【正文】 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 5 2 金融時間序列的相關(guān)分形理論與方法 分形理論 分形理論的形成 分形理論是由 Mandelbrot 首先提出來的，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展為一種系統(tǒng)的理論，它起源于對海岸線長度測量的研究問題 .Mandelbrot 在研究英國的海岸線的復(fù)雜邊界時，發(fā)現(xiàn)了不同比例的地圖上測量出來的海岸線長度是不同的，這也正是歐幾里德幾何所無法解釋的一點(diǎn) .大家都知道，海岸線是彎彎曲曲的，不規(guī)則且極不光滑的一條曲線 .如果要對它的長度進(jìn)行測量，就必須要選取一定的測量單位才可以 .如果選作“公里”作為測量單位來測量海岸線 ，很顯然從幾米直到幾十米的彎曲程度就都被隨之忽略掉了，此時測量的結(jié)果我們記為 M1；如果選取“米”作為測量單位，測量的結(jié)果很明顯要比上一次的準(zhǔn)確一些，幾米直到幾十米的彎曲程度都可以被包括在測量的范圍內(nèi)，然而厘米量級的這樣小的彎曲，卻仍然被排除在計量長度范圍之外，這時的測量結(jié)果我們記為 M2，則一定有關(guān)系式 M2M1；如果繼續(xù)用更小的“毫米”為單位來測量，其結(jié)果顯然要比前兩次精確的多了，但是仍存在微米量級的小的彎曲被忽略掉了，此時的測量結(jié)果記為 M3 ，且存在關(guān)系式 M3M2，如果繼續(xù)把海岸 線分解到“分子”、“原子”這樣的尺度標(biāo)準(zhǔn)，很顯然測量得到的長度 L4 會大到天文數(shù)字的級別 .追究其原因則是因?yàn)楹０毒€是一種具有各種層次且無窮多的細(xì)節(jié)的非常復(fù)雜的幾何對象 . 自然界中存在很多類似于海岸線這樣的幾何對象，它們都是一些極其不規(guī)則而且支離破碎的片段的集合，如河流、山脈、血管、云團(tuán)、樹枝等等 .Mandelbrot 用“分形”這一概念，來描述這些十分復(fù)雜的幾何對象 .在研究過程中，他將測量長度和放大尺度（比例）分別取其對數(shù)，發(fā)現(xiàn)所對應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)之間存在著一種線性的關(guān)系，這表示，這類十分復(fù)雜的集合體都具有一種共同 的特征，即自相似性的特征，也就是說局部的形態(tài)與整體的形態(tài)是相似的 .后來，通過研究， Mandelbrot 更進(jìn)一步發(fā)展了分形幾何理論，這一理論不僅可以產(chǎn)生許多分形集曲線和圖形，如 Mandelbrot 集、 Koch 曲線、 Cantor集、 Sierpinski 墊片 等等 ，而 且還 可以 用來 描述 復(fù)雜 對象 的幾 何特性 .Mandelbrot 用“分形理論”這一定義，來反映這種表示這些復(fù)雜的圖形特征和復(fù)雜過程規(guī)律的性質(zhì) . 分形理論的定義及特征 盡管至今為止，分形理論還是沒有形成一個比較嚴(yán)格的定義，但是很多研究者都根據(jù)自己的理 解做出了自己的定義 .最開始的時候，分形定義是由Mandelbrot 提出來的，他指出分形是這樣的一種集合：它的維數(shù)嚴(yán)格意義上 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 6 是大于其拓?fù)渚S數(shù)的 .但是這個定義還是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，而且比較抽象，不能夠被人們所理解 .接著他指出另一個定義，部分以某種形式與整體相似的這樣的一種形狀叫“分形”，但是這個定義是仍然不夠全面的，仍然不能夠被大家所認(rèn)可 .