【正文】 以上結(jié)果表示，對(duì)于（ e）、（ g）圖，不同的 q 值，波動(dòng)函數(shù) ??sFq 的波動(dòng)程度也是在改變的，而且，對(duì)于每一個(gè)給定的 q 值，所對(duì)應(yīng)的 Hurst 指數(shù) （即直線的斜率）是各不相同的 .（ f）、（ h）圖則給出了 Hurst 指數(shù)隨著 q 的變化而變化的關(guān)系圖 .這就表明，瀘深股市都符合多重分形特征 . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 17 5 滬深股市的市場(chǎng)有效性、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系的分析 市場(chǎng)有效性分析與比較 相關(guān)理論 對(duì)于金融市場(chǎng)的分形特征，我們大多時(shí)候都采用廣義 Hurst 指數(shù)來(lái)測(cè)量金融市場(chǎng)的有效性 .由于廣義 Hurst 指數(shù) ??qh 與 q 的取值有關(guān)，于是我們采用 h? 來(lái)定量比較市場(chǎng)效率問(wèn)題 . ? ? ? ?? ? ?????? HHh （ 51） 當(dāng) ??h 時(shí)，表明市場(chǎng)是最有效的； h? 越接近 ，則表示市場(chǎng)是越有 效的，相反 h? 越遠(yuǎn)離 時(shí)，表明市場(chǎng)是越無(wú)效的 . 由于現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)的種種因素的限制，導(dǎo)致 h? 不可能取 ，也就是現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中，是不可能會(huì)有市場(chǎng)是完全有效的，只能比較不同市場(chǎng)之間的相對(duì)有效程度 .所以，針對(duì)金融市場(chǎng)的分形特征，是可以利用廣義 Hurst 指數(shù)的 h? 距離 的遠(yuǎn)近程度來(lái)衡量有效性的程度的 . 具體來(lái)講就是，如果某市場(chǎng)是相對(duì)較有效的，則該市場(chǎng)的廣義 Hurst 指數(shù)的 h? 更趨近于 ，而如果 h? 離 越遠(yuǎn)的話，這就表明這個(gè)市場(chǎng)是越無(wú)效的 . 有效性分析 下面分別是上證指數(shù)和深證綜指的 ? ? qqh ~ 的關(guān)系圖 (a) (b) 圖 51 上證綜指 (a)和深證成指 (b) ? ? qqh ~ 的關(guān)系圖 以上結(jié) 果顯 示， 上海 證券市 場(chǎng)的 ??h ，而 深證 證券市 場(chǎng)的 ??h ，因此 21 hh ??? ， 1h? 更接近 ，因此我們認(rèn)為，上海證券市場(chǎng) 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 18 是較有效的 .同時(shí)，圖（ a）中知， q=2 時(shí)， ? ? ?h ，圖（ b）中， ? ? ?h ，此時(shí)的 ??2h 即指 Hurst 指數(shù)，且 ? ? ? ?22 21 hh ? ， ??21h 更接近 ，這里也可以得出上海市場(chǎng)是比深證市場(chǎng)更有效的 . 市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)分析與比較 多重分形譜 用于描述金融時(shí)間序列多重分形特征的方法，最常用的是用多重分形譜??af .多重分形譜是用來(lái)描述奇異指數(shù)變化的這樣一種圖形，如果序列式單分形特征，則只是通過(guò)唯一的一個(gè)奇異指數(shù)來(lái)刻畫 時(shí)間序列在不同的時(shí)刻以及不同的時(shí)間尺度上的分形特征；如果序列是多重分形的，則是通過(guò)不斷改變的奇異指數(shù) a 來(lái)衡量整個(gè)復(fù)雜過(guò)程的一個(gè)局部規(guī)則特性，來(lái)進(jìn)行描述價(jià)格波動(dòng)在不同時(shí)間區(qū)間的的一種不均勻性 . 式子 ??af 中，其中 a 指的是奇異指數(shù)，它是用來(lái)描述復(fù)雜系統(tǒng)在中各個(gè)區(qū)間不同的奇異程度，它的取值范圍的大小則可以表示出不同的奇異強(qiáng)度分布范圍的大小 . ??af 則是為多重分形譜，它主要用于表征奇異指數(shù)的變化程度 .如果研究的時(shí)間序列是單分形的，則函數(shù) ??af 的值是一定的，那么如果時(shí)間序列是多重分形時(shí)，則此時(shí)函數(shù) ??af 的圖像呈現(xiàn)的是單峰鐘形圖形 . 多重分形譜的寬度 a? 則刻畫出了資產(chǎn)價(jià)格的漲跌幅度大小，它的大小則可以定量表示出金融市場(chǎng)中的波動(dòng)強(qiáng)度，同時(shí)可以用來(lái)刻畫市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的大小 .如果a? 越大，則表示時(shí)間序列分布是越不均勻的，這也就預(yù)示著該多重分形蘊(yùn)含的波動(dòng)程度越大，則該市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)就會(huì)越大 .如果 0??a ，則表示市場(chǎng)處于完全均勻分布的狀況，不過(guò)這只是理想狀態(tài)而已 . 