【正文】 理學(xué)、城市規(guī)劃學(xué)、地震學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、歷史學(xué)、人口學(xué)、情報(bào)學(xué)、商品學(xué)、電影美術(shù)等。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，目前國(guó)內(nèi)涉及分形的雜志已有數(shù)十余種以上，如《中國(guó)科學(xué)》、《科學(xué)通報(bào)》、《自然科學(xué)進(jìn)展》、《物理學(xué)報(bào)》、《力學(xué)學(xué)報(bào)》、《大自然探索》等。分形理論的基礎(chǔ)研究表明：現(xiàn)在被公認(rèn)的微積分理論是部分的、不完全的，它只是混沌、分形理論中的一個(gè)特例[1,2,3]，從而把人們引入對(duì)現(xiàn)實(shí)世界幾何體—分形的探索。這樣，“反常”將變?yōu)椤罢！?，“無(wú)序”化為“有序”，“無(wú)窮”成為“有限”。例如，三分Cantor集，它含不可數(shù)無(wú)窮多點(diǎn)，但Lebesgue測(cè)度為0，即用點(diǎn)量(0維)太多，用線段量(1維)太少，而在分形空間，…維下其Hausdorff測(cè)度為1。具有這類結(jié)構(gòu)的幾何體稱為分形，描述分形的幾何學(xué)稱為分形幾何學(xué)。系統(tǒng)的形成過(guò)程具有隨機(jī)性，體系維數(shù)的變化連續(xù)，可以不是整數(shù)而是分?jǐn)?shù)，稱為分維?，F(xiàn)在，混沌、分形理論已進(jìn)入計(jì)算機(jī)科學(xué)和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，同時(shí)也成為一門新藝術(shù)，開闊了人們對(duì)自然結(jié)構(gòu)形式的認(rèn)識(shí)。他認(rèn)為：“Mandelbort創(chuàng)立的分形一詞，是給在純數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中起著歷史性作用的一大類對(duì)象賦予的一個(gè)標(biāo)題。經(jīng)典數(shù)學(xué)源自歐幾里德的規(guī)則幾何結(jié)構(gòu)和牛頓連續(xù)演化動(dòng)力學(xué)。歷史地看，歐幾里德和牛頓模式所不能描述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)，推動(dòng)了這場(chǎng)革命。創(chuàng)造“怪物”的數(shù)學(xué)家們則認(rèn)為，這些東西的重要性在于說(shuō)明純數(shù)學(xué)的世界蘊(yùn)含著超越他們?cè)谧匀唤缰锌吹降暮?jiǎn)單結(jié)構(gòu)的豐富機(jī)遇。而今，正如Mandelbort所指出的，大自然給數(shù)學(xué)家們開了一個(gè)大玩笑。數(shù)學(xué)家們?yōu)樵覡€19世紀(jì)自然主義的桎梏而費(fèi)盡心機(jī)創(chuàng)造出來(lái)的那些病態(tài)結(jié)構(gòu)，原來(lái)正是他們周圍熟視無(wú)睹的東西”。Mandelbort自己則認(rèn)為：“分形幾何并非20世紀(jì)數(shù)學(xué)的直接應(yīng)用，它是艱難地誕生于數(shù)學(xué)危機(jī)之中的一個(gè)新分支。、Von Koch等數(shù)學(xué)明星，在對(duì)大自然進(jìn)行的經(jīng)驗(yàn)性研究中，非同尋常的偶然相遇，本人認(rèn)為這是由于這些巨人的工作已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出它本身的視界。它的生成方法是把一線段分成3等份，將中間的一段用夾角p/3的2等長(zhǎng)的折線段來(lái)代替形成一個(gè)生成元，然后再把每個(gè)線段用不同尺度的生成元進(jìn)行替換，經(jīng)無(wú)窮多次替換后就呈現(xiàn)出一條有無(wú)窮多彎曲的Koch曲線(見圖11)。 