【正文】 是基本一樣的 . 第四步：對(duì)所有區(qū)間段的方差求平均值，給定 q （任意實(shí)數(shù)），計(jì)算得到 q階消除趨 勢(shì)波動(dòng)函數(shù) ??sFq ： ? ? ? ?? ? qkjqq sjFksF12122 ,21??????????? ?? ， 0?q （ 314） 當(dāng) 0?q 時(shí)， ? ? ? ?? ???????????? ??sNjsq sjFNsF212 ,ln4 1e xp ； 特別的， 2?q 時(shí)，即為標(biāo)準(zhǔn)的 DFA 方法 . 第五步：當(dāng)分割的長(zhǎng)度 s 取遍 ? ?? ?22 N， 中的各個(gè)整數(shù)后，根據(jù)冪律關(guān)系 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 13 ?? ? ?qhq ssF ~ （ 315） 對(duì) ? ? ? ?? ?? ?sFs qlog,log 的散點(diǎn)圖做線性回歸擬合，斜率即為對(duì)應(yīng)于 q 的 ??qh . 第六步：改變 q 的值，重復(fù)上述前五步，得到關(guān)于 q 的函數(shù) ??qh ，我們稱為廣義 Hurst 指數(shù) . 第七步：分析 ? ? qqh ~ 的關(guān)系及圖形 ，并判斷出序列是否符合多重分形特征 . 當(dāng) h(q)數(shù)值大小與階數(shù) q 無(wú)關(guān)時(shí)，即為一常數(shù)，則時(shí)間序列是單分形的；當(dāng) h(q)與 q 有關(guān)時(shí)，此時(shí)時(shí)間序列是多重分形的 .當(dāng) 0?q 時(shí)， ??sFq 的大小主要取決于小波動(dòng)偏差 ? ?sjF ,2 的大小， ??qh 描述了小幅度波動(dòng)的標(biāo)度行為，當(dāng) 0?q時(shí)， ??sFq 大小主要取決于大波動(dòng)偏差 ? ?sjF ,2 的大小，此時(shí) ??qh 描述了大幅度波動(dòng)的標(biāo)度行為 .于是，不同的 q 值也就描述了不同程度的波動(dòng)對(duì)波動(dòng)函數(shù) ??sFq的影響 . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 14 4 滬深股指分形特征的實(shí)例分析 滬深股指的分形特征分析 本文以中國(guó)上海證券市場(chǎng)綜合指數(shù) (上證綜指 )和深圳證券市場(chǎng)成分指數(shù)（深證成指）為代表研究中國(guó)金融時(shí)間序列的分形特征 .選取了上證綜指和深圳成指 2020 年 5 月 10 日至 2020 年 5 月 22 日 每日的收盤價(jià)格作為樣本，樣本數(shù)都是 3160 個(gè)，通過(guò)對(duì)數(shù)差分 計(jì)算，得到相應(yīng)的收益率序列而作為研究對(duì)象 . 也就是說(shuō)，為了消除原始數(shù)據(jù)自相關(guān)的影響，我們需要對(duì)原始數(shù)據(jù)事先做處理，用于消除或者有效降低線性依賴性程度 .由于我們選取的原始數(shù)據(jù)所構(gòu)成的時(shí)間序列以 ??tp 表示，則得到的對(duì)數(shù)收益序列為： ? ?1ln ??? ttt ppS ， （ 41） 其中， tS 表示 t 時(shí)的對(duì)數(shù)收益， tP 表示 t 時(shí)刻的股價(jià)指數(shù) . 以 1?tS 作為自變量， tS 作為因變量，進(jìn)行回歸分析，得到 tS 的殘差序列 ? ?1???? ttt bSaSX （ 42） 這時(shí) tX 的長(zhǎng)度為 N1，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為對(duì)序列 ??tX 進(jìn)行分析 . Hurst 指數(shù)分析 Hurst 指數(shù)主要應(yīng)用于單分形時(shí)間序列，它的的大小可以度量金融時(shí)間序列的持續(xù)性和反持續(xù)性 特征 .當(dāng) ??H 時(shí)，這就表明了時(shí)間序列具有持續(xù)性，而且 H 的值越接近 1，則此時(shí)表示序列持續(xù)性程度越強(qiáng)；當(dāng) ??H 時(shí)，這時(shí)就表示時(shí)間序列具有反持續(xù)的特征，而且 H 越接近 0 的時(shí)候反持續(xù)性程度就會(huì)越強(qiáng)；當(dāng) ?H 時(shí)，此時(shí)時(shí)間序列既不表現(xiàn)持續(xù)性也不表現(xiàn)反持續(xù)性，處于一種隨機(jī)狀態(tài)，而且 H 越接近 時(shí)，隨機(jī)游走特征就會(huì)越明顯 . 下面兩圖是分別運(yùn)用 R/S 分析方法和 DFA 分析方法，以上證指數(shù)和深證成指 2020 年 5 月 10日至 2020 年 5 月 22日 每日的收盤價(jià)格（分別為 3160 個(gè)數(shù)據(jù)）作為樣本，在 Matlab 軟件上進(jìn)行擬合而成的，主要用來(lái)計(jì)算 Hurst 指數(shù) . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 15 (a) (b) 圖 41 上證綜指 (a)和深證成指 (b)的 R/S 分析圖 (c) (d) 圖 42 上證綜指 (c)和深證成指 (d)的 DFA 分析圖 各方法的結(jié)果顯示： 表 41 Hurst 指數(shù)數(shù)值比較 方法 上證綜指 深證成指 R/S DFA 該結(jié)果表明了，雖然兩種方法計(jì)算后所得到 H 指數(shù)互不不同，但都是明顯大于 的，由此可以知道，我們所研究得到的滬深指數(shù)收益序列的波動(dòng)特征是明顯不同于布朗運(yùn)動(dòng)的，而且兩種波動(dòng)均呈現(xiàn)出持續(xù)性的特征，并且深證證 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 16 券市場(chǎng)的持續(xù)性強(qiáng)度較大 . 這就表示，這兩個(gè)序列是具有分形特征的 . 滬深股指的多重分形特征的測(cè)度 下面是運(yùn)用 MFDFA 分析方法得到的 擬合圖形： (e) (f) 圖 43 上證綜指的 MFDFA 分析圖 ,(e)圖表示 q 值分別取 5,0,5 時(shí)，波動(dòng)函數(shù) ?? ssFq ~ 的圖形，（ f）圖表示 ? ? qqh ~ 的圖形 (g) (h) 圖 44 上證綜指的 MFDFA 分析圖， (g)圖表示 q 值分別取 5,0,5 時(shí)，波動(dòng)函數(shù) ?? ssFq ~ 的圖形，（ h）圖表示 ? ? qqh ~ 的圖形 以上結(jié)果表示，對(duì)于（ e）、（ g）圖，不同的 q 值，波動(dòng)函數(shù) ??sFq 的波動(dòng)程度也是在改變的，而且，對(duì)于每一個(gè)給定的 q 值，所對(duì)應(yīng)的 Hurst 指數(shù) （即直線的斜率）是各不相同的 .（ f）、（ h）圖則給出了 Hurst 指數(shù)隨著 q 的變化而變化的關(guān)系圖 .這就表明，瀘深股市都符合多重分形特征 . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 17 5 滬深股市的市場(chǎng)有效性、市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系的分析 市場(chǎng)有效性分析與比較 相關(guān)理論 對(duì)于金融市場(chǎng)的分形特征，我們大多時(shí)候都采用廣義 Hurst 指數(shù)來(lái)測(cè)量金融市場(chǎng)的有效性 .由于廣義 Hurst 指數(shù) ??qh 與 q 的取值有關(guān)，于是我們采用 h? 來(lái)定量比較市場(chǎng)效率問(wèn)題 . ? ? ? ?? ? ?????? HHh （ 51） 當(dāng) ??h 時(shí)，表明市場(chǎng)是最有效的； h? 越接近 ，則表示市場(chǎng)是越有 效的，相反 h? 越遠(yuǎn)離 時(shí)，表明市場(chǎng)是越無(wú)效的 . 由于現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)的種種因素的限制，導(dǎo)致 h? 不可能取 ，也就是現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中，是不可能會(huì)有市場(chǎng)是完全有效的，只能比較不同市場(chǎng)之間的相對(duì)有效程度 .所以，針對(duì)金融市場(chǎng)的分形特征，是可以利用廣義 Hurst 指數(shù)的 h? 距離 的遠(yuǎn)近程度來(lái)衡量有效性的程度的 . 具體來(lái)講就是，如果某市場(chǎng)是相對(duì)較有效的，則該市場(chǎng)的廣義 Hurst 指數(shù)的 h? 更趨近于 ，而如果 h? 離 越遠(yuǎn)的話，這就表明這個(gè)市場(chǎng)是越無(wú)效的 . 有效性分析 下面分別是上證指數(shù)和深證綜指的 ? ? qqh ~ 的關(guān)系圖 (a) (b) 圖 51 上證綜指 (a)和深證成指 (b) ? ? qqh ~ 的關(guān)系圖 以上結(jié) 果顯 示， 上海 證券市 場(chǎng)的 ??h ，而 深證 證券市 場(chǎng)的 ??h ，因此 21 hh ??? ， 1h? 更接近 ，因此我們認(rèn)為，上海證券市場(chǎng) 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 18 是較有效的 .同時(shí)，圖（ a）中知， q=2 時(shí)， ? ? ?h ，圖（ b）中， ? ? ?h ，此時(shí)的 ??2h 即指 Hurst 指數(shù)，且 ? ? ? ?22 21 hh ? ， ??21h 更接近 ，這里也可以得出上海市場(chǎng)是比深證市場(chǎng)更有效的 . 市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)分析與比較 多重分形譜 用于描述金融時(shí)間序列多重分形特征的方法，最常用的是用多重分形譜??af .多重分形譜是用來(lái)描述奇異指數(shù)變化的這樣一種圖形，如果序列式單分形特征，則只是通過(guò)唯一的一個(gè)奇異指數(shù)來(lái)刻畫(huà) 時(shí)間序列在不同的時(shí)刻以及不同的時(shí)間尺度上的分形特征；如果序列是多重分形的，則是通過(guò)不斷改變的奇異指數(shù) a 來(lái)衡量整個(gè)復(fù)雜過(guò)程的一個(gè)局部規(guī)則特性，來(lái)進(jìn)行描述價(jià)格波動(dòng)在不同時(shí)間區(qū)間的的一種不均勻性 . 