直到 1990 年， Edger 指出，分形集合是這樣的一種集合，它比傳統(tǒng)的幾何學(xué)所研究的所有的集合還要更加不規(guī)則，不管是將它放大多少倍還是縮小多少倍，甚至是更進(jìn)一步地進(jìn)行縮小，這種集合的 不規(guī)則程度性仍然是十分明顯的 .緊接著，英國數(shù)學(xué)家 Kenh J. Falconer 出版了《 Fractal Geometry》一本書，對分形定義做了如下比較詳盡的描述 . 集合 F 如果滿足以下條件，則認(rèn)為它是是分形的： （ 1）集合 F 具有很精細(xì)的結(jié)構(gòu) .即它在任意小的尺度之下，它總是具有復(fù)雜的細(xì)節(jié)的； （ 2）集合 F 通常具有某種自相似性特征，這種自相似性可以有時是嚴(yán)格相似的，但也可能是統(tǒng)計意義上的相似； （ 3）傳統(tǒng)意義上的的幾何語言是無法對不規(guī)則的集合 F 進(jìn)行局部與全局特征的描述的； （ 4）集 合 F 的分形維數(shù)大多部分都是大于它的拓?fù)渚S數(shù)的； 分形集合總的來說是有以下的特征的： （ 1）自相似性 .也就是說，局部和整體之間是相似的，這既包括嚴(yán)格意義上的自相似，還包括在一定的尺度范圍內(nèi)的近似意義上的自相似以及存在于統(tǒng)計意義上的自相似性 . （ 2）標(biāo)度不變性 .也就是說無論放大多少倍或者是縮小多少倍，集合的不規(guī)則特征、形態(tài)結(jié)構(gòu)及其復(fù)雜程度等是都不會發(fā)生變化的 .而且存在這種關(guān)系：具有標(biāo)度不變性特征的集合體一定具有自相似性的特征 . （ 3）分?jǐn)?shù)維 .即分形維數(shù)不是以整數(shù)表示的，而是以分?jǐn)?shù)的形式表示的，而且一般來說分形維數(shù)是大于它的拓?fù)渚S數(shù)的 .維數(shù)是空間理論和幾何學(xué)里的一個基本概念 .我們現(xiàn)在已經(jīng)習(xí)慣于歐幾里德幾何的整數(shù)維數(shù)了，比如：點(diǎn)是零維的，線是一維的，面是二維的，而體積是三維的 .在歐氏空間之中，物體被認(rèn)為是連續(xù)且光滑的，對稱的而且同質(zhì)的，因此我們通?？梢杂谜麛?shù)維對其進(jìn)行系統(tǒng)的描述 .但是對于描述分形體，這種既不規(guī)則也不光滑的對象，傳統(tǒng)的歐氏維數(shù)是幾乎無法做出回答的 .分形維數(shù)是對幾何體的不規(guī)則性程度，復(fù)雜的程度，粗糙程度等性質(zhì)的一個有效地測度 . （ 4）自放射性 .自放射變換指的是整體的各個方向的變換比 率是基本不一樣的，但是局部的隨機(jī)性與整體的確定性是同時存在的 . 最后，分形集其實(shí)可以說是這樣的一類集合體，他的局部和整體之間存在著結(jié)構(gòu)、形態(tài)等方面的自相似性，而且這種相似性是不會隨著測量尺度的變化而改變的，同時觀測尺度和相似比例之間滿足著一定的指數(shù)關(guān)系形式 . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 7 所以說，分形能夠從不同的標(biāo)度指數(shù)來描述出集合的特征，能用分形維數(shù)的概念來刻畫分形結(jié)構(gòu)的特征 . 多重分形理論 多重分形定義 多重分形 (Multifractal)，這一概念是定義在分形結(jié)構(gòu)上的，它是由多個不同的標(biāo)度 q 和標(biāo)度指數(shù) ??qh 的分形測度來組成的這樣的一個無限的集合 .多重分形理論是從集合的局部出發(fā)來進(jìn)行研究整體特征的一種方法，它在直觀上可將多重分形很形象地看作是由眾多的維數(shù)不同的單一分形進(jìn)行交錯疊加而形成的 .從幾何的角度來看，組成分形集合的許多若干個子集的標(biāo)度 q 及分形維數(shù)都是互相不相同的，多重分形也被稱為是稱多標(biāo)度分形 .