分形的本質(zhì)特性——自相似性當(dāng)你仰望蔚藍(lán)的天空，常可看到一團(tuán)團(tuán)白云漂浮其間，但如果你用不同倍數(shù)的望遠(yuǎn)鏡來(lái)觀察云團(tuán)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，白云的形態(tài)似乎不隨望遠(yuǎn)鏡的倍數(shù)改變而改變，不管放大倍數(shù)多大，它的形態(tài)幾乎總是保持不變。隨著高度的降低(相當(dāng)于放大倍數(shù)的增加)，可以發(fā)現(xiàn)原來(lái)的半島和港灣是由更小的半島和港灣組成的。那一條海岸線有多長(zhǎng)、可不可以精確測(cè)量呢？回答是否定的。分形幾何理論使人們認(rèn)識(shí)到：海岸線的長(zhǎng)度是不確定的，它依賴于所用測(cè)量工具的精度。用Koch曲線來(lái)模擬自然界中的海岸線是相當(dāng)理想的，它具有嚴(yán)格的自相似性，是按一定的數(shù)學(xué)法則生成的，這類分形通常稱做有規(guī)分形。滿足統(tǒng)計(jì)意義下的自相似性的分形稱為無(wú)規(guī)分形。另外，在整體與整體或局部與局部之間，也會(huì)存在自相似性。 如擬自相似性就是集的任意小部分可以放大，然后平滑地變形使之與這個(gè)集合的某一較大部分相一致， 圖13所示的Julia集具有擬自相似性。 當(dāng)我們接近這些研究對(duì)象時(shí)，就會(huì)在不同的接近層次上，即越來(lái)越小的范圍上發(fā)現(xiàn)同等程度的不規(guī)則性和復(fù)雜性。構(gòu)成分形整體的相對(duì)獨(dú)立的部分稱為生成元。 形態(tài)(結(jié)構(gòu))、信息、功能或時(shí)間上具有自相似性的客體稱為廣義分形。分形體系可以在形態(tài)、信息和功能等各方面同時(shí)具有自相似性，也可以只有其中某一方面具有自相似性。自相似性具有無(wú)窮嵌套的特性，嵌套有層次或級(jí)別上的差別。對(duì)于分形，無(wú)論將其放大或縮小，它的形態(tài)、復(fù)雜程度、不規(guī)則性均不會(huì)變化，所以標(biāo)度不變性又稱為伸縮不變性。(b)圖是(a)突出端的放大，它同樣顯示出(a)圖的幾何形態(tài)特征，從圖中無(wú)法判斷它們放大倍數(shù)的大小。 分維在歐氏空間要確定一個(gè)點(diǎn)的位置，需引入確定的坐標(biāo)系。在歐氏空間，為確定任意一點(diǎn)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)即為該空間的維數(shù)。經(jīng)典維只取整數(shù)值。例如Koch曲線的長(zhǎng)度為165。即無(wú)限長(zhǎng)度的Koch曲線用線段量(1維)太多，用面積量(2維)太少。 隨機(jī)分形與大自然中的分形大自然孕育了分形，分形揭示了大自然的美妙與神奇。Mandelbrot在它的第一本關(guān)于分形的專著中概括了分形的3個(gè)要素：形狀(Form)，機(jī)遇(Chance)和維數(shù)(Dimension)。今天，分形理論在描述自然現(xiàn)象時(shí)發(fā)揮了重要的作用，如：樹木、巖石斷裂、太陽(yáng)黑子出現(xiàn)規(guī)律、流行病、湍流、心臟、人體、腦電、網(wǎng)絡(luò)流量等都可以用分形理論來(lái)刻畫。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)、材料科學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域，分形理論的應(yīng)用都取得了很好的成果。 分形的定義 具有自相似性和標(biāo)度不變性的系統(tǒng)稱為分形系統(tǒng)，隨著分形理論的產(chǎn)生和發(fā)展，逐步地形成了分形幾何學(xué)。例如，海岸線和山川形狀，不能夠用歐幾里德幾何中的圓和直線簡(jiǎn)單加以描述。分形的局部到整體，都是自相似的。其中一些是用來(lái)描述一般隨機(jī)現(xiàn)象，還有一些是用來(lái)描述混沌和非線性系統(tǒng)。另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也存在自相似性。