【正文】 們對(duì)分形作了較為深入的研究，特別是在分形維數(shù)方面的研究已經(jīng)獲得了豐碩的成果。第三階段是從1975年至今?！斗中危盒?，機(jī)遇與維數(shù)》及1982年發(fā)表的《自然界的分形幾何學(xué)》專著標(biāo)志著分形學(xué)的正式創(chuàng)立。雖然國(guó)際上分形理論的研究已經(jīng)取得了初步的成果，但是分形的數(shù)學(xué)理論還不完備，還沒有形成公理化的理論體系。分形理論的誕生對(duì)原有的微積分理論提出了新的改變要求，分形的應(yīng)用迫切需要“分?jǐn)?shù)階的微積分理論”的誕生。分形是專門用來(lái)研究不規(guī)則形狀圖形的。最初的分形要求被研究物體具有嚴(yán)格的自相似性（即要求每個(gè)局部和整體都相似），這種早期的分形概念是不確切的。經(jīng)過(guò)不斷的探索和研究，發(fā)展到現(xiàn)在的分形及多重分形概念已經(jīng)對(duì)自相似性作了適當(dāng)?shù)男拚屯茝V，這樣不僅使得分形的概念更能接近現(xiàn)實(shí)的事物，而且它能夠更加有效的被用來(lái)處理許多自然界中的非線性現(xiàn)象。分形理論研究的是由非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的不光滑及不可微的幾何形體。他認(rèn)為所謂分形就是Hausdorff維數(shù)嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)的集合?！吧倍x的方法來(lái)對(duì)分形進(jìn)行刻畫，即就是對(duì)分形給出一系列的特征性質(zhì)，當(dāng)目標(biāo)具備這些性質(zhì)時(shí)就可以認(rèn)為它是分形。這里的級(jí)別是指生成元的使用次數(shù)或者放大倍數(shù)。級(jí)別相差越大，物體的相似性就越差。分形幾何具有標(biāo)度不變性的體征，即就是說(shuō)在變化群作用下，分形體的形和量都不改變。因此，可以說(shuō)分形幾何學(xué)時(shí)研究圖像在標(biāo)度變換群作用下不變性和不變量的學(xué)科。所謂形狀，是指分形體所具有的支離破碎、參差不齊以及凹凸不平的不規(guī)則形狀；所謂機(jī)遇則是指分形體產(chǎn)生的隨機(jī)性，因?yàn)閷?duì)一組任意給定的規(guī)則通過(guò)隨機(jī)迭代就可以得到分形，分形產(chǎn)生的過(guò)程是隨機(jī)的，而結(jié)果卻是確定的：所謂分形的維數(shù)則是指能夠描述分形體的一個(gè)重要特征量。在這種意義下所指的維數(shù)通常是一個(gè)整數(shù)。也可以是個(gè)實(shí)數(shù)的概念，記作D。 豪斯道夫維數(shù)假設(shè)U為n維歐幾里得空間中的非空子集，U的直徑定義為。這里的F既可以是分形圖形，也可以是歐式幾何圖形。然而，這種維數(shù)在理論上的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于實(shí)用價(jià)值。 盒子維數(shù)定義：設(shè)集合，這里F所指的是研究的分形體，記是可以覆蓋F的，邊為的n維立方體的最小個(gè)數(shù)，則F的盒維定義為： 盒子維與Hausdor維一樣，也考慮了F的覆蓋，只是可以采用同樣大小的立方體。由于盒子維的計(jì)算相對(duì)比較容易，所以在實(shí)際中的應(yīng)用也比較廣泛。設(shè)s是中一有界集，我們計(jì)算能夠覆蓋s且半徑為S的球的最少個(gè)數(shù)為。 多重分形概述 多重分形也稱為分形測(cè)度，它是分形理論的進(jìn)一步研究。所以，也可以說(shuō)多重分形理論是分形理論的升華，多重分形理論定量刻畫了分形測(cè)度定義在某種支撐上的分布狀況。一套是基本語(yǔ)言α~f（α），另一套是從信息論角度引入的q~D（q）語(yǔ)言。對(duì)集合X進(jìn)行劃分，定義概率不變測(cè)度，并將賦給X。 定義一個(gè)測(cè)度空間，若是一個(gè)分形集，則認(rèn)為它就是測(cè)度空間的分形子集。 若被劃分為尺度為的不同單元，則單元測(cè)度與之間存在著冪律關(guān)系： 則稱α為holder指數(shù)。 對(duì)概率密度為的分形子集的任意可列覆蓋，即，定義： 覆蓋則的豪斯道夫r維測(cè)度定義為：若存在臨界指數(shù)，使時(shí)，；時(shí)，；時(shí)。 由定義知，就是分形子集的Hausdorff維數(shù)，當(dāng) 當(dāng)時(shí)尺寸為的盒子時(shí)，若在內(nèi)概率測(cè)度為u的單元個(gè)數(shù)為，則。由此可得： 與分形維數(shù)的定義相比可看出，的無(wú)力意義是表示有相同的值得子集的分形維數(shù)，一般稱為多重分形譜。它描述區(qū)域維數(shù)的連續(xù)譜，在坐標(biāo)系中為一單峰圖像。