【正文】 洞的Waclaw Sierpinski地毯、處處連續(xù)但處處不可微的Weierstrass函數(shù)等數(shù)學(xué)“怪物”就成為混沌、分形理論中的主要研究對(duì)象。它引導(dǎo)人們?nèi)パ芯磕切┎荒苡闷胀ǖ拈L度、面積和體積刻畫、在微積分中被認(rèn)為是“病態(tài)”的非規(guī)整幾何體的各種性質(zhì)，研究者必須改變測(cè)度，跳出原有的歐氏空間，進(jìn)入“分形空間”。四川科技出版社出版的《大自然探索》雜志，在國內(nèi)首次開設(shè)了“分形與分維”專欄，并已推出兩期文章。分形對(duì)哲學(xué)、自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)已產(chǎn)生了巨大而深刻的影響，美國化學(xué)文摘(Chemical Abstracts，CA)幾乎每期都有數(shù)篇乃至十?dāng)?shù)篇涉及關(guān)鍵詞fractals的文獻(xiàn)。這種局部和整體的特殊的“自相似性”，為人類認(rèn)識(shí)自然、控制自然提供了新的工具. 從局部看整體乃至控制整體，是人類認(rèn)識(shí)史上的又一次飛躍。分形理論的出現(xiàn)再一次說明“物理、幾何的直觀對(duì)于數(shù)學(xué)問題和方法是富有生命力的根源”這一哲理的深刻性；分形的概念再一次喚起人們對(duì)歐氏空間測(cè)度概念的轉(zhuǎn)變，促使人們進(jìn)一步尋找和認(rèn)識(shí)反映客觀自然的新的空間觀。一般地，可把分形看作大小碎片聚集的狀態(tài)，是沒有特征長度的圖形和現(xiàn)象的總稱。分形，其原意是“不規(guī)則的、分?jǐn)?shù)的、支離破碎的”物質(zhì)，是指一類極具破碎而復(fù)雜，但有自相似性或自仿射性的體系。最初(1982年)，Mandelbrot把“分形”定義為Hausdorff維數(shù)嚴(yán)格大于拓?fù)渚S數(shù)的集合[1,2] (該定義引起了劇烈的爭(zhēng)論)。目前許多國家已出現(xiàn)了“分形熱”。隨后他的專著《分形—形、機(jī)遇和維數(shù)》(Fractal: Form, Chance and Dimension)(1975)出版，1982年，Mandelbrot正式出版《The Fractal Geometry of Nature》，標(biāo)志著分形理論的正式誕生。此后，龐特里亞金(，1908)與貝塞克維奇(，18911970)為維數(shù)定義的發(fā)展作出了自己應(yīng)有的貢獻(xiàn)。奧地利數(shù)學(xué)家門格爾()證明，任何曲線都可嵌入謝爾賓斯基地毯中。universal墓垛。Koch，18701924)構(gòu)造出柯赫雪花曲線。這一曲線出現(xiàn)后，人們提出應(yīng)該正確考慮以往的長度與面積的概念。Annalin1890年，皮亞諾(，18581932)提出充滿空間的曲線——皮亞諾曲線。如今它已成為分形1883年，康托爾(，18451918)構(gòu)造了三分集，也叫康托爾非連續(xù)統(tǒng)。動(dòng)，并與“列維飛行”(Levy后來科學(xué)家對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了多方面的研究，維納(，18941964)等人在此基礎(chǔ)上創(chuàng)立隨機(jī)過程理論。 1827年英國植物學(xué)家布朗(,17731858)用顯微鏡發(fā)現(xiàn)微細(xì)顆粒在液體中作無規(guī)則行走關(guān)鍵詞：分形理論、分形維數(shù)、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、毯子算法AbstractSince Mandelbrot created the concept of fractal, the Fractal had bee a new subject crossing the natural science and social science. The basic idea of the Fractal is that impersonality substance has the selfsimilar arrange structure, the part and the whole are statistically similar in the form, function, information, time and space, it is also called selfsimilarity. The introduction of the principle of selfsimilar let the fractal theory bee a power tool of studying and manipulating the anomaly image in nature and project. In a broad sense, the surface of any object can be seen as being made of surfaces of some texture character, any image includes gray level surfaces which is made of some kinds of texture. There are significant changes of gray level between different kinds of texture surfaces, and it is called edge. Most texture image can be described by a fractal model, the changes of texture character include the information of