【文章內容簡介】 定的分形圖形的五個特征。 分形空間通俗地說，分形空間是定義了Hausdorff度量的拓撲空間，分形集則是分形空間中壓縮映射下的不變集。定義21[3] 設(X, r)是完備度量空間，X的非空緊子集構成一個拓撲空間，記作H(X)。x206。X, A與B206。H(X)，稱r(x, A)=min{r(x, y)：y206。A}為點x到A的距離；A的d 平行體是與A的距離不大于d 的點組成的閉集，即Ad={x206。X：r(x, A)163。d}稱hr(A, B)=inf{d：A206。Bd且B206。Ad}為A與B間的Hausdorff距離。性質21 設(X, r)是完備度量空間，對任意的A, B, C, D206。H(X)，hr(A∪B, C∪D) 163。 max{hr(A, C), hr(B, D)}定理21 (分形空間的完備性)[3] 設(X, r)是完備度量空間，則(H(X), hr)是完備度量空間，稱為分形空間。而且，如果{An206。H(X)}165。n=1是一個柯西序列，則A = An可以表成A = {x206。X：存在柯西序列{xn206。An}165。n=1收斂到x} (21)定理22[3] 設w：X→X是完備度量空間(X, r)上具有壓縮比c的壓縮映射，則由式(22)定義的W：H(X)→H(X)是(H(X), hr)上具有壓縮比c的壓縮映射. W(B) = {w(x)：x206。B} B206。H(X) (22) 分形的數學基礎與維數的測量方法分形和分維同其他數學概念一樣，都是從客觀存在的數和形的關系中抽象出來的。自然界中的分形，真是比比皆是，俯拾可得。但是必須看清在大、小兩方面客觀存在的特征尺度。在分形幾何學的基礎上，分維物理學也正成為有充實內容的研究領域。 分形維數定量描述分形系統的參數是分形維數。分形幾何學是研究被經典數學家稱之為“病態(tài)”的不規(guī)則集合，這些不規(guī)則集合一般來說是不光滑的，定量地表述這種不規(guī)則性是分形維數。所有的分形都具有一個重要的特征：可通過一個特征數，即分形維數測定其不平度，復雜性和卷積度。首先回顧一下歐氏空間中非規(guī)整幾何圖形的幾何量的計算。歐氏幾何學是以規(guī)整幾何圖形為其研究對象。歐氏幾何的測量有以下特點：第一類幾何圖形的測量是以長度為基礎；第二類幾何圖形也是以長度（兩點間的距離）為基礎的，平面圖形以圓為基礎，空間圖形以球為基礎。長度、面積和體積的量綱數分別等于幾何圖形存在的空間的維數，分別是長度單位的和3次冪。把自由度數作為維數（又稱為經驗維數）的設想是很自然的，但早在1890年就有人對經驗維數提出了較深刻的疑問，這是因為可以用一條曲線即可把平面完全覆蓋，其中最好例子是Peano曲線，如圖22所示。 圖22 Peano曲線Fig. 22 Peano curvePeano曲線可定義為圖中折線的極限。從圖中可以看出，此曲線同樣可以把平面完全覆蓋住。此曲線屬于自相似，處處都不能微分，是分形的一個例子，被稱為非規(guī)整幾何圖形。Peano曲線的考慮方法，也適用于三維以上，即可以用一個實數來表示n 維空間圖形中的任意點。也就是說，如果從自由度角度來考慮，也可把n 維空間看成一維，這樣就產生了矛盾。為了避免這一矛盾，必須從根本上重新考慮維數的定義。為此，提出了不少有關維數的定義，其中最易理解且與分形維數有密切關系的是相似維數 (Similarity Dimension)。根據相似性，一般地，如果某圖形是由把全體縮小為的個相似圖形構成，那么此指數就具有維數的意義，此維數被稱為相似維數。定義22[3] 設A是(Rn, rE)上的有界子集，如果A可以分成N(1)個相等且與A相似的部分，則稱A為自相似集. 如果每部分與A的相似比為r，則稱Ds為自相似集A的相似維數，記為dimsA = Ds，并有Ds = 性質22 對(Rn, rE)上的自相似集A，dimsA = dimHA。提出相似維數雖然是把經驗維數擴大為非整數值的劃時代進展，但按照其定義，它的適用范圍就非常有限，因為只有對具有嚴格相似性的有規(guī)分形，才能應用這一維數。1919年，Hausdorff提出維數可以是分數即分數維，并定義了分數維的Hausdorff測度。Hausdorff維數則適用于包括隨機圖形在內的任意圖形。