【正文】 像分割任務(wù)。因為分割總是根據(jù)一些分割準(zhǔn)則進行的。條件⑤要求分割結(jié)果中同一個子區(qū)域內(nèi)的像素應(yīng)該是相通的，即同一個子區(qū)域內(nèi)的任意兩個像素在該子區(qū)域內(nèi)是相互連通的，或者說分割得到的區(qū)域是一個連通組元。條件③指出在分割結(jié)果中每個子區(qū)域都有獨特的特性，或者說屬于同一個區(qū)域中的像素應(yīng)該具有某些共同特征。條件①指出對一副圖像的分割結(jié)果的全部子區(qū)域的總和就是原圖像，或者說分割應(yīng)該是將圖像中的每個像素都分進某個子區(qū)域中。正式“集合”定義：令集合R代表整個區(qū)域，對R的分割可看做將R分成若干個滿足如下五個條件的非空子集：①分割所得全部子區(qū)域的總和應(yīng)能包括圖像中所有像素或?qū)D像中每個像素都劃分金一個子區(qū)域中；②對所有i和j有；③對i=1,2,3……，N，有P=TRUE。 字定義：把圖像（空間）按一定要求分成一些“有意義”的區(qū)域的處理技術(shù)。圖像分割是由圖像處理到圖像分析的關(guān)鍵步驟，也是一種基本的計算機視覺技術(shù)。近年來，圖像分割在圖像處理方面顯得越來越重要。圖像分割就是將圖像分成個具有特性的區(qū)域并提取出感興趣的目標(biāo)的技術(shù)和過程。這些部分常稱為目標(biāo)或前景，它們一般對應(yīng)圖像中特定的具有獨特性質(zhì)的區(qū)域。 本章小結(jié)本章介紹了多重分形的一些基本理論背景，簡單的多重分形以及分形維數(shù)的定義，分形中涉及的測度知識以及計算分形維數(shù)的基本算法，重點給出了多重分形和多重分形譜的定義以及一些相關(guān)的計算方法。定義該球體的奇異概率測度為，則可得到固定半徑法的計算公式為： 固定質(zhì)量法如果定義在分形集上的測度足夠地平滑，那么對于隨機選擇的以分形集上的點為球心得球體，可以獲得具有質(zhì)量的相應(yīng)半徑。 固定半徑法 固定半徑法計算廣義維數(shù)時，假定計算結(jié)果與覆蓋區(qū)域的選取無關(guān)。然后，對于不同的尺度的，計算并繪制相應(yīng)的曲線，找出圖中的無標(biāo)度區(qū)，用最小二乘法計算該段曲線的斜率，其絕對值就是給定q值得holder指數(shù)和多重分形譜。 直接計算法Holder指數(shù)和多重分形譜的直接計算方法是由Chhabra和Jensen首先于1989年作為一種計算多重分形譜的方法明確提出，基本思想是用尺度為的盒子覆蓋被研究的多重分形集，考慮研究點在第個盒子的概率為，由此構(gòu)造一個測度族，即 被研究的多重分形集Hausdorff維數(shù)為: 被研究的多重分形集holder指數(shù)的平均值可估計為： 直接計算法是一種實用，高效的高精確度的方法，具有計算步驟簡單，計算精確度高等許多優(yōu)點。 經(jīng)典多重分形譜的計算描述多重分形的兩套等價語言是和，如何計算廣義維數(shù)和奇異譜是研究多重分形的關(guān)鍵所在。 根據(jù)的q階矩，還可以引入廣義Renyi維數(shù)為： 多重分形參量的基本性質(zhì)廣義維數(shù)與多重分形譜之間滿足勒讓德變換： 性質(zhì)1：單調(diào)性和凹凸性：① 廣義維數(shù)和holder單調(diào)遞減；② 質(zhì)量指數(shù)是關(guān)于的嚴格遞增的凸函數(shù)；③ 多重分形譜函數(shù)是關(guān)于的凸函數(shù)。2）語言描述多重分形譜是從信息論角度引入的用來描述多重分形譜的另外一套語言，測度支集的單元記作，不變概率測度定義為。一個復(fù)雜的分形體，它的內(nèi)部可以分為一系列不同值所表示的子集，就給出了這一系列子集的分形特征。因此當(dāng)時，有限。則稱為多重分形的奇異譜。由于它控制著概率密度的奇異性，因此也稱為奇異性指數(shù)。