【正文】 同時提出來一個新的非參數(shù)統(tǒng)量，被稱為 Hurst 指數(shù)，簡稱為 H 指數(shù) .此后，R/S 分析法被用在各種時間序列的分析當中 . ? ? Hn CnSR ? (31) 其中，對于一個時間序列 ??tx ， R/S 是重標極差， S 指序列 ??tx 每段的方差，n 表示每段區(qū)間的長度， C 為常數(shù) . R/S 分析方法的基本步驟如下： （ 1）對一個時間序列 ??tx ，把它分為 k 個長度為 n 的等長子區(qū)間，對于每一個子區(qū)間，依次計算下面第 2 至第 5 步 . （ 2）計算各段數(shù)據(jù)的均值和標準差，以第 j 段的均值 jE 和標準差 jS 為例： ? ?? ??? ???nij injxnE 1 11 ， ? ?? ?? ??? ????ni jj EinjxnS 1211 （ 32） （ 3） 計算各段數(shù)據(jù)的累計離差和極差，以第 j 段的累積離差序列? ?? ? nrrD j ,...,2,1, ? 和極差 jR 為例： ? ? ? ?? ?? ??? ????ri jj EinjxrD 1 1， ? ? ? ?jjj DDR m inm a x ?? （ 33） （ 4）計算各段的重標極差，以第 j 段為例： ? ? jjj SRSR ? （ 34） （ 5） 計算整個 k 段序列的平均重標極差 ? ?nSR/ ： ? ? ? ????kj jn SRkSR 11 （ 35） （ 6）改變每段長度 n，使 n 取值為從 2 到 ? ?2N 之間改變，對不同的 n，重復上述（ 2） （ 5）步，得到散點對 ? ?? ?nSRn, 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 11 （ 7）繪制 ? ?? ? ? ?nSR n log~log 圖形，并用最小二乘法進行線性擬合，如滿足下式，則說明序列 ??tx 是單分形，且所得到的直線的斜率就是 Hurst 指數(shù) . ? ?? ? ? ? ? ?nHnSR n l o gl o g~l o g ? （ 36） 通 過分析 Hurst 指數(shù)結果，可得出：當 ?H 時，說明序列具有持續(xù)性；?H 時，序列具有反持續(xù)性； ?H 時，序列符合隨機游走 . R/S 分析法對短期記憶性比較敏感，因而由其不足，而消除趨勢波動分析方法（ DFA）可以消去短期相關性并反映長記憶性及分形特征 . DFA 方法分析 等物理學家和生物學家在 1994 年研究 DNA 分子的時候，發(fā)現(xiàn)NDA 分子順序在其分子個數(shù)大于 410 時，會呈現(xiàn)出一種長記憶性的、冪指數(shù)分布，之后他們提出了 DFA(detrended fluctuation analysis)方法 .DFA 方法可以消除短期的波動趨勢，用來檢測非平穩(wěn)時間序列的長記憶性，并且得到 Hurst 指數(shù) . DFA 方法的步驟如下： （ 1） 根據(jù)時間序列 ? ? Nixt ,...,2,1, ? ，得出累積離差序列 ??? ?ky ： ? ? ? ? Nkxxky ki i , . . . ,2,1,1 ??? ?? （ 37） 其中， x 是序列 ??ix 的平均值，Nxx Ni i 1*1??? （ 2） 將（ 1）中得到的序列 ??? ?ky 分成 ? ?sNNs int? 個連續(xù)的不重復的區(qū)間段，其中 s 為每個區(qū)間段的長度 .因為 N 不一定被 s 整除，為了防止末尾數(shù)據(jù)丟失，可以從序列 ??? ?ky 末端開始反方向再重復分割一次，這樣子就會得到一共sN2 個長度為 s 的區(qū)間段 . （ 3） 在每個區(qū)間段內(nèi)，如第 j 段，用最小二乘法回歸擬合趨勢多項式??kPmj ： ? ? ? ? ,...,2,1,1110 ????????? ?? mkbkbkbbkP mjmmmjjjmj （ 38） 其中， m 稱為回歸趨勢階數(shù) .不同的階 DFA 的比較結果能夠估計時間序列里的趨勢的強度 .于是計算出各個區(qū)間段消除趨勢后的序列 ? ? ? ? ? ?kPkyky mjj ?? ，并分別對這 sN2 個區(qū)間段計算出方差： 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 12 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ssimj NjiPisjyssjF , . . . ,2,1,11, 212 ????? ?? （ 39） ? ? ? ?? ? ? ?? ? sssimj NNjiPisNjNyssjF 2,...,1,1,122 ??????? ?? （ 310） （ 4）對所有區(qū)間段的方差求平均值，再計算方根得到 DFA 波動函數(shù) ??sF ： ? ? ? ? 2122 ,2 1????????? ??sNijssjFNsF （ 311） （ 5）對不同 s，重復上述（ 2） （ 4）步，并計算出相對應的 ??sF .如果 ??sF與 s 的對數(shù)函數(shù)之間存在存在線性關系： ? ? ? ?sHCsF l o gl o gl o g ?? （ 312） 則存在冪率形式的波動： ?? HCssF ? （ 313） 其中， H 即為 Hurst 指數(shù) . MFDFA 方法 Kantelhardt 等人 2020 年在原來 DFA 方法的 基礎上，提出了 MFDFA 方法，也就是多重分形消除趨勢分析方法，它是在驗證單分形的方法 DFA 的基礎上提出來的，用來驗證一個非平穩(wěn)時間序列是否具有多重分形特征的有效方法 . 