【正文】 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 5 2 金融時(shí)間序列的相關(guān)分形理論與方法 分形理論 分形理論的形成 分形理論是由 Mandelbrot 首先提出來的，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展為一種系統(tǒng)的理論，它起源于對(duì)海岸線長(zhǎng)度測(cè)量的研究問題 .Mandelbrot 在研究英國的海岸線的復(fù)雜邊界時(shí)，發(fā)現(xiàn)了不同比例的地圖上測(cè)量出來的海岸線長(zhǎng)度是不同的，這也正是歐幾里德幾何所無法解釋的一點(diǎn) .大家都知道，海岸線是彎彎曲曲的，不規(guī)則且極不光滑的一條曲線 .如果要對(duì)它的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量，就必須要選取一定的測(cè)量單位才可以 .如果選作“公里”作為測(cè)量單位來測(cè)量海岸線 ，很顯然從幾米直到幾十米的彎曲程度就都被隨之忽略掉了，此時(shí)測(cè)量的結(jié)果我們記為 M1；如果選取“米”作為測(cè)量單位，測(cè)量的結(jié)果很明顯要比上一次的準(zhǔn)確一些，幾米直到幾十米的彎曲程度都可以被包括在測(cè)量的范圍內(nèi)，然而厘米量級(jí)的這樣小的彎曲，卻仍然被排除在計(jì)量長(zhǎng)度范圍之外，這時(shí)的測(cè)量結(jié)果我們記為 M2，則一定有關(guān)系式 M2M1；如果繼續(xù)用更小的“毫米”為單位來測(cè)量，其結(jié)果顯然要比前兩次精確的多了，但是仍存在微米量級(jí)的小的彎曲被忽略掉了，此時(shí)的測(cè)量結(jié)果記為 M3 ，且存在關(guān)系式 M3M2，如果繼續(xù)把海岸 線分解到“分子”、“原子”這樣的尺度標(biāo)準(zhǔn)，很顯然測(cè)量得到的長(zhǎng)度 L4 會(huì)大到天文數(shù)字的級(jí)別 .追究其原因則是因?yàn)楹０毒€是一種具有各種層次且無窮多的細(xì)節(jié)的非常復(fù)雜的幾何對(duì)象 . 自然界中存在很多類似于海岸線這樣的幾何對(duì)象，它們都是一些極其不規(guī)則而且支離破碎的片段的集合，如河流、山脈、血管、云團(tuán)、樹枝等等 .Mandelbrot 用“分形”這一概念，來描述這些十分復(fù)雜的幾何對(duì)象 .在研究過程中，他將測(cè)量長(zhǎng)度和放大尺度（比例）分別取其對(duì)數(shù)，發(fā)現(xiàn)所對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)之間存在著一種線性的關(guān)系，這表示，這類十分復(fù)雜的集合體都具有一種共同 的特征，即自相似性的特征，也就是說局部的形態(tài)與整體的形態(tài)是相似的 .后來，通過研究， Mandelbrot 更進(jìn)一步發(fā)展了分形幾何理論，這一理論不僅可以產(chǎn)生許多分形集曲線和圖形，如 Mandelbrot 集、 Koch 曲線、 Cantor集、 Sierpinski 墊片 等等 ，而 且還 可以 用來 描述 復(fù)雜 對(duì)象 的幾 何特性 .Mandelbrot 用“分形理論”這一定義，來反映這種表示這些復(fù)雜的圖形特征和復(fù)雜過程規(guī)律的性質(zhì) . 分形理論的定義及特征 盡管至今為止，分形理論還是沒有形成一個(gè)比較嚴(yán)格的定義，但是很多研究者都根據(jù)自己的理 解做出了自己的定義 .最開始的時(shí)候，分形定義是由Mandelbrot 提出來的，他指出分形是這樣的一種集合：它的維數(shù)嚴(yán)格意義上 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 6 是大于其拓?fù)渚S數(shù)的 .但是這個(gè)定義還是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模冶容^抽象，不能夠被人們所理解 .接著他指出另一個(gè)定義，部分以某種形式與整體相似的這樣的一種形狀叫“分形”，但是這個(gè)定義是仍然不夠全面的，仍然不能夠被大家所認(rèn)可 .直到 1990 年， Edger 指出，分形集合是這樣的一種集合，它比傳統(tǒng)的幾何學(xué)所研究的所有的集合還要更加不規(guī)則，不管是將它放大多少倍還是縮小多少倍，甚至是更進(jìn)一步地進(jìn)行縮小，這種集合的 不規(guī)則程度性仍然是十分明顯的 .