大部分維數的定義都是基于“用尺度進行量度”這樣的設想，忽略尺寸小于的不規(guī)則性，并察看當時，這些測量值的變化。也可以用同樣的方法來描述Hausdorff維數。維數和測量有密切關系。為了測量一塊平面圖形的面積，可以用一個邊長為、面積為的“標準”方塊去覆蓋它。所得的方塊數就是它的面積（以為單位），如果用標準長度去測面積，那就會得到無窮大；相反，用標準立體去測沒有體積的平面，結果是零。用維的標準體去測量某個幾何對象時，只有與拓撲維一致時，才能得到有限的結果。如果，結果是；如果，則得到0。由此得出結論：對于一個有確定維數的幾何體，若用與它相同維數的“尺”去量，則可得到一確定的數值；若用低于它維數的“尺”去量它，結果為無窮大；若用高于它維數的“尺”去量它，結果為零。(1) Hausdorff測度定義23[3] 如果U為n維歐氏空間Rn中任意非空子集，U的直徑|U| sup {|xy| : x, y206。U}如果{Ui}為可數(或有限)個直徑不超過d的集構成的覆蓋F的集類，即F204。Ui，且對任一i，都有0|Ui|163。d，則稱{Ui}為F的一個d 覆蓋。定義24[3] 設F為完備度量空間(Rn, rE)的Borel子集，s206。(0, ∞)，對任何d0，Hds(F) = inf{|Ui|s : {Ui}為F的一個d 覆蓋} (23)考慮所有直徑不超過d 的F的覆蓋，并試圖使這些直徑的s次冪的和達到最小。當d減少時，式(23)中能覆蓋F的集類是減少的，所以下確界Hds(F)隨著d減少不減，且當d174。0時趨于一極限。記：H s(F ) = Hds(F) (24)對Rn中的任意子集F，這個極限都存在，但極限值可以是(并且通常是)0或165。，則稱式(24)定義的H s(F)為F的s維Hausdorff測度。H s為一測度. 它推廣了長度、面積和體積等概念。Rn中任何子集的n維Hausdorff測度與n維勒貝格(Lebesgue)測度，即通常的n維體積Voln()，相差一常數倍。更精確地，若F是Rn中Borel子集，則H n(F) = Voln(F)類似地，對Rn中“好的”低維子集，H0(F)是F中點的數目；H1(F)給出了光滑曲線F的長度；若F為光滑曲面，則H2(F)=p/4180。Area(F)；而H3(F)=p/6180。Vol(F)。性質23 Hausdorff測度是平移和旋轉不變的。(2) Hausdorff維數定理23[3] 設F是(Rn, rE)的有限子集，則存在唯一實數so∈[0, n]，使H s(F) = 。定義25[3] 設F是(Rn, rE)的有限子集，由定理21所決定的唯一實數值so 稱為集F的Hausdorff維數。記為dimH F = so。性質24 設A204。Rn，則dimH A≤n。若A是開集，則dimH A = n。 性質25 如果A204。B，則dimH A≤dimHB。性質26 設A1, A2, …為Rn的一子集序列，則dimH () = (dimHAi)。性質27 設A為可數點集，則dimHA = 0。(3) 盒維數定義26[3] 設(X, r)是完備度量空間，令A∈H(X)，對每一d0，用Nd(A)表示覆蓋A的半徑為d 0的閉球(或d 網坐標塊)的最少個數，如果存在，則稱這個極限值為集A的盒維數，記為dimBA。性質27 設A∈H(X)，其中(X, r)是完備度量空間，令dn = crn，0r1，c0，則當定義26中的盒維數存在時，有dimBA = 。定理24[3] 設A是完備度量空間(Rn, rE)的緊子集，則有dimHA 163。 dimBA 163。n.定理25[3] 設(X1, r2)，(X2, r2)是等價的完備度量空間，q是使兩個空間等價的變換，q：X1174。X2，A1∈H(X1)，如果A2 = q(A1)∈H(X2)，則dimHA1=dimHA2dimBA1=dimB A2集合的盒維數雖然有其缺陷，但因其計算簡單、易于處理而被經常使用。除了很特別的情況，一般分形集的盒維數具有很好的性質并與其Hausdorff維數相等。圖23 Koch曲線[57]Fig. 23 Koch curve以瑞典數學家Von Koch在1904年首次提出的Koch曲線為例，如圖23。它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間的一段用夾角為600的兩條等長的折線來代替，形成一個生成元，然后再把每個直線段用生成元進行代換，經過無窮多次迭代后就呈現一條有無窮多彎曲的Koch曲線。