【正文】 越細致，則發(fā)現(xiàn)的細節(jié)就越多。曼德布羅特把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形。分形理論中最有意義的性質(zhì)就是自相似性。由于分形的概念是從幾何學中提出的，因此將分形應用在其它領域需要擴展其定義內(nèi)容，在1986年Mandelbrot提出了一個實用了定義：組成部分以某種方式與整體相似的形體叫分形。它突出反映了分形的自相似性，反映了自然界中廣泛存在的一類物質(zhì)的基本屬性：局部與局部，局部與整體在心態(tài)、功能、信息、時間與空間等方面具有統(tǒng)計意義上的自相似性[12]。歐幾里得幾何中的這種維數(shù)就是拓撲維，用字母d表示，整數(shù)維數(shù)構(gòu)成了歐幾里得幾何學的法則。在一個面積為1的正方形內(nèi)，以每一個邊長的1/3長為邊，可將原正方形分成9個小正方形，每個面積為原來的(1/3)2=1/9。 1/3 1/9 1/3 1/9 幾何維數(shù)推而廣之，在一個d 維的幾何對象中，以每個獨立方向的1/L長為新的方向，可將原幾何對象分成N個與原對象相似的幾何對象，這三個數(shù)之間的關系是(1/L)d=1/N?，F(xiàn)在把這個關系式兩邊取對數(shù)，寫成 ………………………………………………（）由式（）定義的拓撲維d，在歐幾里得幾何中都是整數(shù)。例如在分形理論上最著名的科赫曲線(KochKurve)。其是由瑞典數(shù)學家Helge von Koch在1904年發(fā)表的一篇題為“從初等幾何構(gòu)造的一條沒有切線的連續(xù)曲線”的論文中提出的。 科赫曲線從長度上來看，科赫曲線的長度為無窮大，因為每經(jīng)過一次重復其長度便增加4/3，在重復了n次以后其長度也變?yōu)榱?4/3)n。而其分形維數(shù)為log4/log3≈。 分形與音樂之間存在的聯(lián)系 音樂中也存在其獨特的自相似性，其作品中的自相似性就是初始條件與整體及其各個組成部分或者不同層次——最低層次與最高層次在時間序列軌道和空間序列軌道上表現(xiàn)出的運動過程以及運動狀態(tài)的相同性質(zhì)。但它們有時又是有所區(qū)別，其區(qū)別主要在于：初始條件既有一個有意義的結(jié)構(gòu)部位和結(jié)構(gòu)單位，又是一個“有開始，有中間，有結(jié)束”的“完整”運動過程，或任何一次周而復始的運動過程。最高層次是音樂作品的整體；最低層次——也就是最小的結(jié)構(gòu)，因作品的具體情形不同而有所不同，因此，要依據(jù)作品的整體系統(tǒng)而定。在空間序列軌道有相同的運動狀態(tài)，在實踐序列軌道有周期的運動過程就構(gòu)成規(guī)則分形。規(guī)則分形是有確定性行為構(gòu)成的，無規(guī)分形是由不確定性行為構(gòu)成的。(a)(b) 梁祝樂譜及其音符變化折線圖a. 第8小節(jié) 梁祝第8小節(jié)第17小節(jié)高低樂譜部分折線對比圖 通過其兩段的樂譜的折線圖的比較我們可以看見，在高音部分其2者的形狀完全相同，而在低音部分兩者在其雖然在形狀上有著明顯的差距，但是其上升與下降的趨勢還是保持著相同的，這就是所謂的在段落中的相同以及其產(chǎn)生的變化。簡單地說就是三個部分的形式是一模一樣的。因此，音樂在局部與整體的自相似性表現(xiàn)為無規(guī)分形，又可以被我們稱之為音樂在局部與整體的方面即存在確定性也存在不確定性[14]。無規(guī)分形是音樂作品中普遍存在的現(xiàn)象，也是最主要的表現(xiàn)形式[15]。估計分形維數(shù)的方法有很多，它們分別使用了分形的不同性質(zhì)，目前已經(jīng)有很多維數(shù)測定方法。而在音樂方面可以運用樂譜進行音樂分形維數(shù)的計算，以及通過音樂的音頻信號使用盒維數(shù)以及功率譜密度法進行分形維數(shù)的計算。 功率譜密度法計算過程及誤差 功率譜密度法計算過程 功率譜密度是對于具有連續(xù)頻譜和有線平均功率的信號表示其頻譜分量單位帶寬功率的頻率函數(shù)。其計算的原理是通過維納辛欽定理(WienerKhinchin theorem）提供一個簡單的替換方法，將一個信號看作一個平穩(wěn)的隨機過程，通過其自相關函數(shù)V(t)V(t+τ)進行傅里葉變換后得到[17]。因此將整個信號在一定頻率上進行過濾，而該如何取定這個范圍便是這個算法的主要需要解決的問題?，F(xiàn)在我們通過舉例來說明這種方法進行的過程，首先我們依舊選用上述文章中我們所提及的白噪聲的波形。 白噪音音頻波形圖通過FFT算法求取出白噪聲的功率譜密度的波形。通過求取兩者坐標系對數(shù)后得到以下波形。 功率譜密度波形圖通過最小二乘法擬合出的直線求取經(jīng)過線性擬合后所得到的直線的斜率。