第單元的概率定義為，當(dāng)時(shí)，若，則考慮對(duì)測(cè)度和維數(shù)的貢獻(xiàn)大小，可以做出一下定義：定義概率測(cè)得的階矩為： 定義廣義維測(cè)度為： 假設(shè)是依賴于的階矩選擇的臨界指數(shù)，的定義： 這里，可以則稱為質(zhì)量指數(shù)。性質(zhì)2：關(guān)于幾個(gè)特殊點(diǎn)值： ①是容量維數(shù)，是信息維數(shù)，是關(guān)聯(lián)維數(shù)； ②q=0時(shí)，取最大值且，是容量維數(shù)； ③時(shí)，是信息維數(shù)。常用的直接計(jì)算奇異譜是所謂的“接計(jì)算法”，而直接計(jì)算廣義維數(shù)的方法有三種；數(shù)盒子法，固定板經(jīng)法和固定質(zhì)量法。在計(jì)算機(jī)試驗(yàn)中，對(duì)于給定的q值，首先要定義并獲得相應(yīng)的分形空間里每個(gè)非空間網(wǎng)格里的奇異概率測(cè)度。 數(shù)盒子法廣義維數(shù)可以直接按照定義進(jìn)行計(jì)算，嚴(yán)格的定義為： 用尺度為的“盒子”對(duì)分形空間中的分形集進(jìn)行劃分，定義每個(gè)盒子里的奇異概率測(cè)度為，給定q值，對(duì)于不同的尺度，計(jì)算并繪制出相應(yīng)的雙對(duì)數(shù)曲線，找出圖中的無(wú)標(biāo)度區(qū)，用最小二乘法計(jì)算出該段曲線的斜率，其絕對(duì)值就是給定q值的廣義維數(shù)。任意選擇一份分形集，考察該分形集上的球體。于是可以得到固定質(zhì)量法的計(jì)算公式為： 上述的各種方法中，提及的奇異測(cè)度都應(yīng)該是非零的，因?yàn)闇y(cè)度為零就意味著該區(qū)域內(nèi)不屬于所研究的多重分形測(cè)度的支撐集，因而是不需要涉及的。3 圖像分割在圖像的研究和應(yīng)用過(guò)程中，人們往往僅對(duì)各幅圖像中的某些部分感興趣。為了辨別和分析目標(biāo)，需要將這些區(qū)域分離提取出來(lái)，在此基礎(chǔ)上才有可能對(duì)目標(biāo)進(jìn)一步利用。圖像分割在實(shí)際中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，例如在工業(yè)自動(dòng)化，在線產(chǎn)品檢驗(yàn)，生產(chǎn)過(guò)程控制，文檔圖像處理，搖桿和生物醫(yī)學(xué)圖像分析，保安監(jiān)控，以及軍事，體育，農(nóng)業(yè)等各個(gè)方面。 圖像分割概述 在進(jìn)行圖像處理時(shí)，首先根據(jù)目標(biāo)和背景的先驗(yàn)知識(shí)來(lái)對(duì)圖像中的目標(biāo)，背景進(jìn)行標(biāo)記，定位，然后將等待識(shí)別的目標(biāo)從背景中分離出來(lái)。圖像的分割，目標(biāo)的分離，特征的提取和參數(shù)的測(cè)量將原始化的圖像轉(zhuǎn)化為更抽象更緊湊的形式，使得更高層的分析和理解成為可能。“有意義”一詞的意思是希望這些區(qū)域能分別和圖像景物中個(gè)目標(biāo)或背景相對(duì)應(yīng)。④對(duì)，有P=FALSE；⑤對(duì)i=1,2，……，N, R是聯(lián)通區(qū)域。條件②指出在分割結(jié)果中的各個(gè)子區(qū)域是不重疊的，或者說(shuō)分割結(jié)果中一個(gè)像素不能同時(shí)屬于兩個(gè)區(qū)域。條件④指出在分割結(jié)果中，不同的子區(qū)域具有不同的特性，沒有公共元素，或者說(shuō)屬于不同區(qū)域的像素應(yīng)該具有一些不同的特征。上面的定義，不僅對(duì)明確的說(shuō)明了分割的含義，而且對(duì)進(jìn)行分割也有相當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)作用。條件①和②說(shuō)明正確的分割準(zhǔn)則應(yīng)該可以適合所有的區(qū)域和像素；條件③和④說(shuō)明合理的分割準(zhǔn)則應(yīng)該可以幫助確定各個(gè)區(qū)域像素有代表性的特征；而條件⑤說(shuō)明完整的分割準(zhǔn)則應(yīng)該直接或間接地對(duì)區(qū)域內(nèi)像素的連通性有一定的要求或限定。 圖像分割方法綜述圖像分割是指將圖像劃分為與其中含有的真實(shí)世界的物體或區(qū)域有強(qiáng)相關(guān)性組成部分的過(guò)程。盡管它一直受到科研人員的重視，但是它的發(fā)展很慢，被認(rèn)為是計(jì)算機(jī)視覺的一個(gè)瓶頸。典型的圖像分割方法有閾值法，邊緣檢測(cè)法，區(qū)域法。現(xiàn)有的大多數(shù)圖像分割方法只是滿足上述依據(jù)。不同的圖像分割方法總有在各種約束條件間找到適當(dāng)?shù)钠胶恻c(diǎn)。尤其是對(duì)于不同類的物體灰度值或者是其他特征值相差很大時(shí)，能很有效果的對(duì)圖像進(jìn)行分割。并且閾值法僅僅考慮圖像的灰度信息而沒有考慮圖像的空間信息，致使閾值法對(duì)噪聲和灰度不均勻十分地敏感。閾值法