【正文】 的產生原因是由于：實際存在的分形體不具有無限層次的自相似結構。所以，測量碼尺存在一個合理的取值范圍，當時，測得的有限層次分形體的分維是一確定值，在這里是下臨界點，是上臨界點；當或時，測得的分維值，而且是不確定的，碼尺的臨界值是由實際分形體的最小自相似結構層次所決定的，所以在研究實際的分形體時，碼尺的取值范圍不是任意的，必須先對該分形體的結構特點行細致的分析，再選擇碼尺和確定臨界點。分形理論用于實際分形體的研究是有條件的。而測量分維的碼尺只有在能夠測量出分形體的自相似性時，其測量的分維值才是真實的。在實際系統(tǒng)中，對于復雜的分形，必須采用多種維數(shù)來描述。在分形應用上人們基本上仍然局限于自相似分形，目前主要工作集中研究分形的物理機理，去研究其現(xiàn)實性存在的范圍和程度。在分形理論上，人們已從單一維的分形描述過渡到多標度分形分析。在一個分形體上，不同物理量的不連續(xù)分布決定了相應于給定奇異測度分布的無限分形集，因而不同的分布決定了在分形物體上的不同多標度分形譜，它是物體微觀特性的一個反映。對于具有臨界行為的物理現(xiàn)象，一般有為標度指數(shù)。 對于許多非線性問題而言，標度指數(shù)序列通常構成一個“譜”，這個譜的性質反映了所研究問題的某種有別于其他的特性。他認為同一種材料中可能存在多種分形結構，如沿晶裂紋、穿晶裂紋、位錯線、空位團、沉積相等，它們都存在于一定的度域范圍。就多度域分形概念，有如下幾點結論：(1) 分形的物理研究離不開它的對象——物質。材料中的嵌套結構除了有限代層意外還可能同時存在多種嵌套結構，它們有各自的度域范圍，統(tǒng)稱為多度域分形。(3) 試驗得到的雙對數(shù)坐標圖上的直線關系并不一定代表單一的分形結構，沿晶和穿晶開裂并存的實驗結果說明進行材料中分形實驗研究時，輔以其它試驗觀察是非常必要的。并不是所以的非均勻結構都可以套用多度域分形的概念。在高應力條件下，穿晶機制才參加進來，又組成穿晶裂紋的自相似系統(tǒng)。分形概念揭示了自然界中一大類無規(guī)則體的內在規(guī)律性——標度不變性。近年來的研究結果表明，就分形幾何學而言，實際上并不象研究初期所想象的那樣，存在一個普適的分形維數(shù)。而且，在各個復雜形體的形成過程中，其局域條件是非常重要的，不同的局域條件或者漲落引起的參量波動是造成這類形體的形態(tài)各異的主要原因之一。為了進一步了解在分形體形成過程中局域條件的作用，人們提出了多重分形方法（multifractal approach），也稱為分形測度（fractal measure），它討論的主要是某個參量的幾率分布。多重分形描述的是一個具有標度特性的分形幾何體在生長過程中不同層次的特征。 函數(shù)曲線圖的分形維數(shù)許多在理論上和實際中的重要分形可用函數(shù)圖來表現(xiàn)。就函數(shù)圖的維數(shù)而言，考慮函數(shù)，在一定的情形下，作為坐標平面子集的圖可能是分形。如果是連續(xù)可微的，則容易看出graph的維數(shù)是1，而且它是規(guī)則1集。 (211)式(211)中，且。函數(shù)迅速的小尺度的振蕩使得相對較少的函數(shù)圖上的點落入勒貝格測度圓內，所以測度值較小，值較大。值越大，說明信號振蕩尺度越小，變化越為迅速。則有定義：若，則稱為在上的分數(shù)階光滑度，記作。在數(shù)學上，當，且并適當大時，它們的分數(shù)階光滑度和圖形分形維數(shù)之間有以下公式成立 (212)式(212)表明當函數(shù)的分數(shù)階光滑度增加時，它的圖形維數(shù)就會減少，但兩者之和始終保持為2。自然科學領域中的分形學術論文不斷增加，社會科學領域涉及分形的論文和書籍也是越來越多。國際學術刊物Chaos, Solitons and Fractal和FractalsAn Interdisciplinary Journal on the Complex Geometry of Nature 先后于1991年和1993年正式創(chuàng)刊。但這只是一個試驗性定義，很不嚴格。因此，要給分形一個嚴格的定義，還需要努力。(2) 分形維數(shù)的物理意義分形維數(shù)是描述分形特征的定量參數(shù)，但如何理解分維確切的物理意義，還需要針對具體的研究對象進行分析。第三章 基于多尺度分形理論的邊緣檢測算法圖像邊緣檢測是圖像處理與分析中最基礎的內容之一，也是至今沒有得到圓滿解決的一類問題。邊緣當然也由于上述成像中的各種原因而難于檢測。圖像的邊緣是圖像性區(qū)域和另一屬性區(qū)域交接的，是區(qū)域屬性發(fā)生突變的地方，是圖像中不確定性最大的地方，也是圖像信息最集中之處。因此，圖像邊緣和輪廓特征的檢測與提取方法，一直是圖像處理與分析技術中的研究熱點．