基本步驟如下： MFDFA 方法的前三步與 DFA 分析方法步驟的（ 1） （ 3）步是基本一樣的 . 第四步：對所有區(qū)間段的方差求平均值，給定 q （任意實數(shù)），計算得到 q階消除趨 勢波動函數(shù) ??sFq ： ? ? ? ?? ? qkjqq sjFksF12122 ,21??????????? ?? ， 0?q （ 314） 當 0?q 時， ? ? ? ?? ???????????? ??sNjsq sjFNsF212 ,ln4 1e xp ； 特別的， 2?q 時，即為標準的 DFA 方法 . 第五步：當分割的長度 s 取遍 ? ?? ?22 N， 中的各個整數(shù)后，根據(jù)冪律關系 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 13 ?? ? ?qhq ssF ~ （ 315） 對 ? ? ? ?? ?? ?sFs qlog,log 的散點圖做線性回歸擬合，斜率即為對應于 q 的 ??qh . 第六步：改變 q 的值，重復上述前五步，得到關于 q 的函數(shù) ??qh ，我們稱為廣義 Hurst 指數(shù) . 第七步：分析 ? ? qqh ~ 的關系及圖形 ，并判斷出序列是否符合多重分形特征 . 當 h(q)數(shù)值大小與階數(shù) q 無關時，即為一常數(shù)，則時間序列是單分形的；當 h(q)與 q 有關時，此時時間序列是多重分形的 .當 0?q 時， ??sFq 的大小主要取決于小波動偏差 ? ?sjF ,2 的大小， ??qh 描述了小幅度波動的標度行為，當 0?q時， ??sFq 大小主要取決于大波動偏差 ? ?sjF ,2 的大小，此時 ??qh 描述了大幅度波動的標度行為 .于是，不同的 q 值也就描述了不同程度的波動對波動函數(shù) ??sFq的影響 . 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 14 4 滬深股指分形特征的實例分析 滬深股指的分形特征分析 本文以中國上海證券市場綜合指數(shù) (上證綜指 )和深圳證券市場成分指數(shù)（深證成指）為代表研究中國金融時間序列的分形特征 .選取了上證綜指和深圳成指 2020 年 5 月 10 日至 2020 年 5 月 22 日 每日的收盤價格作為樣本，樣本數(shù)都是 3160 個，通過對數(shù)差分 計算，得到相應的收益率序列而作為研究對象 . 也就是說，為了消除原始數(shù)據(jù)自相關的影響，我們需要對原始數(shù)據(jù)事先做處理，用于消除或者有效降低線性依賴性程度 .由于我們選取的原始數(shù)據(jù)所構成的時間序列以 ??tp 表示，則得到的對數(shù)收益序列為： ? ?1ln ??? ttt ppS ， （ 41） 其中， tS 表示 t 時的對數(shù)收益， tP 表示 t 時刻的股價指數(shù) . 以 1?tS 作為自變量， tS 作為因變量，進行回歸分析，得到 tS 的殘差序列 ? ?1???? ttt bSaSX （ 42） 這時 tX 的長度為 N1，那么問題就轉化為對序列 ??tX 進行分析 . Hurst 指數(shù)分析 Hurst 指數(shù)主要應用于單分形時間序列，它的的大小可以度量金融時間序列的持續(xù)性和反持續(xù)性 特征 .當 ??H 時，這就表明了時間序列具有持續(xù)性，而且 H 的值越接近 1，則此時表示序列持續(xù)性程度越強；當 ??H 時，這時就表示時間序列具有反持續(xù)的特征，而且 H 越接近 0 的時候反持續(xù)性程度就會越強；當 ?H 時，此時時間序列既不表現(xiàn)持續(xù)性也不表現(xiàn)反持續(xù)性，處于一種隨機狀態(tài)，而且 H 越接近 時，隨機游走特征就會越明顯 . 下面兩圖是分別運用 R/S 分析方法和 DFA 分析方法，以上證指數(shù)和深證成指 2020 年 5 月 10日至 2020 年 5 月 22日 每日的收盤價格（分別為 3160 個數(shù)據(jù)）作為樣本，在 Matlab 軟件上進行擬合而成的，主要用來計算 Hurst 指數(shù) . 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 15 (a) (b) 圖 41 上證綜指 (a)和深證成指 (b)的 R/S 分析圖 (c) (d) 圖 42 上證綜指 (c)和深證成指 (d)的 DFA 分析圖 各方法的結果顯示： 表 41 Hurst 指數(shù)數(shù)值比較 方法 上證綜指 深證成指 R/S DFA 該結果表明了，雖然兩種方法計算后所得到 H 指數(shù)互不不同，但都是明顯大于 的，由此可以知道，我們所研究得到的滬深指數(shù)收益序列的波動特征是明顯不同于布朗運動的，而且兩種波動均呈現(xiàn)出持續(xù)性的特征，并且深證證 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 16 券市場的持續(xù)性強度較大 . 這就表示，這兩個序列是具有分形特征的 . 滬深股指的多重分形特征的測度 下面是運用 MFDFA 分析方法得到的 擬合圖形： (e) (f) 圖 43 上證綜指的 MFDFA 分析圖 ,(e)圖表示 q 值分別取 5,0,5 時，波動函數(shù) ?? ssFq ~ 的圖形，（ f）圖表示 ? ? qqh ~ 的圖形 (g) (h) 圖 44 上證綜指的 MFDFA 分析圖， (g)圖表示 q 值分別取 5,0,5 時，波動函數(shù) ?? ssFq ~ 的圖形，（ h）圖表示 ? ? qqh ~ 的圖形