但是，表征自相似系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的定量性質(zhì)如分形維數(shù)，并不會(huì)因?yàn)榉糯蠡蚩s小等操作而變化，這一點(diǎn)稱為伸縮對(duì)稱性（Dilation Symmetry）。然而自然界中廣泛存在的則是形形色色不規(guī)則的形體，如地球表面的山脈，河流、海岸線等，這些自然界產(chǎn)生的形體具有自相似性，它們不可能是嚴(yán)格地對(duì)稱，也不存在完全相同的兩個(gè)形體。而當(dāng)你沿著海岸線步行的時(shí)候，再來(lái)觀察腳下的海岸線，則會(huì)發(fā)現(xiàn)更為精細(xì)的結(jié)構(gòu)——具有自相似性的更小的半島和海灣組成了海岸線。1967年Mandelbort在Science雜志上首次發(fā)表一篇題為“英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？” 的論文，引起整個(gè)學(xué)術(shù)界的震動(dòng)。在數(shù)學(xué)上，可以用代數(shù)方程或者微分方程組來(lái)描述某一個(gè)物理系統(tǒng)，計(jì)算結(jié)果表明，有些系統(tǒng)往往存在一種無(wú)限嵌套的自相似幾何結(jié)構(gòu)。自然界的分形，其自相似性并不是嚴(yán)格的，而是統(tǒng)計(jì)意義下的自相似性，海岸線就是其中的一個(gè)例子。自相似性通常只與非線性復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征有關(guān)。所謂標(biāo)度不變性，是指在分形上任一局部區(qū)域，對(duì)它進(jìn)行放大，得到的放大圖形會(huì)表現(xiàn)出原圖的形態(tài)特征。值得一提的是，除了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型以外，對(duì)于實(shí)際的分形體來(lái)說(shuō)，這種標(biāo)度不變性只在一定的范圍內(nèi)適用。通常將標(biāo)度不變性的適用空間稱為該分形體的無(wú)標(biāo)度空間。對(duì)分形的定義，可以用生物學(xué)中對(duì)“生命”定義的辦法，“生命”很難定義，但卻可以給出一系列生命對(duì)象的特征。 (a) (b)圖21分形圖形 Fractal images如圖21是用Visual Basic計(jì)算語(yǔ)言結(jié)合分形迭代算法生成的分形圖形，它們就具有上述規(guī)定的分形圖形的五個(gè)特征。定義21[3] 設(shè)(X, r)是完備度量空間，X的非空緊子集構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g，記作H(X)。X, A與B206。A}為點(diǎn)x到A的距離；A的d 平行體是與A的距離不大于d 的點(diǎn)組成的閉集，即Ad={x206。d}稱hr(A, B)=inf{d：A206。Ad}為A與B間的Hausdorff距離。H(X)，hr(A∪B, C∪D) 163。而且，如果{An206。n=1是一個(gè)柯西序列，則A = An可以表成A = {x206。An}165。B} B206。自然界中的分形，真是比比皆是，俯拾可得。在分形幾何學(xué)的基礎(chǔ)上，分維物理學(xué)也正成為有充實(shí)內(nèi)容的研究領(lǐng)域。分形幾何學(xué)是研究被經(jīng)典數(shù)學(xué)家稱之為“病態(tài)”的不規(guī)則集合，這些不規(guī)則集合一般來(lái)說(shuō)是不光滑的，定量地表述這種不規(guī)則性是分形維數(shù)。首先回顧一下歐氏空間中非規(guī)整幾何圖形的幾何量的計(jì)算。歐氏幾何的測(cè)量有以下特點(diǎn)：第一類幾何圖形的測(cè)量是以長(zhǎng)度為基礎(chǔ)；第二類幾何圖形也是以長(zhǎng)度（兩點(diǎn)間的距離）為基礎(chǔ)的，平面圖形以圓為基礎(chǔ)，空間圖形以球?yàn)榛A(chǔ)。