲線F的長(zhǎng)度；若F為光滑曲面，則H2(F)=p/4180。Area(F)；而H3(F)=p/6180。Vol(F)。性質(zhì)23 Hausdorff測(cè)度是平移和旋轉(zhuǎn)不變的。(2) Hausdorff維數(shù)定理23[3] 設(shè)F是(Rn, rE)的有限子集，則存在唯一實(shí)數(shù)so∈[0, n]，使H s(F) = 。定義25[3] 設(shè)F是(Rn, rE)的有限子集，由定理21所決定的唯一實(shí)數(shù)值so 稱為集F的Hausdorff維數(shù)。記為dimH F = so。性質(zhì)24 設(shè)A204。Rn，則dimH A≤n。若A是開集，則dimH A = n。 性質(zhì)25 如果A204。B，則dimH A≤dimHB。性質(zhì)26 設(shè)A1, A2, …為Rn的一子集序列，則dimH () = (dimHAi)。性質(zhì)27 設(shè)A為可數(shù)點(diǎn)集，則dimHA = 0。(3) 盒維數(shù)定義26[3] 設(shè)(X, r)是完備度量空間，令A(yù)∈H(X)，對(duì)每一d0，用Nd(A)表示覆蓋A的半徑為d 0的閉球(或d 網(wǎng)坐標(biāo)塊)的最少個(gè)數(shù)，如果存在，則稱這個(gè)極限值為集A的盒維數(shù)，記為dimBA。性質(zhì)27 設(shè)A∈H(X)，其中(X, r)是完備度量空間，令dn = crn，0r1，c0，則當(dāng)定義26中的盒維數(shù)存在時(shí)，有dimBA = 。定理24[3] 設(shè)A是完備度量空間(Rn, rE)的緊子集，則有dimHA 163。 dimBA 163。n.定理25[3] 設(shè)(X1, r2)，(X2, r2)是等價(jià)的完備度量空間，q是使兩個(gè)空間等價(jià)的變換，q：X1174。X2，A1∈H(X1)，如果A2 = q(A1)∈H(X2)，則dimHA1=dimHA2dimBA1=dimB A2集合的盒維數(shù)雖然有其缺陷，但因其計(jì)算簡(jiǎn)單、易于處理而被經(jīng)常使用。除了很特別的情況，一般分形集的盒維數(shù)具有很好的性質(zhì)并與其Hausdorff維數(shù)相等。圖23 Koch曲線[57]Fig. 23 Koch curve以瑞典數(shù)學(xué)家Von Koch在1904年首次提出的Koch曲線為例，如圖23。它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間的一段用夾角為600的兩條等長(zhǎng)的折線來(lái)代替，形成一個(gè)生成元，然后再把每個(gè)直線段用生成元進(jìn)行代換，經(jīng)過(guò)無(wú)窮多次迭代后就呈現(xiàn)一條有無(wú)窮多彎曲的Koch曲線。Koch曲線是由把全體縮小成1/3的四個(gè)相似形構(gòu)成的，其基本單元由4等長(zhǎng)的線段構(gòu)成，每段長(zhǎng)度為1/3，即。 因此，按式（22），Koch曲線的Hausdorff維數(shù)可表示為因此并非恒為整數(shù)，也可以是個(gè)分?jǐn)?shù)。它定量地表示了Koch曲線的復(fù)雜程度。Mandelbort推廣了Hausdorff維數(shù)并在1982年指出：HausdorffBesicovitch維數(shù)嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)的集合稱為分形。但這是實(shí)驗(yàn)性定義，在實(shí)際應(yīng)用中也無(wú)可操作性。1986年，他修改了這一嘗試性定義，提出“其組成部分以某種方式與整體相似的形體叫分形”。 分形維數(shù)的測(cè)定值得強(qiáng)調(diào)的是，在現(xiàn)實(shí)世界中，分形維數(shù)的定義范圍，是客觀存在的，既存在一個(gè)上限和下限。也就是說(shuō)，純粹數(shù)學(xué)意義上的分形，在自然界是不存在的。對(duì)于現(xiàn)實(shí)中存在的物體，說(shuō)它具有分形的特性，那么在它成立的尺度內(nèi)，必然存在上限和下限，只有在某種被限定的觀察尺度的范圍內(nèi)，其相似性才成立，分形維數(shù)所具有的意義也僅在此范圍內(nèi)。例如，最近有人[8]研究了某些云彩邊界的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)存在從1公里到1000公里的無(wú)標(biāo)度區(qū)。這不難理解，小于1公里的云朵，更多受地形地貌的影響，大于1000公里時(shí)，地球曲率開始起作用。