Koch曲線是由把全體縮小成1/3的四個相似形構成的，其基本單元由4等長的線段構成，每段長度為1/3，即。 因此，按式（22），Koch曲線的Hausdorff維數可表示為因此并非恒為整數，也可以是個分數。它定量地表示了Koch曲線的復雜程度。Mandelbort推廣了Hausdorff維數并在1982年指出：HausdorffBesicovitch維數嚴格大于其拓撲維數的集合稱為分形。但這是實驗性定義，在實際應用中也無可操作性。1986年，他修改了這一嘗試性定義，提出“其組成部分以某種方式與整體相似的形體叫分形”。 分形維數的測定值得強調的是，在現實世界中，分形維數的定義范圍，是客觀存在的，既存在一個上限和下限。也就是說，純粹數學意義上的分形，在自然界是不存在的。對于現實中存在的物體，說它具有分形的特性，那么在它成立的尺度內，必然存在上限和下限，只有在某種被限定的觀察尺度的范圍內，其相似性才成立，分形維數所具有的意義也僅在此范圍內。例如，最近有人[8]研究了某些云彩邊界的幾何性質，發(fā)現存在從1公里到1000公里的無標度區(qū)。這不難理解，小于1公里的云朵，更多受地形地貌的影響，大于1000公里時，地球曲率開始起作用。以上討論了分形維數的數學定義。從分維的數學定義出發(fā)，可以確定分形維數的測量方法。根據測量參數和步驟的不同，大致可分為如下五類：(1) 根據相關函數求維數；(2) 根據頻譜求維數；(3) 改變觀察尺度求維數；(4) 根據分布函數求維數；(5) 根據測度關系求維數。本文主要用方法(3)來進行分形維數的測量，以下簡要介紹。(1) 根據相關函數求維數相關函數是最基本的統計量之一。如果把在空間隨機分布的某量在坐標處的密度記為，則相關函數可用下式定義 (25)上式中符號〈 〉表示平均，當分布為分形時，相關函數則為冪型。如果為冪型就不存在特征長度，相關總是以同樣的比例衰減的。假如有 則此冪函數指數與分形維數的關系如下式中d為歐氏空間維數。相關函數經傅立葉變換后的波譜，在時，成為下列冪型: (26) (2) 根據頻譜求維數根據觀測對空間或時間的隨機變量的統計性質進行調查時，往往可以較簡單地得到與波數變化相對應的頻譜。從頻譜的角度來看，所謂改變觀察的尺度就是改變截止頻率。此處所指的截止頻率，指的是把較此更細小的振動成分舍去的界限頻率。應此，如果說某變動是分形，那么也就等于說即使變換截止頻率也不改變頻譜的形狀，這等同于：即使進行觀測尺度的變換，的波譜形狀也不變，具有這種性質的頻譜只限于下述冪型 (27)其中稱為功率譜指數。另一方面，若時間序列是分形現象，則它的標度率應是其中為標度指數。由量綱分析所以有 若把單變量的時間序列看成是一條直線，它應該是一維的，頻率的波動是在直線上疊加不均勻的漲落造成的，故其拓撲維，分形維數和的關系為對的單變量時間序列，因此有 (28)根據式(28)可通過功率譜指數求得分形維數。(3) 改變觀察尺度求維數采用改變觀察尺度求維數是用圓和球、線段和正方形、立方體等具有特征長度的基本圖形去近似分形圖形，例如用長度為 的線段集合近似海岸線那樣的復雜曲線。方法是：先把曲線的一端作為起點，然后以此點為中心畫一個半徑為的圓，把此圓與曲線最初相交的點和起點用直線連結起來，再把此交點重新看作起點，以后反復進行同樣的操作,如下圖24。用長度為的折線去近似上面的海岸線時，把測得的線段總數記作。如果改變基準長度，則也要變化。如果海岸線是筆直的，則有以下的公式： (29)的關系式能夠成立。但式(29)對形狀復雜的海岸線不適用。如果把基準長度變小，這時能測出大時被漏掉的細致構造，所以需要更多的小線段（因已變小）來近似海岸線。可以用Koch曲線驗證。從圖23可知，Koch曲線滿足以下關系：因=4，可得：上式中的指數與Koch曲線的相似維數以及Hausdorff維數都相同。同時，式(29)中r的指數也與直線的維數一致。因此，一般地說，如果某曲線具有 (210)關系，即可稱為這一曲線的維數?？梢园汛朔椒ㄟM行以下擴展：首先，用間隔為的格子把平面分割成邊長為的正方形，然后數出此平面上至少包含一個點的正方形的個數，并把此數記為。如果當取不同的大小時，式(210)成立，則就是平面上點的分布的維數。如果平面上的點是均勻