【正文】 噪音來的更小，并且在中間的頻率段中也存在著一定的數(shù)值。通過將音頻信號直接導(dǎo)入得到以下的波形信號： 粉噪音音頻波形圖，但是相比于褐噪音來說相鄰兩個(gè)信號間變化則更加巨大。再將褐噪音的音頻波形導(dǎo)入自相關(guān)函數(shù)公式中，延遲時(shí)間k的取值為1到60，并將得到的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連線得到以下折線圖： 褐噪音延遲時(shí)間160時(shí)自相關(guān)系數(shù) ，隨著延遲時(shí)間k的增加其原信號與經(jīng)過延遲后的信號的相關(guān)性逐漸減小。通過將褐噪音的音頻波形進(jìn)行FFT(快速傅里葉變化)算法計(jì)算得到其功率譜密度圖像： 褐噪音通過FFT算法得到的圖像 根據(jù)其音頻波形進(jìn)行FFT算法得到圖像()我們可以看到褐噪音只有在起始的一端出現(xiàn)了較高的數(shù)值。(2)褐噪音則是通過將得到的信號進(jìn)行一次隨機(jī)數(shù)選取，選擇下一個(gè)信號的生成是在其基礎(chǔ)上增加或是減少亦或是不變，通過得到的數(shù)據(jù)列轉(zhuǎn)變成音頻信號其表達(dá)式基本上可以描述為以下公式以得到各個(gè)信號點(diǎn)：……………()其中round指的是對于后面的隨機(jī)數(shù)中進(jìn)行四舍五入得到的整數(shù)位。再將白噪音的音頻波形導(dǎo)入自相關(guān)函數(shù)公式中，延遲時(shí)間k的取值為1到60，并將得到的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連線得到以下折線圖： 白噪音延遲時(shí)間1120時(shí)自相關(guān)系數(shù) [7]并且其數(shù)值都在177。其表達(dá)式基本上可以描述為以下公式以得到各個(gè)信號點(diǎn)：………………………………………………… ()： 白噪音音頻波形圖 ，并且充滿了整個(gè)波形圖中。以下就三種噪聲的自相似函數(shù)圖像做出以下分析。 三種噪音自相關(guān)系數(shù)計(jì)算通過將三種不同的噪音導(dǎo)入到MATLAB中，并對其各自進(jìn)行其自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算。當(dāng)自相關(guān)系數(shù)為0時(shí)則兩者完全不相關(guān)[6]。自相關(guān)系數(shù)又稱為皮爾生矩陣相關(guān)系數(shù)，自相關(guān)系數(shù)其主要是借由自相關(guān)函數(shù)，通過對于延遲時(shí)間k的輸入反應(yīng)出在時(shí)間序列差為k之間信號所得出一個(gè)具體的物理量相關(guān)系數(shù)rk。以下將通過自相關(guān)系數(shù)來進(jìn)一步論證。其產(chǎn)生的形式如果以一個(gè)具體的例子來說的話便如同是在白噪音產(chǎn)生的基礎(chǔ)上產(chǎn)生小小的改變，先是列出一個(gè)三位的二進(jìn)制表，我們便能夠得到8個(gè)二進(jìn)制數(shù)，再通過由3個(gè)骰子得出第一個(gè)信號，并將3個(gè)骰子表明具體標(biāo)號，當(dāng)進(jìn)行到下次的時(shí)候使用二進(jìn)制表中標(biāo)“1”的骰子重新投擲數(shù)字并得到下一位信號。如要舉一個(gè)例子來說的話就如同做一個(gè)轉(zhuǎn)盤一般，將轉(zhuǎn)盤分為三等份，各代表這頻率加一，減一，不變?nèi)N形式，而通過這個(gè)轉(zhuǎn)盤所得出的最終的數(shù)列轉(zhuǎn)變成音頻信號的話那得到的便是褐噪音(布朗噪音)，這和化學(xué)中的布朗運(yùn)動有著相似的形式，顯而易見我們能看到褐噪音(布朗噪音)的自相關(guān)性是相當(dāng)強(qiáng)的[4]。而產(chǎn)生的信號是不存在任何的自相關(guān)性的，如果要舉一個(gè)生活中的例子來說，這便如同我們投骰子一般，通過拿N個(gè)骰子便能得出6N個(gè)數(shù)字，而如果將得到的數(shù)列轉(zhuǎn)變成為一組音頻信號的話，那么得出的音頻信號便會是白噪音。因此三者的產(chǎn)生方式也是研究其自相關(guān)性的重要手段之一。而對于所有自然或是人為的音頻信號中根據(jù)其自相關(guān)性大致上可分為白噪音，粉噪音，布朗噪音三類，而粉噪音是大自然中最常見的類似音頻形式。 