以上討論了分形維數(shù)的數(shù)學(xué)定義。從分維的數(shù)學(xué)定義出發(fā)，可以確定分形維數(shù)的測(cè)量方法。根據(jù)測(cè)量參數(shù)和步驟的不同，大致可分為如下五類：(1) 根據(jù)相關(guān)函數(shù)求維數(shù)；(2) 根據(jù)頻譜求維數(shù)；(3) 改變觀察尺度求維數(shù)；(4) 根據(jù)分布函數(shù)求維數(shù)；(5) 根據(jù)測(cè)度關(guān)系求維數(shù)。本文主要用方法(3)來(lái)進(jìn)行分形維數(shù)的測(cè)量，以下簡(jiǎn)要介紹。(1) 根據(jù)相關(guān)函數(shù)求維數(shù)相關(guān)函數(shù)是最基本的統(tǒng)計(jì)量之一。如果把在空間隨機(jī)分布的某量在坐標(biāo)處的密度記為，則相關(guān)函數(shù)可用下式定義 (25)上式中符號(hào)〈 〉表示平均，當(dāng)分布為分形時(shí)，相關(guān)函數(shù)則為冪型。如果為冪型就不存在特征長(zhǎng)度，相關(guān)總是以同樣的比例衰減的。假如有 則此冪函數(shù)指數(shù)與分形維數(shù)的關(guān)系如下式中d為歐氏空間維數(shù)。相關(guān)函數(shù)經(jīng)傅立葉變換后的波譜，在時(shí)，成為下列冪型: (26) (2) 根據(jù)頻譜求維數(shù)根據(jù)觀測(cè)對(duì)空間或時(shí)間的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行調(diào)查時(shí)，往往可以較簡(jiǎn)單地得到與波數(shù)變化相對(duì)應(yīng)的頻譜。從頻譜的角度來(lái)看，所謂改變觀察的尺度就是改變截止頻率。此處所指的截止頻率，指的是把較此更細(xì)小的振動(dòng)成分舍去的界限頻率。應(yīng)此，如果說(shuō)某變動(dòng)是分形，那么也就等于說(shuō)即使變換截止頻率也不改變頻譜的形狀，這等同于：即使進(jìn)行觀測(cè)尺度的變換，的波譜形狀也不變，具有這種性質(zhì)的頻譜只限于下述冪型 (27)其中稱為功率譜指數(shù)。另一方面，若時(shí)間序列是分形現(xiàn)象，則它的標(biāo)度率應(yīng)是其中為標(biāo)度指數(shù)。由量綱分析所以有 若把單變量的時(shí)間序列看成是一條直線，它應(yīng)該是一維的，頻率的波動(dòng)是在直線上疊加不均勻的漲落造成的，故其拓?fù)渚S，分形維數(shù)和的關(guān)系為對(duì)的單變量時(shí)間序列，因此有 (28)根據(jù)式(28)可通過(guò)功率譜指數(shù)求得分形維數(shù)。(3) 改變觀察尺度求維數(shù)采用改變觀察尺度求維數(shù)是用圓和球、線段和正方形、立方體等具有特征長(zhǎng)度的基本圖形去近似分形圖形，例如用長(zhǎng)度為 的線段集合近似海岸線那樣的復(fù)雜曲線。方法是：先把曲線的一端作為起點(diǎn)，然后以此點(diǎn)為中心畫一個(gè)半徑為的圓，把此圓與曲線最初相交的點(diǎn)和起點(diǎn)用直線連結(jié)起來(lái)，再把此交點(diǎn)重新看作起點(diǎn)，以后反復(fù)進(jìn)行同樣的操作,如下圖24。用長(zhǎng)度為的折線去近似上面的海岸線時(shí)，把測(cè)得的線段總數(shù)記作。如果改變基準(zhǔn)長(zhǎng)度，則也要變化。如果海岸線是筆直的，則有以下的公式： (29)的關(guān)系式能夠成立。但式(29)對(duì)形狀復(fù)雜的海岸線不適用。如果把基準(zhǔn)長(zhǎng)度變小，這時(shí)能測(cè)出大時(shí)被漏掉的細(xì)致構(gòu)造，所以需要更多的小線段（因已變?。﹣?lái)近似海岸線?？梢杂肒och曲線驗(yàn)證。從圖23可知，Koch曲線滿足以下關(guān)系：因=4，可得：上式中的指數(shù)與Koch曲線的相似維數(shù)以及Hausdorff維數(shù)都相同。同時(shí)，式(29)中r的指數(shù)也與直線的維數(shù)一致。因此，一般地說(shuō)，如果某曲線具有 (210)關(guān)系，即可稱為這一曲線的維數(shù)?？梢园汛朔椒ㄟM(jìn)行以下擴(kuò)展：首先，用間隔為的格子把平面分割成邊長(zhǎng)為的正方形，然后數(shù)出此平面上至少包含一個(gè)點(diǎn)的正方形的個(gè)數(shù)，并把此數(shù)記為。如果當(dāng)取不同的大小時(shí)，式(210)成立，則就是平面上點(diǎn)的分布的維數(shù)。如果平面上的點(diǎn)是均勻