把自由度數(shù)作為維數(shù)（又稱為經(jīng)驗(yàn)維數(shù)）的設(shè)想是很自然的，但早在1890年就有人對(duì)經(jīng)驗(yàn)維數(shù)提出了較深刻的疑問(wèn)，這是因?yàn)榭梢杂靡粭l曲線即可把平面完全覆蓋，其中最好例子是Peano曲線，如圖22所示。從圖中可以看出，此曲線同樣可以把平面完全覆蓋住。Peano曲線的考慮方法，也適用于三維以上，即可以用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示n 維空間圖形中的任意點(diǎn)。為了避免這一矛盾，必須從根本上重新考慮維數(shù)的定義。根據(jù)相似性，一般地，如果某圖形是由把全體縮小為的個(gè)相似圖形構(gòu)成，那么此指數(shù)就具有維數(shù)的意義，此維數(shù)被稱為相似維數(shù)。提出相似維數(shù)雖然是把經(jīng)驗(yàn)維數(shù)擴(kuò)大為非整數(shù)值的劃時(shí)代進(jìn)展，但按照其定義，它的適用范圍就非常有限，因?yàn)橹挥袑?duì)具有嚴(yán)格相似性的有規(guī)分形，才能應(yīng)用這一維數(shù)。Hausdorff維數(shù)則適用于包括隨機(jī)圖形在內(nèi)的任意圖形。也可以用同樣的方法來(lái)描述Hausdorff維數(shù)。為了測(cè)量一塊平面圖形的面積，可以用一個(gè)邊長(zhǎng)為、面積為的“標(biāo)準(zhǔn)”方塊去覆蓋它。用維的標(biāo)準(zhǔn)體去測(cè)量某個(gè)幾何對(duì)象時(shí)，只有與拓?fù)渚S一致時(shí)，才能得到有限的結(jié)果。由此得出結(jié)論：對(duì)于一個(gè)有確定維數(shù)的幾何體，若用與它相同維數(shù)的“尺”去量，則可得到一確定的數(shù)值；若用低于它維數(shù)的“尺”去量它，結(jié)果為無(wú)窮大；若用高于它維數(shù)的“尺”去量它，結(jié)果為零。U}如果{Ui}為可數(shù)(或有限)個(gè)直徑不超過(guò)d的集構(gòu)成的覆蓋F的集類，即F204。d，則稱{Ui}為F的一個(gè)d 覆蓋。(0, ∞)，對(duì)任何d0，Hds(F) = inf{|Ui|s : {Ui}為F的一個(gè)d 覆蓋} (23)考慮所有直徑不超過(guò)d 的F的覆蓋，并試圖使這些直徑的s次冪的和達(dá)到最小。0時(shí)趨于一極限。則稱式(24)定義的H s(F)為F的s維Hausdorff測(cè)度。Rn中任何子集的n維Hausdorff測(cè)度與n維勒貝格(Lebesgue)測(cè)度，即通常的n維體積Voln(更精確地，若F是Rn中Borel子集，則H n(F) = Voln(F)類似地，對(duì)Rn中“好的”低維子集，H0(F)是F中點(diǎn)的數(shù)目；H1(F)給出了光滑曲線F的長(zhǎng)度；若F為光滑曲面，則H2(F)=p/4180。Vol(F)。(2) Hausdorff維數(shù)定理23[3] 設(shè)F是(Rn, rE)的有限子集，則存在唯一實(shí)數(shù)so∈[0, n]，使H s(F) = 。記為dimH F = so。Rn，則dimH A≤n。 性質(zhì)25 如果A204。性質(zhì)26 設(shè)A1, A2, …為Rn的一子集序列，則dimH () = (dimHAi)。(3) 盒維數(shù)定義26[3] 設(shè)(X, r)是完備度量空間，令A(yù)∈H(X)，對(duì)每一d0，用Nd(A)表示覆蓋A的半徑為d 0的閉球(或d 網(wǎng)坐標(biāo)塊)的最少個(gè)數(shù)，如果存在，則稱這個(gè)極限值為集A的盒維數(shù)，記為dimBA。定理24[3] 設(shè)A是完備度量空間(Rn, rE)的緊子集，則有dimHA 163。n.定理25[3] 設(shè)(X1, r2)，(X2, r2)是等價(jià)的完備度量空間，q是使兩個(gè)空間等價(jià)的變換，q：X1174。除了很特別的情況，一般分形集的盒維數(shù)具有很好的性質(zhì)并與其Hausdorff維數(shù)相等。