【正文】 qqh ~ 的圖形 以上結(jié)果表示，對于（ e）、（ g）圖，不同的 q 值，波動函數(shù) ??sFq 的波動程度也是在改變的，而且，對于每一個給定的 q 值，所對應的 Hurst 指數(shù) （即直線的斜率）是各不相同的 .（ f）、（ h）圖則給出了 Hurst 指數(shù)隨著 q 的變化而變化的關系圖 .這就表明，瀘深股市都符合多重分形特征 . 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 17 5 滬深股市的市場有效性、市場風險關系的分析 市場有效性分析與比較 相關理論 對于金融市場的分形特征，我們大多時候都采用廣義 Hurst 指數(shù)來測量金融市場的有效性 .由于廣義 Hurst 指數(shù) ??qh 與 q 的取值有關，于是我們采用 h? 來定量比較市場效率問題 . ? ? ? ?? ? ?????? HHh （ 51） 當 ??h 時，表明市場是最有效的； h? 越接近 ，則表示市場是越有 效的，相反 h? 越遠離 時，表明市場是越無效的 . 由于現(xiàn)實金融市場的種種因素的限制，導致 h? 不可能取 ，也就是現(xiàn)實金融市場中，是不可能會有市場是完全有效的，只能比較不同市場之間的相對有效程度 .所以，針對金融市場的分形特征，是可以利用廣義 Hurst 指數(shù)的 h? 距離 的遠近程度來衡量有效性的程度的 . 具體來講就是，如果某市場是相對較有效的，則該市場的廣義 Hurst 指數(shù)的 h? 更趨近于 ，而如果 h? 離 越遠的話，這就表明這個市場是越無效的 . 有效性分析 下面分別是上證指數(shù)和深證綜指的 ? ? qqh ~ 的關系圖 (a) (b) 圖 51 上證綜指 (a)和深證成指 (b) ? ? qqh ~ 的關系圖 以上結(jié) 果顯 示， 上海 證券市 場的 ??h ，而 深證 證券市 場的 ??h ，因此 21 hh ??? ， 1h? 更接近 ，因此我們認為，上海證券市場 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 18 是較有效的 .同時，圖（ a）中知， q=2 時， ? ? ?h ，圖（ b）中， ? ? ?h ，此時的 ??2h 即指 Hurst 指數(shù)，且 ? ? ? ?22 21 hh ? ， ??21h 更接近 ，這里也可以得出上海市場是比深證市場更有效的 . 市場風險分析與比較 多重分形譜 用于描述金融時間序列多重分形特征的方法，最常用的是用多重分形譜??af .多重分形譜是用來描述奇異指數(shù)變化的這樣一種圖形，如果序列式單分形特征，則只是通過唯一的一個奇異指數(shù)來刻畫 時間序列在不同的時刻以及不同的時間尺度上的分形特征；如果序列是多重分形的，則是通過不斷改變的奇異指數(shù) a 來衡量整個復雜過程的一個局部規(guī)則特性，來進行描述價格波動在不同時間區(qū)間的的一種不均勻性 . 式子 ??af 中，其中 a 指的是奇異指數(shù)，它是用來描述復雜系統(tǒng)在中各個區(qū)間不同的奇異程度，它的取值范圍的大小則可以表示出不同的奇異強度分布范圍的大小 . ??af 則是為多重分形譜，它主要用于表征奇異指數(shù)的變化程度 .如果研究的時間序列是單分形的，則函數(shù) ??af 的值是一定的，那么如果時間序列是多重分形時，則此時函數(shù) ??af 的圖像呈現(xiàn)的是單峰鐘形圖形 . 多重分形譜的寬度 a? 則刻畫出了資產(chǎn)價格的漲跌幅度大小，它的大小則可以定量表示出金融市場中的波動強度，同時可以用來刻畫市場風險的大小 .如果a? 越大，則表示時間序列分布是越不均勻的，這也就預示著該多重分形蘊含的波動程度越大，則該市場的風險就會越大 .如果 0??a ，則表示市場處于完全均勻分布的狀況，不過這只是理想狀態(tài)而已 . 風險分析 下面是對兩市場的多重分形 譜的繪制圖形： 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 19 圖 51 上海證券市場的多重分形譜 (d) 圖 52 深證證券市場的多重分形譜 從上圖可以看出，上海證券市場的多重分形譜寬度 ??? ，深證證券市場的多重分形譜寬度 ??? ，由此知， 21 ?? ??? ，但差別不大，故上海證券市場的風險是略大于深證證券市場的風險的 . 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 20 6 總結(jié)與展望 研究成果總結(jié) 本文對分形及多重分形理論進行了系統(tǒng)的研究，對幾種多重分形方法的優(yōu)劣進行了分析 .由于 MFDMA 方法的估計效果較好，在分析多重分形時釆用了該方法進行分析 .并且選用了具有代表性的上證綜指和深證成指 2020 年 5 月 10日至 2020 年 5 月 22 日 每日的收盤價格（分別為 3160 個數(shù)據(jù)）作為樣本，進行了分析，以此探討了上海金融市場和深圳金融市場的多重分形特征 .主要研究成果： （ 1）通過對兩時間序列進行基本的統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)了上證綜指和證成指的收益率序列的分布都不服從正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾的特征的 . （ 2）通過 R/S 和 DFA 分析方法計算得到的上證綜指和深證成指收益率序列的 Hurst 指數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩時間序列都符合分形特征，而且兩種時間序列波動均呈現(xiàn)出持續(xù)性的特征，并且深證證券市場的持續(xù)性強度較大 . （ 3）接著通過進一步運用 MFDFA 方法計算上證綜指和深證成指的收益率序列的廣義 Hurst 指數(shù) ??qh ，發(fā)現(xiàn)了廣 義 Hurst 指數(shù) ??qh 是隨著 q 值的變化而改變的，說明，兩時間序列符合多重分形特征 . （ 4）通過計算并比較上證綜指和深證成指的收益率序列的 h? 的大小，得出上海市場是比深證市場更有效的 . （ 5）通過計算并比較上證綜指和深證成指的收益率序列的多重分形譜寬度?? 的大小，得出上海證券 市場的風險是略大于深證證券市場的風險的 . 