以上就是具體功率譜密度法的計算過程。但是在不同的頻率選取下得到的分形維數(shù)D還是會發(fā)生一定的變化，因此通過功率譜密度法計算分形維數(shù)時選取的濾波范圍不同時，也會隨之產(chǎn)生一定量的誤差。盒維數(shù)的定義可表示為： …………………………………………()有多種等價形式：；；；，半徑為的相互不交的球的最多個數(shù)如果采用第二種等價形式，則可以利用計算盒子數(shù)的方法來估計時間序列的盒維數(shù)。盒分維的估計過程如下：第一步：選擇一個長度為N的時間序列，為了計算方便，將時間軸和幅度軸歸一化。由于分形尺度的不變性，分形維數(shù)與隨機序列的時間分辨率（采樣率）是相互獨立的，可以選得無限小，然而對于離散信號最小的小于時，就會小于一個采樣周期。第三步：用長度均為的小盒子覆蓋正方形，在每個尺度下計算覆蓋整個序列的盒子總數(shù)第四步：畫出與的關系曲線。以上的方法對已經(jīng)進行了數(shù)據(jù)化的音樂的音頻信號進行盒維數(shù)的求解顯然需要在原有的方法上進行進一步的改進。而當盒維數(shù)在進行二維圖像計算時，我們通常將信號序列與時間序列通過網(wǎng)格分割開。則關于音頻信號的波形圖而言其分形維數(shù)也應當是一個處于1與2之間的數(shù)值[20]，現(xiàn)在我們就一舉一個簡單的例子來進行具體的描述。 盒維數(shù)法計算誤差由于盒維數(shù)的計算方法的關系，最主要影響其精度的變量便是在將圖像進行網(wǎng)格化時所產(chǎn)生的全部網(wǎng)格數(shù)e。所得到的誤差也便是原有的基礎上再多增加一層網(wǎng)格數(shù)。 樂譜法 樂譜法計算過程 上述已經(jīng)討論過了有關于功率譜密度與頻率是存在分形關系的。根據(jù)這個概念，我們也能夠從音樂作品的樂譜中得到每2個音之間變化量，即得到樂譜中音程i，并計算整個樂曲之中所出現(xiàn)音程i的概率F，其兩者也同功率譜密度與頻率一般有著以下的關系： 或……………………()即音程i的對數(shù)與其出現(xiàn)幾率F的對數(shù)之間存在線性關系,也就是說以logF和logi為縱橫坐標作圖,則各點均應在同一直線上。 其得到的圖像的斜率β與分形維數(shù)D依舊存在存在著以下的關系： ………………………………………………… ()在通過以上的概念論述以后我們再繼續(xù)討論下有關于樂譜法在其實現(xiàn)過程中的基礎知識。所謂音程可以理解為在兩個音之間的音高關系，通常音高是用“度”表示。首先說，度是一種單位，用來衡量音與音之間的聽覺上的距離。通常我們都是將一個音階稱作為一個八度，雖說音階上來看整個音階被分為八個音，但是事實上八個音之間所相差的音高關系并不是想象中的純粹一樣的，而是相互之間存在著一定的差距的。 通常的一個八度中我們又可以將其分為平均的12份，我們將其稱之為十二平均律，每一份，就是一個半音，兩個半音等于一個全音。各基本音級之間相隔的距離并不平均，所以十二個半音構(gòu)成了有八個基本音級的音列，大調(diào)音階各音之音的關系是全全半全全全半。例如在下圖中前兩個音符2到7之間有3個半音，而后兩個音符7到6之間有2個半音。而這里所提到的半音便是我們在收集數(shù)據(jù)的過程中所需要的音程i，進而計算整個譜面上各個譜面之間存在的音程差。以下我們通過截取樂譜中的三小節(jié)進行樂譜法的計算。以上就是大致上樂譜法統(tǒng)計計算的具體過程。但依賴單純依賴譜面計算的樂譜法則不受這兩點干擾，與此同時雖然避免了在選取參數(shù)與信號源兩方面的誤差。而具體產(chǎn)生誤差的原因?qū)⒃诤笪闹芯唧w舉例。但是，正如上文所提到過的在計算一張樂譜的過程中也存在著許多難以或是無法避免的計算誤差。 當樂譜中的調(diào)號未計算到數(shù)據(jù)中所謂的調(diào)號就是五線譜里記在譜號后面表示樂曲所用調(diào)域的變音記號，如下圖所示。升音調(diào)主要有G大調(diào)，D大調(diào)，A大調(diào)，E大調(diào)，B大調(diào)，升F調(diào)，升C調(diào)((b)從左至右)，而降音調(diào)主要有F大調(diào)，降B調(diào)，降E調(diào)，降A調(diào)，降D調(diào)，降G調(diào)，降C (a)(b)(c) 樂譜調(diào)號a. C大調(diào) 調(diào)。當然在實際的統(tǒng)計計算過程中可能會產(chǎn)生人為誤差造成在應當添加或是減少一個半音的地方漏算這些細節(jié)。因此需要判斷如果產(chǎn)生了此類誤差的話會對于整個計算過程中產(chǎn)生多大的影響，為了能最大限度的計算調(diào)號或是統(tǒng)計過程中的誤差所帶來的影響我們通過以下的方法來進行對調(diào)號誤差的判斷：將原本音樂作品中的調(diào)號全部取消并再次重新統(tǒng)計音樂作品中所有的音程差，并對于分形維數(shù)進行重新計算。