若對集合X進行劃分后，產(chǎn)生的分形集可以表示成若干分形子集的并集，并且每一分形子集都有不同的維數(shù)，則可以將此分星級稱為多重分形。設(shè)α是和劃分有關(guān)系的一個參數(shù)，將第n步劃分后的X的子集作。1） α~f（α）語言描述多重分形 假設(shè)是d維歐式空間，X是測度的支集，也是的一個d維子集。 多重分形的定義通常情況下，描述多重分形的語言有兩套。多重分形彌補了分形理論的不足，因為想要完整刻畫自然界中復(fù)雜的集合體，僅僅用一個分形維數(shù)是不夠的，這時候就必須同時用多個維數(shù)來描述它，才能全面的刻畫其特征。如果S是一個D維的，具有有限長度（D=1）、面積（D=2）或體積（D=3）的集合，則： 因此 S的容量維數(shù)D是該公式的推廣，它定義為： 因此S的測度為： 它是有限或是無窮的。 容量維數(shù)容量維數(shù)是Hausdorff維數(shù)的一種簡化，便于數(shù)值計算。所以，總有下式成立： 對于許多規(guī)則的圖形，有。因為實際中的計算豪斯道夫維數(shù)時非常困難的。豪斯道夫維數(shù)時最古老的，也是最重要的一種維數(shù)，它對于任何集合都有意義。如果是可數(shù)或有限個直徑不超過的集構(gòu)成的覆蓋F的集類，設(shè)F為考慮的目標(biāo)圖形，也是中的子集，s為一非負數(shù)，對任意的定義： 顯然，當(dāng)減少時，上式能覆蓋F的集類是減少的，所以下確界相應(yīng)增加，且當(dāng)時趨于一個極限，記為： 定義為F的s維豪斯道夫測度。要理解分形的數(shù)學(xué)機理，熟悉豪斯多夫測度和豪斯多夫維數(shù)是非常必要的。而分形中所指的維數(shù)不一定是整數(shù)，也可以是分數(shù)。傳統(tǒng)意義上的維數(shù)時值的是能夠描述對象中任意一個點的位置而需要的坐標(biāo)數(shù)目。 分形維數(shù)Mandelbrot認為分形具有形狀、機遇以及維數(shù)三大要素。雖然分形幾何研究的圖像是不規(guī)則的，但是在不同的尺度下觀察分形體，卻可以得到尺度上的對稱性。自然界中的分形體往往具有一個最大和一個最小的標(biāo)度來表示，只有在無標(biāo)度區(qū)域內(nèi)，對象才具有分形規(guī)律，否則，一旦越過無標(biāo)度區(qū)，自相似性也就消失了；6） 在一般情況下，可以認為被研究物體的分形維數(shù)大于它的拓撲維數(shù)；分形的定義比較簡單，它可以是一種遞歸方式。級別愈接近的分形體越相似。分形的性質(zhì)如下：1）分形必須具有精細的結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)可以包含一切整體，這一點類似于生物中的全息律概念；2） 這里研究的分形可以是幾何圖形，也可以使一種數(shù)理模型；3） 分形應(yīng)該具有某種自相似性的形式，既可以是嚴格意義上的自相似性，也可以使統(tǒng)計意義上的相似性；4） 分形不僅可以同時具有形態(tài)，功能和信息三方面的自相似性，而且也可以只是其中某一方面的自相似性；數(shù)學(xué)理論中研究的分形又有無限嵌套的層次結(jié)構(gòu)，而自然界中研究的分形只是具有有限層次的嵌套，在進入到一定層次以后才會出現(xiàn)分形的規(guī)律；5） 分形的相似性具有級別上的差異。后來，Mandelbrot對分形的定量刻畫是不完備的。最早的分形定量刻畫是由Mandelbrot作出的。分形理論出現(xiàn)的比較晚，目前大部分研究還處于理論研究階段，它的數(shù)學(xué)理論和實際應(yīng)用之間出在這一定的距離。因為完全自相似的分形只是一種數(shù)學(xué)抽象，在自然界中是很難發(fā)現(xiàn)的。圓，直線，平面等歐幾里得幾何是人們較為熟悉的圖形，而自然界中彎彎曲曲的海岸線，棉絮團似的云煙卻無法再用熟悉的歐幾里得幾何來描述，Mandelbrot則提出