它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間的一段用夾角為600的兩條等長(zhǎng)的折線來(lái)代替，形成一個(gè)生成元，然后再把每個(gè)直線段用生成元進(jìn)行代換，經(jīng)過(guò)無(wú)窮多次迭代后就呈現(xiàn)一條有無(wú)窮多彎曲的Koch曲線。 因此，按式（22），Koch曲線的Hausdorff維數(shù)可表示為因此并非恒為整數(shù)，也可以是個(gè)分?jǐn)?shù)。Mandelbort推廣了Hausdorff維數(shù)并在1982年指出：HausdorffBesicovitch維數(shù)嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)的集合稱為分形。1986年，他修改了這一嘗試性定義，提出“其組成部分以某種方式與整體相似的形體叫分形”。也就是說(shuō)，純粹數(shù)學(xué)意義上的分形，在自然界是不存在的。例如，最近有人[8]研究了某些云彩邊界的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)存在從1公里到1000公里的無(wú)標(biāo)度區(qū)。以上討論了分形維數(shù)的數(shù)學(xué)定義。根據(jù)測(cè)量參數(shù)和步驟的不同，大致可分為如下五類：(1) 根據(jù)相關(guān)函數(shù)求維數(shù)；(2) 根據(jù)頻譜求維數(shù)；(3) 改變觀察尺度求維數(shù)；(4) 根據(jù)分布函數(shù)求維數(shù)；(5) 根據(jù)測(cè)度關(guān)系求維數(shù)。(1) 根據(jù)相關(guān)函數(shù)求維數(shù)相關(guān)函數(shù)是最基本的統(tǒng)計(jì)量之一。如果為冪型就不存在特征長(zhǎng)度，相關(guān)總是以同樣的比例衰減的。相關(guān)函數(shù)經(jīng)傅立葉變換后的波譜，在時(shí)，成為下列冪型: (26) (2) 根據(jù)頻譜求維數(shù)根據(jù)觀測(cè)對(duì)空間或時(shí)間的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行調(diào)查時(shí)，往往可以較簡(jiǎn)單地得到與波數(shù)變化相對(duì)應(yīng)的頻譜。此處所指的截止頻率，指的是把較此更細(xì)小的振動(dòng)成分舍去的界限頻率。另一方面，若時(shí)間序列是分形現(xiàn)象，則它的標(biāo)度率應(yīng)是其中為標(biāo)度指數(shù)。(3) 改變觀察尺度求維數(shù)采用改變觀察尺度求維數(shù)是用圓和球、線段和正方形、立方體等具有特征長(zhǎng)度的基本圖形去近似分形圖形，例如用長(zhǎng)度為 的線段集合近似海岸線那樣的復(fù)雜曲線。用長(zhǎng)度為的折線去近似上面的海岸線時(shí)，把測(cè)得的線段總數(shù)記作。如果海岸線是筆直的，則有以下的公式： (29)的關(guān)系式能夠成立。如果把基準(zhǔn)長(zhǎng)度變小，這時(shí)能測(cè)出大時(shí)被漏掉的細(xì)致構(gòu)造，所以需要更多的小線段（因已變?。﹣?lái)近似海岸線。從圖23可知，Koch曲線滿足以下關(guān)系：因=4，可得：上式中的指數(shù)與Koch曲線的相似維數(shù)以及Hausdorff維數(shù)都相同。因此，一般地說(shuō)，如果某曲線具有 (210)關(guān)系，即可稱為這一曲線的維數(shù)。如果當(dāng)取不同的大小時(shí)，式(210)成立，則就是平面上點(diǎn)的分布的維數(shù)。這個(gè)方法不僅適用于曲線和點(diǎn)的分布，也適用于像河流這樣有大量分岔的圖形，所以是個(gè)很有用的方法。 實(shí)際測(cè)量中碼尺與分形維數(shù)關(guān)系 在前面討論的分形的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中已經(jīng)知道：自相似的分形具有無(wú)窮嵌套結(jié)構(gòu)。在分形維數(shù)的數(shù)學(xué)定義中，要求碼尺趨于零時(shí)的極限存在。碼尺的選擇原則是：碼尺的長(zhǎng)度單位與分形存在層次的尺度單位相一致。分維不確定性