式子 ??af 中，其中 a 指的是奇異指數(shù)，它是用來(lái)描述復(fù)雜系統(tǒng)在中各個(gè)區(qū)間不同的奇異程度，它的取值范圍的大小則可以表示出不同的奇異強(qiáng)度分布范圍的大小 . ??af 則是為多重分形譜，它主要用于表征奇異指數(shù)的變化程度 .如果研究的時(shí)間序列是單分形的，則函數(shù) ??af 的值是一定的，那么如果時(shí)間序列是多重分形時(shí)，則此時(shí)函數(shù) ??af 的圖像呈現(xiàn)的是單峰鐘形圖形 . 多重分形譜的寬度 a? 則刻畫(huà)出了資產(chǎn)價(jià)格的漲跌幅度大小，它的大小則可以定量表示出金融市場(chǎng)中的波動(dòng)強(qiáng)度，同時(shí)可以用來(lái)刻畫(huà)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的大小 .如果a? 越大，則表示時(shí)間序列分布是越不均勻的，這也就預(yù)示著該多重分形蘊(yùn)含的波動(dòng)程度越大，則該市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)就會(huì)越大 .如果 0??a ，則表示市場(chǎng)處于完全均勻分布的狀況，不過(guò)這只是理想狀態(tài)而已 . 風(fēng)險(xiǎn)分析 下面是對(duì)兩市場(chǎng)的多重分形 譜的繪制圖形： 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 19 圖 51 上海證券市場(chǎng)的多重分形譜 (d) 圖 52 深證證券市場(chǎng)的多重分形譜 從上圖可以看出，上海證券市場(chǎng)的多重分形譜寬度 ??? ，深證證券市場(chǎng)的多重分形譜寬度 ??? ，由此知， 21 ?? ??? ，但差別不大，故上海證券市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)是略大于深證證券市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)的 . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 20 6 總結(jié)與展望 研究成果總結(jié) 本文對(duì)分形及多重分形理論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，對(duì)幾種多重分形方法的優(yōu)劣進(jìn)行了分析 .由于 MFDMA 方法的估計(jì)效果較好，在分析多重分形時(shí)釆用了該方法進(jìn)行分析 .并且選用了具有代表性的上證綜指和深證成指 2020 年 5 月 10日至 2020 年 5 月 22 日 每日的收盤價(jià)格（分別為 3160 個(gè)數(shù)據(jù)）作為樣本，進(jìn)行了分析，以此探討了上海金融市場(chǎng)和深圳金融市場(chǎng)的多重分形特征 .主要研究成果： （ 1）通過(guò)對(duì)兩時(shí)間序列進(jìn)行基本的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)了上證綜指和證成指的收益率序列的分布都不服從正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾的特征的 . （ 2）通過(guò) R/S 和 DFA 分析方法計(jì)算得到的上證綜指和深證成指收益率序列的 Hurst 指數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩時(shí)間序列都符合分形特征，而且兩種時(shí)間序列波動(dòng)均呈現(xiàn)出持續(xù)性的特征，并且深證證券市場(chǎng)的持續(xù)性強(qiáng)度較大 . （ 3）接著通過(guò)進(jìn)一步運(yùn)用 MFDFA 方法計(jì)算上證綜指和深證成指的收益率序列的廣義 Hurst 指數(shù) ??qh ，發(fā)現(xiàn)了廣 義 Hurst 指數(shù) ??qh 是隨著 q 值的變化而改變的，說(shuō)明，兩時(shí)間序列符合多重分形特征 . （ 4）通過(guò)計(jì)算并比較上證綜指和深證成指的收益率序列的 h? 的大小，得出上海市場(chǎng)是比深證市場(chǎng)更有效的 . （ 5）通過(guò)計(jì)算并比較上證綜指和深證成指的收益率序列的多重分形譜寬度?? 的大小，得出上海證券 市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)是略大于深證證券市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)的 . 研究展望 盡管本文得出了一些研究成果，但是這些也只能算得上多重分形的研究中的很小的一部分，不管是在理論還是在實(shí)踐方面都是需要進(jìn)一步的研究 . （ 1） 本文只是對(duì)股指的日收益率序列做了分析，而對(duì)其他的時(shí)間間隔的收益率序列，比如每周數(shù)據(jù)、每月數(shù)