1 音頻信號理論概述 所謂音頻信號是帶有語音、音樂和音效和有規(guī)律的聲波的頻率的頻率、幅度變化信息載體。這些主旋律并非都是呆板地重復(fù)，而是包含一些預(yù)料外的成分，以達(dá)到引人入勝的效果[2]。 同時(shí)隨著數(shù)學(xué)幾何的逐漸發(fā)展，人們逐漸發(fā)現(xiàn)在音樂與數(shù)學(xué)之間有著一種密不可分的關(guān)系。這三種方法在音樂研究中已經(jīng)取得了輝煌的成就，而且仍還有著非常廣闊的前景。究竟是何種內(nèi)在的規(guī)律使得人們能夠?qū)㈦S意排列的音符轉(zhuǎn)變?yōu)橐皇琢钊朔Q贊的曲子也是一個(gè)令人深思的問題。而歷史中著名的音樂家更是數(shù)不勝數(shù)，無數(shù)的音樂家在歷史長河中創(chuàng)造了無數(shù)首中外馳名的名曲佳作。以實(shí)現(xiàn)通過分形理論來反映音樂特色這個(gè)論題的最終目的。并對于原始的音頻信號進(jìn)行了噪音處理，以模仿當(dāng)音頻信號存在干擾時(shí)會對于產(chǎn)生的分形維數(shù)會有多大的影響。并通過將音頻信號數(shù)據(jù)化，并且求取具體的數(shù)值——分形維數(shù)，使用具體化的數(shù)字來反映音樂作品所表達(dá)的感情，在求取的過程中分別使用了功率譜密度法，樂譜法以及盒維數(shù)法三種方法來進(jìn)行對于分形維數(shù)的求取。摘 要本文通過對于分形理論的研究，并結(jié)合了分形理論的概念發(fā)現(xiàn)對于音樂作品來說從其結(jié)構(gòu)上來說也是具有分形結(jié)構(gòu)的。本文首先通過求取音樂作品其自相似系數(shù)——反映自相關(guān)性的具體數(shù)值，以及從樂譜的整個(gè)音符結(jié)構(gòu)上分析得出了音樂作品的確滿足分形理論的結(jié)論。本文也對于三種分形維數(shù)的求解方法進(jìn)行了對于其本身及相互間的誤差分析。通過對于最終實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的總結(jié)我們在最后得到了分形維數(shù)之間的差距的確會對于音樂的情感所產(chǎn)生影響，并通過對于三種方法的特點(diǎn)進(jìn)行分析，總結(jié)出三種不同的分形維數(shù)計(jì)算方法優(yōu)缺點(diǎn)。關(guān)鍵詞：分形，分形維數(shù)，自相關(guān)系數(shù)，功率譜密度法，盒維數(shù)法，樂譜法，matlab仿真，音樂旋律Chaos and fractal characteristics of music melodyABSTRACT In this paper, the fractal theory, and bined with the concept of fractal theory is that the music is also from the structure of a frac tal the article,we first to evaluate the self similarity of music,which is reflected the specific values of autocorrelation,and analyse the notes from the score of the whole structure of the music,then obtained that it is really met the conclusions of the fractal music have been into data,which obtained the specific value,fractal dimension,use specific figures to reflect the feelings expressed by the process of evaluate is used the power spectral algorithm,the score algorithm and the boxcounting algorithm,which evaluted the fractal dimension. The article is also made the analysis the deviation between three algorithm