緊接著，英國數(shù)學(xué)家 Kenh J. Falconer 出版了《 Fractal Geometry》一本書，對(duì)分形定義做了如下比較詳盡的描述 . 集合 F 如果滿足以下條件，則認(rèn)為它是是分形的： （ 1）集合 F 具有很精細(xì)的結(jié)構(gòu) .即它在任意小的尺度之下，它總是具有復(fù)雜的細(xì)節(jié)的； （ 2）集合 F 通常具有某種自相似性特征，這種自相似性可以有時(shí)是嚴(yán)格相似的，但也可能是統(tǒng)計(jì)意義上的相似； （ 3）傳統(tǒng)意義上的的幾何語言是無法對(duì)不規(guī)則的集合 F 進(jìn)行局部與全局特征的描述的； （ 4）集 合 F 的分形維數(shù)大多部分都是大于它的拓?fù)渚S數(shù)的； 分形集合總的來說是有以下的特征的： （ 1）自相似性 .也就是說，局部和整體之間是相似的，這既包括嚴(yán)格意義上的自相似，還包括在一定的尺度范圍內(nèi)的近似意義上的自相似以及存在于統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性 . （ 2）標(biāo)度不變性 .也就是說無論放大多少倍或者是縮小多少倍，集合的不規(guī)則特征、形態(tài)結(jié)構(gòu)及其復(fù)雜程度等是都不會(huì)發(fā)生變化的 .而且存在這種關(guān)系：具有標(biāo)度不變性特征的集合體一定具有自相似性的特征 . （ 3）分?jǐn)?shù)維 .即分形維數(shù)不是以整數(shù)表示的，而是以分?jǐn)?shù)的形式表示的，而且一般來說分形維數(shù)是大于它的拓?fù)渚S數(shù)的 .維數(shù)是空間理論和幾何學(xué)里的一個(gè)基本概念 .我們現(xiàn)在已經(jīng)習(xí)慣于歐幾里德幾何的整數(shù)維數(shù)了，比如：點(diǎn)是零維的，線是一維的，面是二維的，而體積是三維的 .在歐氏空間之中，物體被認(rèn)為是連續(xù)且光滑的，對(duì)稱的而且同質(zhì)的，因此我們通?？梢杂谜麛?shù)維對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的描述 .但是對(duì)于描述分形體，這種既不規(guī)則也不光滑的對(duì)象，傳統(tǒng)的歐氏維數(shù)是幾乎無法做出回答的 .分形維數(shù)是對(duì)幾何體的不規(guī)則性程度，復(fù)雜的程度，粗糙程度等性質(zhì)的一個(gè)有效地測(cè)度 . （ 4）自放射性 .自放射變換指的是整體的各個(gè)方向的變換比 率是基本不一樣的，但是局部的隨機(jī)性與整體的確定性是同時(shí)存在的 . 最后，分形集其實(shí)可以說是這樣的一類集合體，他的局部和整體之間存在著結(jié)構(gòu)、形態(tài)等方面的自相似性，而且這種相似性是不會(huì)隨著測(cè)量尺度的變化而改變的，同時(shí)觀測(cè)尺度和相似比例之間滿足著一定的指數(shù)關(guān)系形式 . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 7 所以說，分形能夠從不同的標(biāo)度指數(shù)來描述出集合的特征，能用分形維數(shù)的概念來刻畫分形結(jié)構(gòu)的特征 . 多重分形理論 多重分形定義 多重分形 (Multifractal)，這一概念是定義在分形結(jié)構(gòu)上的，它是由多個(gè)不同的標(biāo)度 q 和標(biāo)度指數(shù) ??qh 的分形測(cè)度來組成的這樣的一個(gè)無限的集合 .多重分形理論是從集合的局部出發(fā)來進(jìn)行研究整體特征的一種方法，它在直觀上可將多重分形很形象地看作是由眾多的維數(shù)不同的單一分形進(jìn)行交錯(cuò)疊加而形成的 .從幾何的角度來看，組成分形集合的許多若干個(gè)子集的標(biāo)度 q 及分形維數(shù)都是互相不相同的，多重分形也被稱為是稱多標(biāo)度分形 .可以表征多重分形的主要方法有：廣義 Hurst 指數(shù)，或者可 以使用奇異譜函數(shù) )(af .奇異譜)(af 可以定量地刻畫出來分形體在各個(gè)不同的局部條件下對(duì)應(yīng)的概率分布特征，其中奇異標(biāo)度指數(shù) a 規(guī)定了奇異性的強(qiáng)度，而 )(af 則描述了分布的稠密程度 . 