風(fēng)險(xiǎn)分析 下面是對(duì)兩市場(chǎng)的多重分形 譜的繪制圖形： 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 19 圖 51 上海證券市場(chǎng)的多重分形譜 (d) 圖 52 深證證券市場(chǎng)的多重分形譜 從上圖可以看出，上海證券市場(chǎng)的多重分形譜寬度 ??? ，深證證券市場(chǎng)的多重分形譜寬度 ??? ，由此知， 21 ?? ??? ，但差別不大，故上海證券市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)是略大于深證證券市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)的 . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 20 6 總結(jié)與展望 研究成果總結(jié) 本文對(duì)分形及多重分形理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，對(duì)幾種多重分形方法的優(yōu)劣進(jìn)行了分析 .由于 MFDMA 方法的估計(jì)效果較好，在分析多重分形時(shí)釆用了該方法進(jìn)行分析 .并且選用了具有代表性的上證綜指和深證成指 2020 年 5 月 10日至 2020 年 5 月 22 日 每日的收盤價(jià)格（分別為 3160 個(gè)數(shù)據(jù)）作為樣本，進(jìn)行了分析，以此探討了上海金融市場(chǎng)和深圳金融市場(chǎng)的多重分形特征 .主要研究成果： （ 1）通過(guò)對(duì)兩時(shí)間序列進(jìn)行基本的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)了上證綜指和證成指的收益率序列的分布都不服從正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾的特征的 . （ 2）通過(guò) R/S 和 DFA 分析方法計(jì)算得到的上證綜指和深證成指收益率序列的 Hurst 指數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩時(shí)間序列都符合分形特征，而且兩種時(shí)間序列波動(dòng)均呈現(xiàn)出持續(xù)性的特征，并且深證證券市場(chǎng)的持續(xù)性強(qiáng)度較大 . （ 3）接著通過(guò)進(jìn)一步運(yùn)用 MFDFA 方法計(jì)算上證綜指和深證成指的收益率序列的廣義 Hurst 指數(shù) ??qh ，發(fā)現(xiàn)了廣 義 Hurst 指數(shù) ??qh 是隨著 q 值的變化而改變的，說(shuō)明，兩時(shí)間序列符合多重分形特征 . （ 4）通過(guò)計(jì)算并比較上證綜指和深證成指的收益率序列的 h? 的大小，得出上海市場(chǎng)是比深證市場(chǎng)更有效的 . （ 5）通過(guò)計(jì)算并比較上證綜指和深證成指的收益率序列的多重分形譜寬度?? 的大小，得出上海證券 市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)是略大于深證證券市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)的 . 研究展望 盡管本文得出了一些研究成果，但是這些也只能算得上多重分形的研究中的很小的一部分，不管是在理論還是在實(shí)踐方面都是需要進(jìn)一步的研究 . （ 1） 本文只是對(duì)股指的日收益率序列做了分析，而對(duì)其他的時(shí)間間隔的收益率序列，比如每周數(shù)據(jù)、每月數(shù)據(jù)等的多重分形結(jié)構(gòu)以及它們之間的關(guān)系還有待進(jìn)一步研究 . （ 2） 本文只是用 R/S、 DFA、 MFDFA 三種方法對(duì)兩時(shí)間序列進(jìn)行分析，而沒(méi)有運(yùn)用其他一些方法，不夠廣泛 . （ 3） 如何利用廣義 Hurst 指數(shù)、多重分形譜等多重分形的特性對(duì)金融市場(chǎng)的收益率 進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)，是多重分形分析研究的一個(gè)發(fā)展方向，需進(jìn)一步進(jìn)行探討 . 參考文獻(xiàn) [1] Mandelbrot B B. The fractal geometry of nature [M].New York: W. H. Freeman and Company, 1977, 211321. [2] Przekota G. Estimation and Interpretation of Hurst39。 generalized hurst exponent。 金融時(shí)間序列的多重分形分析 MULTIFRACTAL ANALYSIS OF FINANCIAL TIME SERIES 指 導(dǎo) 教 師： 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：學(xué) 士 論文提交日期： 2020 年 6 月 12 日 摘 要 有效市場(chǎng)假說(shuō) (EMH)是現(xiàn)代金融市場(chǎng)的基礎(chǔ)理論，該理論認(rèn)為市場(chǎng)的價(jià)格反映了市場(chǎng)的全部信息，市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)之間相互獨(dú)立而且不可預(yù)測(cè)，收益率服從隨機(jī)游走，收益率分布服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布 .