with their own and each the original audio signal noise processing to mimic the disturbance caused when the existence of the audio signal generated by the impact of the fractal the final summary of the experimental data obtained at the final fractal dimension of the gap between the music does for the impact of the characteristics of three algorithm, summed up in three different algorithm of fractal dimension the advantages and disadvantages,to achieve that through the music of fractal theory to reflect the characteristics of the ultimate goal of this paper.Key word: fractal, fractal dimension, Self correlation coefficient, power spectral algorithm, score algorithm, boxcounting algorithm, matlab simulation, music melody混沌與分形對音樂旋律的特征分析0 引言 音樂在中世紀(jì)時(shí)與算術(shù)、幾何及天文被稱之為西方的四門高級學(xué)科。而音樂的創(chuàng)作則要回顧到史前時(shí)代了。 對于音樂進(jìn)行研究，當(dāng)今的占據(jù)主導(dǎo)地位的有三種方法，即歷史的方法、分析的方法和比較的方法[1]。但是，它們各自的研究范圍都比較狹小，或某一作品，或某一人某一派的作品，或某一時(shí)期的作品，或某一地域(或西方或東方或非洲或拉美)的作品，而不能從整體上研究范圍更廣的音樂現(xiàn)象。音樂中有許多不同的方式涉及到混沌，如樂器的音調(diào)，以及在音樂作曲過程中除非一支樂曲被有意識地做成缺乏結(jié)構(gòu)外，都可能有著某些主旋律的再現(xiàn)。 音樂這種獨(dú)特的曲調(diào)變化，即在一定的規(guī)律之下又產(chǎn)生一定隨機(jī)性的也是我們對于進(jìn)一步討論以下論點(diǎn)的基礎(chǔ)之一。根據(jù)聲波的特征，可把音頻信息分類為規(guī)則音頻和不規(guī)則音頻[3]。 各種噪音的產(chǎn)生原理模擬 由于本次的畢業(yè)設(shè)計(jì)主要討論有關(guān)于音樂與混沌及分形之間的關(guān)系，而其自相關(guān)性也是使兩者建立起聯(lián)系的要點(diǎn)。白噪音的產(chǎn)生手法是通過隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)組而產(chǎn)生的一組音頻信號。褐噪音(布朗噪音)的產(chǎn)生手法是根據(jù)在上一個(gè)頻率信號的基礎(chǔ)上進(jìn)行固定值的增加，減少或是保持不變而產(chǎn)生下一個(gè)信號。粉噪音可以說是介于白噪音以及褐噪音之間的噪聲，其自相關(guān)性也是處于白噪音和褐噪音之間的。由此可見，粉噪聲的產(chǎn)生過 粉噪聲產(chǎn)生原理圖程之中即存在著隨機(jī)性，也存在著一定的規(guī)律性[5]。 各種噪音的自相關(guān)證明上述所說的自相關(guān)系數(shù)是指在信號分析中的概念。 自相關(guān)函數(shù)其運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)過程主要是通過求取在時(shí)間序列t與經(jīng)過一個(gè)延遲k以后兩者信號的卷積所得出的數(shù)值便為其自相關(guān)系數(shù)： ……………………………………()自相關(guān)系數(shù)的取值范圍為[1,1]，其絕對值的大小也決定了經(jīng)過了延遲k的信號與原位置的信號的相關(guān)程度，其具體的值越大所表達(dá)關(guān)于延遲時(shí)間k的信號與原信號間相關(guān)程度越大，即+1,1時(shí)兩者完全相關(guān)，其中+1表示完全正相關(guān)，而1表示完全負(fù)相關(guān)，所謂的正相關(guān)即指當(dāng)原信號變大以后其延遲的信號也隨之跟著變大，而負(fù)相關(guān)則是正好相反，當(dāng)原信號增大時(shí)反而隨之減小。