多重分形過程 Mandelbrot 通過運(yùn)用增量矩的尺度特性，來定義了多重分形過程： 如果一個(gè)連續(xù)的時(shí)間過程 ??? ?TttX ?, 具有一個(gè)平穩(wěn)的增量，并且滿足： ? ? ? ? ? ? ? ? 1????????? ??? qq tqctXttXE ? （ 21） 則稱 ??tX 為多重分形過程 .其中 t? 為時(shí)間增量， T 和 Q 是實(shí)軸上的區(qū)間，它們長(zhǎng)度非零，并且 ? ? QT ?? 1,0,0 ， ??qc 和 ??q? 均是 Q 域上的函數(shù) . 上式表示了多重分形過程的矩的一個(gè)冪律關(guān)系的性質(zhì) .函數(shù) ??q? 是多重分形過程中的尺度函數(shù)，通過運(yùn)用序列增量的矩特性，從而刻畫出來不同幅度的增量的尺度特征，進(jìn)而可以刻畫出各個(gè)不同時(shí)點(diǎn)上的分形特征 .其中，當(dāng) ??q? 為q 的線性函數(shù)時(shí)，這一過程是單分形過程，比如當(dāng) ? ? 1??Hqq? 時(shí)， ??q? 是由 H唯一決定的一個(gè)線性函數(shù)；而當(dāng) ??q? 為 q 的非線性函數(shù)時(shí)，這時(shí)就稱這一過程是多重分形的過程 . 通過對(duì)不同幅度的波動(dòng)進(jìn)行冪次方處理，這就 相當(dāng)于對(duì)波動(dòng)的波幅放大幾 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 8 倍或縮小幾倍 .所以，不同的 q 值對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù) ??q? 對(duì)應(yīng)著不同的波動(dòng)，從而反映出了不同程度大小的價(jià)格波動(dòng)信息，而且隨著時(shí)間標(biāo)度的取值變化，還可以觀察在不同時(shí)間標(biāo)度上的價(jià)格波動(dòng)信息 .總之，多重分形分析能夠更加清晰地分析研究金融市場(chǎng)上的不同時(shí)間的標(biāo)度，不同幅度變化的價(jià)格或者收益波動(dòng)的相關(guān)特征 . 多重分形能夠定量地刻畫出十分復(fù)雜的幾何對(duì)象在不同的層次的一個(gè)分形特征，并且可以用多重分形譜的形式表達(dá)出來 .因此，我們可以 知道，通過運(yùn)用多重分形的相關(guān)理論去分析研究金融市場(chǎng)，能夠更準(zhǔn)確地對(duì)金融市場(chǎng)的波動(dòng)性進(jìn)行更加細(xì)致的剖析和描述，進(jìn)而可以得到有關(guān)于金融時(shí)間序列在不同的時(shí)間標(biāo)度以及不同幅度程度的波動(dòng)信息 . 廣義 Hurst 指數(shù) 對(duì)于時(shí)間序列 ??tX ，根據(jù)公式 (21)，來定義廣義 Hurst 指數(shù) ? ?qHHq? ， ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?qHqq tqctXttXE ????? 1 （ 22） 函數(shù) ??qH 描述了時(shí)間增量在 t? 下的廣義平均波動(dòng)的相關(guān)信息 .特別地，當(dāng) 1?q 時(shí)， 1H 即為前面單分 形中的指數(shù)，也稱為全局 H 指數(shù)，當(dāng) ?H 時(shí)，序列表現(xiàn)持續(xù)性， ?H 時(shí)，表現(xiàn)反持續(xù)性， ?H 時(shí)，即為隨機(jī)的布朗運(yùn)動(dòng) . 廣義 Hurst 指數(shù) ??qH 與尺度函數(shù) ??q? 之間的關(guān)系為： ? ? ? ?? ?qqqH 1*1?? ? （ 23） 分形市場(chǎng)理論 分形時(shí)間序列 對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列來說，只有在它受到許多等可能性事件的共同影響時(shí)才是隨機(jī)的 .而且對(duì)于一個(gè)非隨機(jī)的時(shí)間序列，構(gòu)成序列的數(shù)據(jù)之間是具有內(nèi)在相關(guān)性的，也就是說時(shí)間序列是分形的 .分形吋間序列也通常被稱為是有偏隨機(jī)的游動(dòng)，曼德勃羅特（ Mandelbrot）把這種隨機(jī)游動(dòng)稱為是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng) .