【正文】 rders, nonequilibrium, random plex systems in the nature. Chaos appears in nonlinear systems, it reveals the unity of order and disorder, certainty and randomness of unity. Chaos is a nonlinear dynamic system unique to the plex state of motion, is a seemingly random, irregular motion, chaos, following the discovery of relativity and quantum mechanics known as the third after the revolution in physics, Chaos has always been of academic attention. Matlab is a suitable for scientific puting, engineering design, numerical analysis of the various fields of puting, calculation and simulation analysis of highquality mathematical theory study nonlinear system which is difficult to express use analytic style and colud only have numerical solution, and Matlab will demonstrate its strong potential in this respect. In this thesis, a Matlab software for classical chaos characteristics, and the chaos of the characteristics and formation process of simulation studies。 混沌理論研究的是非線性問題，難以用解析式表達，只能采用數值解法，而 Matlab 在這方面便可展示其強大的潛能?；煦邕\動是非線性動力學系統(tǒng)所特有的復雜運動狀態(tài)，是一種貌似隨機的不規(guī)則運動，混沌的發(fā)現被譽為繼相對論和量子力學后的第三次物理學革命，混沌的研究一直備受學術界的關注。I 基于 Matlab 的復擺混沌行為研究 摘 要 自然界中 存在無數的 無序、非平衡和隨機的 復雜系統(tǒng) 。 混沌現象出現于非線性系統(tǒng)中，它揭示了有序與無序的統(tǒng)一，確定性與隨機性的統(tǒng)一。 Matlab 是一個適用于科學計算、工程設計、數值分析等領域的各種計算、演算和仿真分析的高性能的優(yōu)秀數學軟件。 本論文利用了 Matlab 軟件研究經典的混沌現象的特征，并且對混沌的特點以及形成過程進行模擬分析研究；并用 Matlab 模擬了復擺運動行為及混沌現象，對不同周期作出相圖及奇怪吸引子，可以看到隨著 外驅動力的增加，復擺振動逐漸由倍周期分岔走向混沌。 and use Matlab to simulate the pendulum movement behavior and chaotic phenomena, on different cycles to the phase diagram and the strange attractor, As you can see the increase in external driving force, pendulum vibration gradually from perioddou bling bifurcation to chaos. KEY WORDS: Chaos, Matlab,pound pendulum,bifurcation,strange attractor III 目 錄 前 言 ......................................................................................................... 1 167。 本章小結 .................................................................................... 5 第二章 混沌行為與特性 ........................................................................ 5 167。 簡單的數學游戲 ............................... 6 167。 用 Matlab 演示混沌的基本性質 .............................................. 8 167。 倍周期分岔 —— 通向混沌之路 ................... 9 167。 本章小結 ...................................................................................13 第三章 用 Matlab 模擬復擺振動中的混沌行為 ...............................13 167。 復擺運動狀態(tài)的模擬研究 ......................................................15 167。 無驅動力有阻尼的復擺運動 .................... 17 167。 本章小結 ...................................................................................25 結 論 ......................................................................................................27 參考文獻 ..................................................................................................28 致 謝 ........................................................................................................29 1 前 言 自然界中 存在無數的 無序、非平衡和隨機的 復雜系統(tǒng) ?；煦绗F象是指確定性系統(tǒng)中出現的一種類似隨機過程的行為。 復擺運動是大學物理中基本的力學模型之一，在教學中通常只考慮其簡諧振動的情況，內容比較單一，沒有太多的研究空間。如果將復擺的這些非線性振動特性利用計算機模擬出來，不僅可以加深我們對復擺運動規(guī)律的認識，給我們提供一個寬闊的研究空間，而且還有助于我們了解物理學的發(fā)展前沿，開闊我們的視野?；煦缋碚撗芯?的是非線性問題，難以用解析式表達，只能采用數值解法，而 Matlab 在這方面便可展示其強大的潛能。第三章從復擺的運動方程出發(fā)，利用計算機進行數值求解，研究復擺從周期運動轉化為混沌運動的過程。 Matlab 只能解一階的常微分方程組，高階的常微分方程需要轉化成一階方程組才能求解。 (1) ( 2 )( 2 ) ( (1), ( 2 ), )dy ydtdy f y y tdt?? (11) 下一節(jié)我們將舉例說明如何用命令 ode45 求解常微分方程。 M 文件及程序調試 由 Matlab 語句構成的程序文件稱為 M 文件，它以 m 作為文件的擴展名。 主程序文件的格式特征如下： (1)用 clear， close all 等語句開 始，清除工作空間原有的變量和圖形，以避免其它以執(zhí)行程序殘留數據對本程序的影響； (2)如果文件中有全局變量，即在子程序中與主程序的變量，應在程序的起始部分注明； (3)整個程序應按 Matlab 標示符的要求起文件名，并加上后綴 m。 質點在萬有引力作用下的運動 3 以萬有引力的固定不動的施力 質點 0m 所在位置為坐標原點 O , 建立直角坐標系 Oxy ，質點的運動微分方程為 03Gmmmr rr??，分量方程為： 002 2 2 22 2 2 2( ) ( )G m G mxyxyx y x yx y x y? ? ? ?????， (14) 這兩個方程都是二階常微分方程，定義解矢量為 y ，令 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )y x y x y y y y? ? ? ?， ， ， (15) 可將方程組 (14)化為： ? ?? ?0322203222( 1 )( 1 ) ( 2)( 2)( 1 ) ( 3 )( 3 )( 3 ) ( 4)( 4)( 1 ) ( 3 )G m ydy dyydt dt yyG m ydy dyydt dt yy?? ? ???? ? ??， (16) (1)編寫微分方程組函數文件 ： function ydot=yxlcfun(t,y,flag,p) %函數首行 ,p 為參量 Gm0 ydot=[y(2)。 y(4)。 %建立微分方程組 (2)解微分方程的主程序