并對其樂譜中的每兩個音符計算其音程，并將樂譜中的調(diào)號去除再次進行以下統(tǒng)計。 以不同方式計算和音的音程在進行樂譜法的分形計算過程中，和音可以說是引發(fā)誤差的最大原因之一。特別是當在有多個和音連續(xù)出現(xiàn)的時候又會有著以下的疑問在進行 連續(xù)和音示例計算的過程中是應當是根據(jù)其相對應的關系進行計算還是按照相互交叉的原則進行計算。(a) (b) 和音計算的不同方式a. 按照其相同位置 以下就僅舉一例截取選取樂譜中的一小部分。(a)(b) 樂譜截取部分統(tǒng)計a. 按照相應位置計算和音音程 以下就具體數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計： 按相應位置計算和音后統(tǒng)計數(shù)據(jù)音程i出現(xiàn)次數(shù)f出現(xiàn)概率f%0712253948512788292103123131141151172191總計67 按交叉位置計算和音后統(tǒng)計數(shù)據(jù)音程i出現(xiàn)次數(shù)f出現(xiàn)概率f%223124851762788492103123131141151172191總計67根據(jù)所統(tǒng)計出所有音程i所出現(xiàn)的概率并求取其概率及音程i的對數(shù)，經(jīng)過線性擬合，得到下圖的直線()：(a)(b) 樂譜音程i與概率f對數(shù)關系圖 通過計算這兩條直線的斜率，我們可以得出這兩者的分形維數(shù)分別是D(a)=,D(b)=根據(jù)誤差公式，得出其誤差為： ()/=% 如同上文所描述的，由于是截取樂譜中的一小段，所以得到的結(jié)果無法反映出整個樂譜的整個分形維數(shù)的特性，在計算誤差時也有著一定的局限性，這里僅表明其具體的計算方法及過程，而后文中我們將具體通過計算整張譜面中由于這個問題所產(chǎn)生的誤差而進行具體的計算。為了能得到最大的變化的數(shù)值，我們通過將音樂作品中所有出現(xiàn)這種不成倍數(shù)的和音變化時情況按照另外一種分配方式進行再次計算，以得到一個不同的數(shù)值，從而得到計算在兩種不同方 和音數(shù)量發(fā)生變化時采取不同位置統(tǒng)計計算式所得到的分形維數(shù)之間存在的誤差。以下就舉一例子通過截取樂譜中的某一小段來具體說明該種誤差的具體計算過程：(a)(b) 樂譜截取部分統(tǒng)計a. 原樂譜 以下就具體數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計： 按原樂譜計算統(tǒng)計數(shù)據(jù)音程i出現(xiàn)次數(shù)f出現(xiàn)概率f%0712253948512788292103123131141151172191總計67 按另外種方法計算統(tǒng)計數(shù)據(jù)音程i出現(xiàn)次數(shù)f出現(xiàn)概率f%071224394851378829292103123131141151172總計67根據(jù)所統(tǒng)計出所有音程i所出現(xiàn)的概率并求取其概率及音程i的對數(shù)，經(jīng)過線性擬合，得到下圖的直線()：(a)(b) 樂譜音程i與概率f對數(shù)關系圖a. 按原樂譜計算 通過計算這兩條直線的斜率，我們可以得出這兩者的分形維數(shù)分別是D(a)=,D(b)=根據(jù)誤差公式，得出其誤差為： ()/=% 如同上文所敘述的，由于選取了樂譜的一部分，無法通過樂譜法得到精確的分形維數(shù)，其誤差的計算結(jié)果也有著一定的局限性。 和音中是否根據(jù)節(jié)奏計算音程 在音樂中會出現(xiàn)以下現(xiàn)象，當出現(xiàn)和音的時候但是不相同節(jié)奏的兩個音節(jié)，按照樂理來說的確應當分別觀察不同音高的節(jié)奏，在其相同的節(jié)奏時長下計算。以下通過截取一段樂譜具體說明其計算過程：(a)(b) 樂譜截取部分統(tǒng)計 以下就具體數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計： 和音時按照節(jié)奏計算統(tǒng)計數(shù)據(jù)音程i出現(xiàn)次數(shù)f出現(xiàn)概率f%05172935415776121總計41 和音時不按照節(jié)奏計算統(tǒng)計數(shù)據(jù)音程i出現(xiàn)次數(shù)f出現(xiàn)概率f%03162837415661778291101122總計45根據(jù)所統(tǒng)計出所有音程i所出現(xiàn)的概率并求取其概率及音程i的對數(shù)，經(jīng)過線性擬合，得到下圖