edge of the image. Now using the fractal method to detect the edge of image has been a important application of fractal figure subject.In this paper, on the base of image fractal modelFraction Brownian Motion, the author will analysis the fractal parameter of the image to report a new edge detection character, and will pute the threshold value of image base on the fractal character to finish the process of edge detection, at last the author will pare the edge image detected by this method to the edge image which is done by classic differential coefficient arithmetic operators. Far from this, the author will give two kinds of method advanced, these advanced methods will reduce the time of running the program greatly and improve the efficiency of the program. The effect of the methods advanced can also be very well though it may not be as well as the former one. The application of these methods is also discussed in this paper.First the paper introduce the background of Fractal and the status of the Fractal in modern science, second the author proposed a edge detection method base on puting the fractal character of the texture image, having proved that this method is much better than the classic differential coefficient arithmetic operators, the author give two kinds of methods advanced, the method multiply the fractal method with scaning method. At last, the author discuss the application of the method in physic image, and give some advice. Keywords: Fractal theory, fractal dimension, Fraction Brownian Motion, blanket method 目 錄摘 要 IAbstract II第一章 引言 1 分形的理論背景 1 從規(guī)則到不規(guī)則 4 分形的本質(zhì)特性——自相似性 5 標(biāo)度不變性 7 分維 7 隨機(jī)分形與大自然中的分形 8第二章 分形理論基礎(chǔ) 9 分形的定義 9 分形空間 11 分形的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與維數(shù)的測(cè)量方法 12 分形維數(shù) 12 分形維數(shù)的測(cè)定 17 實(shí)際測(cè)量中碼尺與分形維數(shù)關(guān)系 20 分形理論最新進(jìn)展 21 多度域分形和分形測(cè)度 21 函數(shù)曲線圖的分形維數(shù) 23 分形理論的發(fā)展方向 24第三章 基于多尺度分形理論的邊緣檢測(cè)算法 25 經(jīng)典的邊緣檢測(cè)算法——微分算子 25 分形在圖像處理的理論 27 分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)場(chǎng)及邊緣檢測(cè)分形特征的提取 27 分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)場(chǎng) 27 邊緣檢測(cè)分形特征的提取 28 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)現(xiàn) 30第四章 對(duì)多尺度分形算法的一些改進(jìn) 35 圖像的分形掃描 35 常用圖像掃描技術(shù) 36 Hilbert曲線掃描矩陣的快速生成 36 一維分形曲線的分形維數(shù)的計(jì)算方法 38 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)現(xiàn) 39第五章 基于分形理論的邊緣檢測(cè)算法在醫(yī)學(xué)圖像中的應(yīng)用 42 對(duì)醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)的意義 42 分形算法應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像處理的仿真 42第六章 總結(jié) 49參考文獻(xiàn) 51致謝 53第一章 引言 分形的理論背景分形的思想可以追溯至遙遠(yuǎn)的古代。