它表示了時(shí)間序列的非隨機(jī)特征，序列具有趨勢(shì)疊加上噪聲的這樣的一種特性 .趨勢(shì)的存在也導(dǎo)致了測(cè)出的觀測(cè)值之間不是相互獨(dú)立的，這個(gè)時(shí)候，序列的觀測(cè)值就具有長(zhǎng)記憶性的特征 . 通常來講，分形時(shí)間序列具有下列的一些特點(diǎn)： （ 1）分形時(shí)間序列具有著無限的精細(xì)結(jié)構(gòu) .當(dāng)觀測(cè)的對(duì)象，即股票收益率序 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 9 列的尺度從年收益率改變到周收益率，繼續(xù)改變到日收益率，再到分時(shí)這樣的逐漸變化時(shí)，大量結(jié)果表明，股票收益率序列的復(fù)雜細(xì)節(jié)是不會(huì)隨尺度改變而發(fā)生變化的 . （ 2） 分形時(shí)間序列具有分形維數(shù) .分形維數(shù)是描述時(shí)間序列如何填充空間的這樣的一個(gè)參數(shù) .它表征了分形幾何體的復(fù)雜程度以及粗糙程度 . （ 3）分形時(shí)間序列具有自相似性特征 .復(fù)雜分形系統(tǒng)的整體與部分以及部分與部分內(nèi)部之間的精細(xì)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)是具有相似牲的或者是具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性的 . 分形市場(chǎng)理論 Peters 在 1994 年開始將分形理論引入到了復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，提出了分形市場(chǎng)理論，分形市場(chǎng)理論是分形理論在金融市場(chǎng)分析研究中的一個(gè)具體運(yùn)用 . 傳統(tǒng)的有效市場(chǎng)理論認(rèn)為市場(chǎng)的收益序列具有線性、獨(dú)立以及有限 方差的這些特征，并且其分布是服從正態(tài)分布的，有效市場(chǎng)理論展現(xiàn)了一種理想的市場(chǎng)結(jié)構(gòu) .Peters 則根據(jù)非線性的觀點(diǎn)，在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，提出了更符合資本市場(chǎng)實(shí)際的基本理論，這一理論揭示出了不同的證券市場(chǎng)信息接受程度和不同的投資時(shí)間尺度對(duì)不同投資者的投資決策所產(chǎn)生的不同影響，認(rèn)為資本市場(chǎng)都具有分形結(jié)構(gòu)的特征，其收益率的分布也并不是服從正態(tài)分布的，而是具有明顯的尖峰厚尾特征，沒有方差或方差無限大 . 由于在資本市場(chǎng)中，存在許多偏好不同的投資者，加上投資者的理性有限，投資者對(duì)信息的理解能力互不相同，導(dǎo)致投資者做出不同 的投資決策 .由于上述實(shí)際資本市場(chǎng)的種種因素，決定了資產(chǎn)價(jià)格的變化不是隨機(jī)游動(dòng)的，而是具有持續(xù)相關(guān)性的 . 分形市場(chǎng)的特征有： （ 1） 標(biāo)度不變性，也就是指不同的時(shí)間標(biāo)度下具有相似的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 . （ 2） 長(zhǎng)程相關(guān)性，即過去的相關(guān)信息對(duì)現(xiàn)在以及未來的事件不是相互獨(dú)立的，而且是能夠產(chǎn)生著長(zhǎng)期性影響的 . （ 3） 如果預(yù)測(cè)的時(shí)間越長(zhǎng)，那么預(yù)測(cè)的結(jié)果是越不可信的，不能夠進(jìn)行長(zhǎng)期準(zhǔn)確地預(yù)測(cè) . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 10 3 幾種分形方法理論研究 單分形方法 R/S 方法分析 R/S 分析法，即重標(biāo)極差分析法，它廣泛用于研究時(shí)間序列的分形特征和分 析長(zhǎng)期記憶過程，該方法最初是英國水文學(xué)家赫斯特 (Hurst)在 1951 年研究尼羅河水壩工程時(shí)經(jīng)過研究提出來的，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更一般的冪率形式（式 31）并