可以表征多重分形的主要方法有：廣義 Hurst 指數(shù)，或者可 以使用奇異譜函數(shù) )(af .奇異譜)(af 可以定量地刻畫出來分形體在各個不同的局部條件下對應(yīng)的概率分布特征，其中奇異標(biāo)度指數(shù) a 規(guī)定了奇異性的強(qiáng)度，而 )(af 則描述了分布的稠密程度 . 多重分形過程 Mandelbrot 通過運(yùn)用增量矩的尺度特性，來定義了多重分形過程： 如果一個連續(xù)的時間過程 ??? ?TttX ?, 具有一個平穩(wěn)的增量，并且滿足： ? ? ? ? ? ? ? ? 1????????? ??? qq tqctXttXE ? （ 21） 則稱 ??tX 為多重分形過程 .其中 t? 為時間增量， T 和 Q 是實(shí)軸上的區(qū)間，它們長度非零，并且 ? ? QT ?? 1,0,0 ， ??qc 和 ??q? 均是 Q 域上的函數(shù) . 上式表示了多重分形過程的矩的一個冪律關(guān)系的性質(zhì) .函數(shù) ??q? 是多重分形過程中的尺度函數(shù)，通過運(yùn)用序列增量的矩特性，從而刻畫出來不同幅度的增量的尺度特征，進(jìn)而可以刻畫出各個不同時點(diǎn)上的分形特征 .其中，當(dāng) ??q? 為q 的線性函數(shù)時，這一過程是單分形過程，比如當(dāng) ? ? 1??Hqq? 時， ??q? 是由 H唯一決定的一個線性函數(shù)；而當(dāng) ??q? 為 q 的非線性函數(shù)時，這時就稱這一過程是多重分形的過程 . 通過對不同幅度的波動進(jìn)行冪次方處理，這就 相當(dāng)于對波動的波幅放大幾 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 8 倍或縮小幾倍 .所以，不同的 q 值對應(yīng)的尺度函數(shù) ??q? 對應(yīng)著不同的波動，從而反映出了不同程度大小的價格波動信息，而且隨著時間標(biāo)度的取值變化，還可以觀察在不同時間標(biāo)度上的價格波動信息 .總之，多重分形分析能夠更加清晰地分析研究金融市場上的不同時間的標(biāo)度，不同幅度變化的價格或者收益波動的相關(guān)特征 . 多重分形能夠定量地刻畫出十分復(fù)雜的幾何對象在不同的層次的一個分形特征，并且可以用多重分形譜的形式表達(dá)出來 .因此，我們可以 知道，通過運(yùn)用多重分形的相關(guān)理論去分析研究金融市場，能夠更準(zhǔn)確地對金融市場的波動性進(jìn)行更加細(xì)致的剖析和描述，進(jìn)而可以得到有關(guān)于金融時間序列在不同的時間標(biāo)度以及不同幅度程度的波動信息 . 廣義 Hurst 指數(shù) 對于時間序列 ??tX ，根據(jù)公式 (21)，來定義廣義 Hurst 指數(shù) ? ?qHHq? ， ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?qHqq tqctXttXE ????? 1 （ 22） 函數(shù) ??qH 描述了時間增量在 t? 下的廣義平均波動的相關(guān)信息 .特別地，當(dāng) 1?q 時， 1H 即為前面單分 形中的指數(shù)，也稱為全局 H 指數(shù)，當(dāng) ?H 時，序列表現(xiàn)持續(xù)性， ?H 時，表現(xiàn)反持續(xù)性， ?H 時，即為隨機(jī)的布朗運(yùn)動 . 廣義 Hurst 指數(shù) ??qH 與尺度函數(shù) ??q? 之間的關(guān)系為： ? ? ? ?? ?qqqH 1*1?? ? （ 23） 分形市場理論 分形時間序列 對于一個時間序列來說，只有在它受到許多等可能性事件的共同影響時才是隨機(jī)的 .而且對于一個非隨機(jī)的時間序列，構(gòu)成序列的數(shù)據(jù)之間是具有內(nèi)在相關(guān)性的，也就是說時間序列是分形的 .