圖像邊緣檢測作為視覺的一個早期階段，有著很長的研究歷史，新理論、新方法不斷涌現(xiàn)。從而，人們自然最早提出了一階微分邊緣算子，如Robert算子、Sobel算子、Prewitt算子和Kirsh算子等[10, 11]，這些算子由于梯度或一階微分算子通常在圖像邊緣附近的區(qū)域內產生較寬的響應，故采用上述算子檢測的邊緣圖像常需作細化處理，這就影響了邊緣定位的精度；因而又產生了與邊緣方向無關的二階微分邊緣檢測算子，即Laplacian算子[10, 11]。因此，二階微分形式的邊緣檢測算子是目前邊緣檢測的主要手段之一。由于圖像邊緣和噪聲均為頻域中的高頻分量，簡單的微分運算會增加圖像中的噪聲，因此在微分運算之前應采取適當?shù)钠交瑸V波以減少高頻分量中噪聲的影響。Deriche將Canny的算法作了一定的簡化[12]，并直接將Canny的基于有限寬度的邊緣檢測器推廣至無限寬度，從而增加了邊緣檢測算子的抗噪性能，但Deriche和Canny的研究是針對單邊緣模型的。隨著平滑濾波技術的日漸完善，平滑二階微分的邊緣檢測算子也在近年來得到了應用。Marr—Hildreth認為LOG 算子[16]是這類邊緣檢測算子中應用最成功的一種，并且從生理學和心理學的角度證明了其邊緣檢測的有效性。Marr—Hildreth指出[16]，用不同尺度的LOG算子作用于圖像，可得到圖像在不同分辨率上的描述。因此，尺度參數(shù)的選擇是該算法的關鍵。當濾波器的方差減小為零時，假邊緣將完全消失，不過這種算法實現(xiàn)較復雜。由于存在局部之間的自相似性，就可以在適當?shù)某叨认掠嬎銏D像灰度的分形值，以此分形維數(shù)為參數(shù)來對圖像進行處理[19]。有關概念簡述如下：定義1 設H 滿足0H1，b0 為任意實數(shù)，若隨機函數(shù)滿足則稱BH(t)為分數(shù)布朗運動（FBM），其中H 為Hurst 指數(shù)，b0 為初始值，ω為樣本空間Ω，H=1/2 時為通常的布朗運動。)為概率測度，||分數(shù)布朗隨機場BH(t)具有如下性質： (32)由以上性質可知，F(xiàn)BRF 增量的一、二階絕對矩是各向同性的。從(31)和(32)式可以看出，Hurst 指數(shù)決定了一個分數(shù)布朗運動，由Hurst 指數(shù)可得圖像表面的分形維數(shù)： (33)式中DT 為圖像表面的拓撲維數(shù)。在分形學里維數(shù)可以為分數(shù)，通過分形維數(shù)我們可以描述和測量分形的特性。對于理想的均勻的二維灰度圖像，A(ε)為圖像表面積測度，拓撲維數(shù)為2，則有 (35)對于分形維數(shù)，人們傾注了許多注意力，并指出分形維數(shù)是圖像表面不規(guī)則程度的一種度量，它反映了圖像灰度曲面的粗糙程度[20]。 邊緣檢測分形特征的提取考慮(35)式中的系數(shù)K。給定一個理想分形曲面，K為一常數(shù)，若圖像是由不同的紋理曲面組成，或是分形曲面中嵌入了非分形對象，例如自然場景中存在人造目標，K 將不再是一個常數(shù)，而是尺度ε的函數(shù)，它反映了尺度變化的情況下曲面面積的變化，取不同的尺度，由(35)式可得： (36)式中ε1,ε2為不同尺度，可見K值反映了圖像表面積隨尺度變化的空間變化率。由此可以看出，系數(shù)K實際上是一個類似于面積的分形參數(shù)，稱之為面積度量。所以，面積度量同分形維數(shù)一樣反映了圖像表面的粗糙程度，即圖像灰度曲面的“起伏程度”。對二維數(shù)字圖像而言，分形維數(shù)2D3，而面積度量K 的取值范圍是正實數(shù)，所以它對于不同性質的曲面具有更好的區(qū)分度。值得注意的是，在不同光滑曲面交界處，如前所述，即不同紋理灰度表面之間，灰度起伏變化相對于無論哪一種紋理圖像來說都更加顯著，面積度量相應很大，而這些紋理交界處正是圖像邊界所在，所以可以用面積度量來檢測邊緣。為計算邊緣檢測分形特征，采用“地毯覆蓋法”估計圖像灰度表面積測度A(ε)?？紤]與曲面相距ε的所有像素點，顯然，灰度曲面以上的點構成一個上表面U(i,j,ε)，以下的點構成一個下表面B(i, j,ε)（如圖32(b)所示）。地毯的上、下表面定義如下： (38)式中 f(i,j) ( i=0,1,2 …X。當d=1 時，表示4鄰域，d=2時，表示8鄰域。對于圖32(a)中的原始圖像，計算圖像每一點的邊緣檢測分形特征K，從而得到K的特征圖像，其三維表示如圖32(d)所示。圖32“地毯”覆蓋法及邊緣檢測分形特征(a) 原始圖像。 (c) 原始圖像灰度曲面。 (b) “Carpet” crosssection。 (d) 3 D image of edge detection fractal feature K 計算機仿真實現(xiàn)計算機仿真步驟如下：(1) 對一副NN 的圖像，按逐行逐列的掃描順序，以矩形窗R(MM)為處理區(qū)域，計算矩形窗中心像素的邊緣檢測分形特征K(i, j)，如此得到邊緣檢測分形特征圖像；(2) 計算自適應閾值T，對圖像進行二值化處理，檢測出邊緣。但在實際中不存在真正的分形，圖像僅在一小尺度范圍內呈現(xiàn)分形的自相似性，所以在計算邊緣檢測分形特征的過程中，尺度ε取為1≤ε≤9；② 局部處理區(qū)域R的尺寸與邊緣檢測的精度和速度有密切關系。所以在算法實現(xiàn)過程中應選取較小的局部處理區(qū)域。更準確的閾值需要直觀比較多個以不同閾值得到的圖像，選擇其中效果最好的那個。然后采用多尺度的分形方法，以3*3的窗口為處理區(qū)域，計算這個窗口中心象素的分形分形維數(shù)，得到圖像每個象素的分形特征，然后根據(jù)(310)式，挑選三個閾值進行二值化處理，得到三幅圖像，然后根據(jù)肉眼觀察確定效果最好的那一幅：(a) 原始圖像(b) (c) (d) 圖33 用多尺度分形算法得到的邊緣圖像 Edge detection base on multiresolution fractal method(a) Original image (b) Edge detection using parameter (c) Edge detection using parameter (d) Edge detection using parameter 圖33是根據(jù)幾個不同閾值進行二值化處理后所得到的幾幅圖像，對比圖32的兩幅用經(jīng)典的微分算子得到的邊緣圖像可以看到，用Sobel算子檢測得到的圖像過于簡單，遺漏了許多重要的細節(jié)。 (a) 加高斯噪聲后的Lenna圖像 (b) 用Sobel算子檢測噪聲圖像后得到的邊緣 (c) 用Canny算子檢測噪聲圖像后得到的邊緣 (d) (e) 圖34 對有噪聲的圖像進行邊緣檢測 Edge detection on the image with noise(a) Lenna image with Gaussian noise (b) Detect the noiseimage with Sobel arithmetic operators (c) Detect the noiseimage with Canny arithmetic operators (d) Use the parameter to detect the noiseimage (e) Use the parameter to detect the noiseimage傳統(tǒng)的微分算子的主要缺點就是對噪聲很敏感，因為在算子中使用了梯度運算，常常把噪聲誤認為邊緣，使得得到的邊緣的質量下降。對原始的Lenna圖加高斯噪聲，如圖34(a)所示，用傳統(tǒng)的微分算子進行檢測的結果可以在圖34(b)和圖34(c)中看見，從中可以看到，用Sobel算子檢測的圖像看不到噪聲，但是由于噪聲的影響，使得圖像的質量進一步下降，邊緣更加粗略了，基本沒有原圖像的細節(jié)了。圖34(d)與圖34(e)是以分形算法得到的邊緣圖像，并且同時保留了圖像的大部分邊緣特征，只是左邊的柱子的邊緣無法辨別，因此，根據(jù)圖34(d)的效果來看，我們可以認為分形算法可以達到很好的抗噪效果。本文將在下面討論一種新的快速算法以使程序運行的時間大大縮短，Matlab對循環(huán)的執(zhí)行效率不高，尤其是對多重循環(huán)，因此可以采用圖像掃描的方法使圖像的灰度值存到一維數(shù)組中，這樣就可以使程序運行的時間大大縮短。在下面的篇章中，首先介紹圖像的掃描技術，找到一種合適于邊緣檢測的掃描方法，然后討論所用的計算一維分形曲線的分形維數(shù)的方法。 n206。 22k，代表掃描序號；1 163。 2k，( i, j )代表象素點在原圖像的坐標。2k 個象素(其它大小可類似分析)。掃描函數(shù)也可等價地記作矩陣，其中aij = n，即矩陣的元素為掃描序號，我們稱之為掃描矩陣?，F(xiàn)在，又出現(xiàn)了利用Hilbert分形曲線進行圖像掃描的Hilbert曲線掃描法。 Hilbert曲線掃描矩陣的快速生成意大利數(shù)學家皮亞諾1893年構造了一種奇怪的曲線，它能夠通過正方形內的所有點，此曲線的這種性質令數(shù)學界很吃驚，如果這是可能的，那么曲線與平面如何區(qū)分？于是當時數(shù)學界十分關注這件事，次年大數(shù)學家Hilbert也構造了一種曲線，它比皮亞諾曲線更簡單，但性質是相同的，這類曲線現(xiàn)在統(tǒng)稱為皮亞諾曲線，它們的特點是：(1) 能夠填充空間；(2) 十分曲折，連續(xù)但不可導 ；(3) 具有