許多學(xué)者都提出了通過相關(guān)系數(shù)大小判斷變量相關(guān)性的程度，但正如Cohen(1988)所指出的一樣，這些標(biāo)準(zhǔn)或多或少會根據(jù)使用的情況不同而不同，本次畢業(yè)設(shè)計(jì)就自相關(guān)系數(shù)與其相關(guān)性確定以下關(guān)系： 相關(guān)系數(shù)及其所表示的相關(guān)程度 以下我們就通過MATLAB分別計(jì)算白噪音，褐噪音及粉噪音的自相關(guān)系數(shù)。而在計(jì)算的過程之中，在不停的對于延遲時(shí)間k增大的情況下。(1)白噪聲是通過由一個(gè)隨機(jī)數(shù)組產(chǎn)生的數(shù)據(jù)列，通過將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)變?yōu)橐纛l信號。通過將白噪音的音頻波形進(jìn)行FFT(快速傅里葉變化)算法計(jì)算得到其功率譜密度圖像：. 白噪音通過FFT算法得到的圖像 根據(jù)其音頻波形進(jìn)行FFT算法得到圖像()其縱坐標(biāo)的幅值相當(dāng)于其頻率在整個(gè)音頻中所出現(xiàn)頻率的數(shù)值即整個(gè)音頻的功率譜密度。其音頻波形在延遲范圍內(nèi)的信號與原信號沒有任何的相關(guān)性。： 褐噪音音頻波形圖 ，相鄰時(shí)間信號的變化的距離比白噪音的相比差距極大，從波形中可見褐噪音遵守著固定的規(guī)律性。這也代表著其信號的變化遵循著一定的規(guī)律。(3) 而最后的粉噪音可以說是日常生活中最常出現(xiàn)的聲音類型，而所使用的音頻信號也是將日常的音頻信號中截取一段得出的。在褐噪音的規(guī)律性上又附加了一定的隨機(jī)性。再將粉噪音的音頻波形導(dǎo)入自相關(guān)函數(shù)公式中，延遲時(shí)間k的取值為1到60，并將得到的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連線得到以下折線圖： 粉噪音延遲時(shí)間160時(shí)自相關(guān)系數(shù) ，其自相關(guān)曲線其變化趨勢如同褐噪音般其相關(guān)系數(shù)隨著延遲時(shí)間的增加其信號與原信號之間的相關(guān)性也逐漸減小，但是唯一不同的地方在于同褐噪音不同其相關(guān)性在隨著時(shí)間增加可能會出現(xiàn)一定隨機(jī)性的變化。 這也是自然界中聲音的一大特點(diǎn)，即存在確定性，但在確定性之中也包含著一定的隨機(jī)性在其中，而作為人類來說音樂可以被稱之為最接近于擬態(tài)大自然界聲音的行為了，音樂可以用來擬態(tài)各種自然界中的環(huán)境，也能用來抒發(fā)人們對于心中情感，時(shí)而激動時(shí)而歡快時(shí)而悲傷。如何得出這個(gè)自然屬性一直是人們所追求的，而分形幾何為解決這個(gè)問題提供了一個(gè)可行的方法[9]，而經(jīng)后來徐氏父子（許靖華和安得魯2 分形理論概述 分形的發(fā)展多少世紀(jì)以來，人們總是用歐幾里得幾何的對象和概念來描述我們這個(gè)生存世界。分形在英文中為fractal，源于拉丁文fractus(形容詞)、frangere（動詞），它與英文的fraction（碎片）及fragment（碎片）具有相同的根。Mandelbrot是想用此詞描述自然界中傳統(tǒng)歐氏幾何不能描述的一大類復(fù)雜、無規(guī)則的幾何對象，例如蜿蜒曲折的海岸線，起伏不定的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云。1967年他在美國《科學(xué)》雜志上發(fā)表了題為《英國的海岸線有多長？》的著名論文。由于海水對陸地的不斷沖刷和陸地的自身運(yùn)動，使的海岸線變得彎彎曲曲，非常不規(guī)則，從而形成大大小小的海灣、海岬。 海岸線的測量，當(dāng)測量的單位尺度越來越小時(shí)，其測量出的總長度會越來越大，若測量的單位尺度進(jìn)一步減小，那測量出的總長度會更大，顯而易見，這樣測量的總長度是隨所用單位尺度而變化的。所以，對海岸線的測量工作做的越接近，