研究展望 盡管本文得出了一些研究成果，但是這些也只能算得上多重分形的研究中的很小的一部分，不管是在理論還是在實踐方面都是需要進一步的研究 . （ 1） 本文只是對股指的日收益率序列做了分析，而對其他的時間間隔的收益率序列，比如每周數(shù)據(jù)、每月數(shù)據(jù)等的多重分形結(jié)構(gòu)以及它們之間的關系還有待進一步研究 . （ 2） 本文只是用 R/S、 DFA、 MFDFA 三種方法對兩時間序列進行分析，而沒有運用其他一些方法，不夠廣泛 . （ 3） 如何利用廣義 Hurst 指數(shù)、多重分形譜等多重分形的特性對金融市場的收益率 進行建模和預測，是多重分形分析研究的一個發(fā)展方向，需進一步進行探討 . 參考文獻 [1] Mandelbrot B B. The fractal geometry of nature [M].New York: W. H. Freeman and Company, 1977, 211321. [2] Przekota G. Estimation and Interpretation of Hurst39。 stock market efficiency。 金融時間序列的多重分形分析 MULTIFRACTAL ANALYSIS OF FINANCIAL TIME SERIES 指 導 教 師： 申請學位級別：學 士 論文提交日期： 2020 年 6 月 12 日 摘 要 有效市場假說 (EMH)是現(xiàn)代金融市場的基礎理論，該理論認為市場的價格反映了市場的全部信息，市場價格的波動之間相互獨立而且不可預測，收益率服從隨機游走，收益率分布服從正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布 .但是，現(xiàn)實中的種種限 制因素決定著這一傳統(tǒng)的金融理論有著很大的局限性，實際的資本市場并不是傳統(tǒng)理論所描述的線性系統(tǒng)，而是一個非線性的系統(tǒng)，這也意味著分形理論開始應用在金融市場 . 分形理論則認為金融市場具有明顯的分形結(jié)構(gòu)和尖峰厚尾的分布特征，金融時間序列在一定的標度范圍內(nèi)有著持續(xù)性與反持續(xù)性的特征，而且不同幅度的波動能夠表現(xiàn)出多重分形特征 .分形理論比有效市場理論更能有效揭示金融市場的波動本質(zhì)，同時也能更有效地揭示出金融市場的基本規(guī)律 . 本文選取上證綜指（上海證券綜合指數(shù)）和深證成指（深圳證券成分指數(shù)）2020 年 1 月 5 日至 2020 年 5 月 22 日的每日收盤價的股指收益數(shù)據(jù)位樣本，分別采取 R/S、 DFA、 MFDFA 方法對我國股市的分形及多重分形特征進行實證研究與分析 .主要驗證了兩時間序列的分形及多重分形特征；分析比較了兩時間序列的市場有效性特征，通過計算并比較 h? 的大小，得出了上海證券市場比深證證券市場有效；分析比較了兩時間序列的市場風險，通過計算并比較多重分形譜的寬度 ?? ，得出了 上海證券市場存在的風險比深證證券市場的要大 . 關鍵詞： 分形； 多重分形； 廣義 Hurst 指數(shù)；市場有效性； 市場風險 ABSTRACT Efficient Market Hypothesis (EMH) is the basis of modern finance theory, the main idea of EMH is that the financial market prices presents all information of market, fluctuation of market price are not only independent but also unpredictable, the returns follow a random walk hypothesis, and the distributions of the returns is normal or logarithm normal distribution. Yet many abnormal financial visions in reality means that the traditional financial theories have great limitation, it shows that the actual capital market is not a linear system which as the traditional theory described, but a nonlinear system. This also means the appearance and development of fractal theory. The basic view of fractal theory is that the financial market has obvious fractal structure and fat tail characteristics. The financial time series is persistent and anti persistence in a certain scale, different amplitude fluctuations can show multi fractal characteristics. So the fractal theory can reveal the volatility nature more accurately than that of traditional capital market theory, and can effectively reveal basic law of the finance market. This thesis chooses the stock return data on the day closing price between January 5, 2020 to May 22, 2020 of the Shanghai Stock Exchange Composite Index and the Partial Index of Shenzhen Stock Market as a sample. And adopt R/S, DFA, MFDFA fractal method doing empirical research and analysis of our country stock market and the multi fractal characteristics. The main work includes the validation of two time series fract