分形吋間序列也通常被稱為是有偏隨機(jī)的游動，曼德勃羅特（ Mandelbrot）把這種隨機(jī)游動稱為是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動 .它表示了時間序列的非隨機(jī)特征，序列具有趨勢疊加上噪聲的這樣的一種特性 .趨勢的存在也導(dǎo)致了測出的觀測值之間不是相互獨(dú)立的，這個時候，序列的觀測值就具有長記憶性的特征 . 通常來講，分形時間序列具有下列的一些特點(diǎn)： （ 1）分形時間序列具有著無限的精細(xì)結(jié)構(gòu) .當(dāng)觀測的對象，即股票收益率序 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 9 列的尺度從年收益率改變到周收益率，繼續(xù)改變到日收益率，再到分時這樣的逐漸變化時，大量結(jié)果表明，股票收益率序列的復(fù)雜細(xì)節(jié)是不會隨尺度改變而發(fā)生變化的 . （ 2） 分形時間序列具有分形維數(shù) .分形維數(shù)是描述時間序列如何填充空間的這樣的一個參數(shù) .它表征了分形幾何體的復(fù)雜程度以及粗糙程度 . （ 3）分形時間序列具有自相似性特征 .復(fù)雜分形系統(tǒng)的整體與部分以及部分與部分內(nèi)部之間的精細(xì)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)是具有相似牲的或者是具有統(tǒng)計意義上的相似性的 . 分形市場理論 Peters 在 1994 年開始將分形理論引入到了復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，提出了分形市場理論，分形市場理論是分形理論在金融市場分析研究中的一個具體運(yùn)用 . 傳統(tǒng)的有效市場理論認(rèn)為市場的收益序列具有線性、獨(dú)立以及有限 方差的這些特征，并且其分布是服從正態(tài)分布的，有效市場理論展現(xiàn)了一種理想的市場結(jié)構(gòu) .Peters 則根據(jù)非線性的觀點(diǎn)，在實(shí)際的金融市場中，提出了更符合資本市場實(shí)際的基本理論，這一理論揭示出了不同的證券市場信息接受程度和不同的投資時間尺度對不同投資者的投資決策所產(chǎn)生的不同影響，認(rèn)為資本市場都具有分形結(jié)構(gòu)的特征，其收益率的分布也并不是服從正態(tài)分布的，而是具有明顯的尖峰厚尾特征，沒有方差或方差無限大 . 由于在資本市場中，存在許多偏好不同的投資者，加上投資者的理性有限，投資者對信息的理解能力互不相同，導(dǎo)致投資者做出不同 的投資決策 .由于上述實(shí)際資本市場的種種因素，決定了資產(chǎn)價格的變化不是隨機(jī)游動的，而是具有持續(xù)相關(guān)性的 . 分形市場的特征有： （ 1） 標(biāo)度不變性，也就是指不同的時間標(biāo)度下具有相似的統(tǒng)計規(guī)律 . （ 2） 長程相關(guān)性，即過去的相關(guān)信息對現(xiàn)在以及未來的事件不是相互獨(dú)立的，而且是能夠產(chǎn)生著長期性影響的 . （ 3） 如果預(yù)測的時間越長，那么預(yù)測的結(jié)果是越不可信的，不能夠進(jìn)行長期準(zhǔn)確地預(yù)測 . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 10 3 幾種分形方法理論研究 單分形方法 R/S 方法分析 R/S 分析法，即重標(biāo)極差分析法，它廣泛用于研究時間序列的分形特征和分 析長期記憶過程，該方法最初是英國水文學(xué)家赫斯特 (Hurst)在 1951 年研究尼羅河水壩工程時經(jīng)過研究提出來的，他發(fā)現(xiàn)了一個更一般