本文首先介紹了分形產(chǎn)生的背景以及近年來發(fā)展的狀況，在此基礎(chǔ)上提出了一種基于計(jì)算紋理圖像的分形特征進(jìn)行邊緣檢測(cè)的算法，證明了該算法優(yōu)于傳統(tǒng)的微分算子的方法，進(jìn)而又提出了兩種改進(jìn)算法，即分形與圖像掃描技術(shù)相結(jié)合的算法。在此基礎(chǔ)上，本人提出了兩種改進(jìn)算法，改進(jìn)算法可以大大節(jié)省程序運(yùn)行的時(shí)間，提高了程序的執(zhí)行效率，同時(shí)改進(jìn)算法也可以達(dá)到很好的邊緣檢測(cè)效果。目前運(yùn)用分形理論進(jìn)行圖像邊緣檢測(cè)已成為分形圖形學(xué)的一種重要應(yīng)用。在這些不同紋理灰度表面之間灰度起伏變化顯著，外在就表現(xiàn)為邊緣。自相似性原理的引入使分形理論成為研究和處理自然與工程中不規(guī)則圖形的有力工具。摘 要自從Mandelbrot提出分形的概念以來，分形學(xué)已發(fā)展成為一門橫跨自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)各研究領(lǐng)域的新興學(xué)科。分形學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，即自相似性。廣義而言，任何物體表面都可以看作是由某種紋理特征的表面構(gòu)成，故任何圖像都包含了若干種紋理區(qū)域的灰度表面。大多數(shù)紋理圖像都可以用分形模型進(jìn)行描述，而紋理特征的變化包含了圖像的邊緣信息。本文在圖像分形模型—分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)場(chǎng)的基礎(chǔ)上，通過分析圖像的分形參數(shù)，提出一種新的邊緣檢測(cè)特征度量，并根據(jù)邊緣分形特征計(jì)算出自適應(yīng)閾值，實(shí)現(xiàn)圖像的邊緣檢測(cè)，并且將利用該算法提取的邊緣圖像與用傳統(tǒng)的微分算子提取的邊緣圖像進(jìn)行了比較以證明本文提出的方法是一種更有效的邊緣檢測(cè)算法。對(duì)此算法在實(shí)際中的應(yīng)用本文用專門的篇章進(jìn)行了詳細(xì)的討論。最后將該分形算法應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像處理中，取得了良好的效果，并提出了一些改進(jìn)建議。當(dāng)時(shí)的思想家和哲學(xué)家們已意識(shí)到自然界局部與整體之間的某些類似性，提出了“一沙一世界，一花一天國”、“萬物各具一理，萬理同出一源”等光輝思想。此現(xiàn)象被稱為布朗運(yùn)動(dòng)。進(jìn)入80年代，人們以分形的眼光看待布朗運(yùn)flight)相聯(lián)系，找到了確定論與隨機(jī)論的內(nèi)在聯(lián)系。它與實(shí)直線是相對(duì)立的，當(dāng)時(shí)人們覺得它幾乎是病態(tài)的。幾何學(xué)的最典型、最簡(jiǎn)單的模型。次年，希爾伯特(,18621943)在《數(shù)學(xué)年刊》(Mathematische)上發(fā)表短文，提出了能充滿平面區(qū)域的著名的希爾伯特曲線。1904年，瑞典數(shù)學(xué)家柯赫(19151916年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基(，18821969)構(gòu)造了謝氏曲線、海綿、謝氏地毯是平面萬有曲線(planecurve)，謝氏海綿是空間萬有曲線。1919年，豪斯道夫(，18681942)給出維數(shù)的新定義，為維數(shù)的非整化提供了理論基礎(chǔ)。從60年代末開始，Mandelbrot所發(fā)表的一系列重要的文章使分形的思想更加具體、系統(tǒng)和科學(xué)化。80年代初，分形理論已廣泛應(yīng)用于眾多的領(lǐng)域，并獲得巨大的成功?！胺中巍币辉~由Mandelbrot于1975年首次提出，譯自fractal一詞，過去的譯名有多種，如“殖裂”、“斷片”、“分?jǐn)?shù)維”等，現(xiàn)多統(tǒng)一譯為“分形”。為避免這一定義的濃厚數(shù)學(xué)味道，其后(1986年)他又給出定義：其組成部分與整體以某種方式相似的“形”叫“分形”(A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way)。之后，許多學(xué)者指出分形定義的不確切性，建議對(duì)“分形”定義用和生物中對(duì)“生命”定義同樣的處理方法[3,4]；另外一些學(xué)者分別從物理、工程技術(shù)和純數(shù)學(xué)角度展開廣泛的研究。由于在許多學(xué)科中的迅速發(fā)展，分形已成為一門描述自然界中許多不規(guī)則事物的規(guī)律性學(xué)科。分形集具有任意小尺度下的比例細(xì)節(jié)，或者說它具有“精細(xì)結(jié)構(gòu)”，具有任意尺度意義下無法測(cè)量的“自相似性”和“標(biāo)度不變性”。分維(fractal dimension)是定量描寫分形的重要參數(shù)，有多種定義和計(jì)算方法. 分形現(xiàn)象在自然界和社會(huì)活動(dòng)中廣泛存在，所涉及的領(lǐng)域已遍及哲學(xué)、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、材料科學(xué)、表面科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)學(xué)、天文學(xué)、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)、地