但是，現(xiàn)實(shí)中的種種限 制因素決定著這一傳統(tǒng)的金融理論有著很大的局限性，實(shí)際的資本市場(chǎng)并不是傳統(tǒng)理論所描述的線性系統(tǒng)，而是一個(gè)非線性的系統(tǒng)，這也意味著分形理論開(kāi)始應(yīng)用在金融市場(chǎng) . 分形理論則認(rèn)為金融市場(chǎng)具有明顯的分形結(jié)構(gòu)和尖峰厚尾的分布特征，金融時(shí)間序列在一定的標(biāo)度范圍內(nèi)有著持續(xù)性與反持續(xù)性的特征，而且不同幅度的波動(dòng)能夠表現(xiàn)出多重分形特征 .分形理論比有效市場(chǎng)理論更能有效揭示金融市場(chǎng)的波動(dòng)本質(zhì)，同時(shí)也能更有效地揭示出金融市場(chǎng)的基本規(guī)律 . 本文選取上證綜指（上海證券綜合指數(shù)）和深證成指（深圳證券成分指數(shù)）2020 年 1 月 5 日至 2020 年 5 月 22 日的每日收盤價(jià)的股指收益數(shù)據(jù)位樣本，分別采取 R/S、 DFA、 MFDFA 方法對(duì)我國(guó)股市的分形及多重分形特征進(jìn)行實(shí)證研究與分析 .主要驗(yàn)證了兩時(shí)間序列的分形及多重分形特征；分析比較了兩時(shí)間序列的市場(chǎng)有效性特征，通過(guò)計(jì)算并比較 h? 的大小，得出了上海證券市場(chǎng)比深證證券市場(chǎng)有效；分析比較了兩時(shí)間序列的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)計(jì)算并比較多重分形譜的寬度 ?? ，得出了 上海證券市場(chǎng)存在的風(fēng)險(xiǎn)比深證證券市場(chǎng)的要大 . 關(guān)鍵詞： 分形； 多重分形； 廣義 Hurst 指數(shù)；市場(chǎng)有效性； 市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn) ABSTRACT Efficient Market Hypothesis (EMH) is the basis of modern finance theory, the main idea of EMH is that the financial market prices presents all information of market, fluctuation of market price are not only independent but also unpredictable, the returns follow a random walk hypothesis, and the distributions of the returns is normal or logarithm normal distribution. Yet many abnormal financial visions in reality means that the traditional financial theories have great limitation, it shows that the actual capital market is not a linear system which as the traditional theory described, but a nonlinear system. This also means the appearance and development of fractal theory. The basic view of fractal theory is that the financial market has obvious fractal structure and fat tail characteristics. The financial time series is persistent and anti persistence in a certain scale, different amplitude fluctuations can show multi fractal characteristics. So the fractal theory can reveal the volatility nature more accurately than that of traditional capital market theory, and can effectively reveal basic law of the finance market. This thesis chooses the stock return data on the day closing price between January 5, 2020 to May 22, 2020 of the Shanghai Stock Exchange Composite Index and the Partial Index of Shenzhen Stock Market as a sample. And adopt R/S, DFA, MFDFA fractal method doing empirical research and analysis of our country stock market and the multi fractal characteristics. The main work includes the validation of two time series fractal and mul