【正文】 以下兩種進(jìn)行：通過指令wavread直接使用音頻名稱導(dǎo)入所需音頻信號(hào)；通過MATLAB其本身介面下的導(dǎo)入文件選項(xiàng)導(dǎo)入音頻信號(hào)。以下就單獨(dú)介紹下各種方法及音的導(dǎo)入在MATLAB下是如何具體實(shí)現(xiàn)過程。4 MATLAB具體音頻導(dǎo)入手段及各種方法具體實(shí)現(xiàn)過程由于在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程中，我們需要通過運(yùn)用不同的計(jì)算方法來對(duì)于分形維數(shù)的計(jì)算并且實(shí)現(xiàn)這些計(jì)算方法的前提便是如何將音頻正確的導(dǎo)入到MATLAB程序中。用這種方法確定系數(shù)的方法稱為最小二乘法。因偏差的平方和最小可以保證每個(gè)偏差都不會(huì)很大。為了改進(jìn)這一缺陷,就考慮用來代替。記它反映了用直線來描述,時(shí),計(jì)算值與實(shí)際值產(chǎn)生的偏差。如果在一直線上，可以認(rèn)為變量之間的關(guān)系為。假定實(shí)驗(yàn)測得變量之間的個(gè)數(shù)據(jù)則在平面上，可以得到個(gè)點(diǎn),這種圖形稱為“散點(diǎn)圖”，從圖中可以粗略看出這些點(diǎn)大致散落在某直線近旁,我們認(rèn)為與之間近似為一線性函數(shù),下面介紹求解步驟。最小二乘法可以用來處理一組數(shù)據(jù)，可以從一組測定的數(shù)據(jù)中尋求變量之間的依賴關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系稱為經(jīng)驗(yàn)公式。這和將譜面中所有音符都節(jié)奏長度歸一化所帶來的效果相同或相近，我們將在后文進(jìn)行具體的計(jì)算。在本次畢業(yè)設(shè)計(jì)中，主要的論題是分形維數(shù)是否能夠反映音樂所表達(dá)的感情，但是在通過樂譜法計(jì)算的過程中并沒有具體的將樂譜中所有的音符節(jié)奏長度歸一化，而音樂作品的節(jié)奏對(duì)于在譜面的計(jì)算過程之中是否會(huì)帶來影響也是需要探討的問題之一。在后文我們會(huì)對(duì)于這個(gè)問題通過整張樂譜我們將進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)據(jù)計(jì)算及分析。但是，如果不按照節(jié)奏繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算的話經(jīng)過 當(dāng)和音節(jié)奏不同時(shí)采取不同位置進(jìn)行計(jì)算統(tǒng)計(jì)及計(jì)算以后會(huì)對(duì)最終的結(jié)果產(chǎn)生多大的影響也是我們需要知道的。在后文我們會(huì)對(duì)于這個(gè)問題通過整張樂譜我們將進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)據(jù)計(jì)算及分析。而與其他可能產(chǎn)生誤差比較的話這類的誤差可能是最無法避免的。 和音數(shù)量發(fā)生變化時(shí)計(jì)算不同位置的音程由于在一部音樂作品中所出現(xiàn)的所有和音不可能如上述所說的如此標(biāo)準(zhǔn)化，例如當(dāng)前一個(gè)和音是由2個(gè)音合成，而后一個(gè)和音則是由3個(gè)音，這時(shí)便出現(xiàn)了疑問，在出現(xiàn)這種不成倍數(shù)的和音變化時(shí)如何計(jì)算音程差以及其中產(chǎn)生的不同數(shù)值會(huì)對(duì)最終計(jì)算出的結(jié)果會(huì)產(chǎn)生多大的影響。并對(duì)其樂譜中的每兩個(gè)音符計(jì)算其音程，并用不同的和音計(jì)算方式再次進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。但是在其他的情況之下可能會(huì)難以分辨，因此在進(jìn)行此項(xiàng)誤差的計(jì)算也與之前所描述的對(duì)于調(diào)號(hào)誤差的計(jì)算方法，分別統(tǒng)計(jì)根據(jù)相同位置和音計(jì)算的音程差與交叉位置和音所計(jì)算的音程差進(jìn)行相互間的比較如下圖所示，并計(jì)算出兩者的分形維數(shù)，而最終算出其二者的誤差。所謂和音就是指同時(shí)發(fā)響的若干個(gè)音節(jié)，在任何的一個(gè)音樂作品中，必定有其存在，但是在對(duì)于其音程計(jì)算時(shí)也是相當(dāng)棘手的。(a)(b) 樂譜截取部分統(tǒng)計(jì)a. 未改動(dòng) 以下就具體數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)： 示例樂譜未改動(dòng)音程統(tǒng)計(jì)音程i出現(xiàn)次數(shù)f出現(xiàn)概率f%012123842587291101111291總計(jì)37 示例樂譜去除調(diào)號(hào)后音程統(tǒng)計(jì)音程i出現(xiàn)次數(shù)f出現(xiàn)概率f%0111211384257617291101111291總計(jì)37根據(jù)所統(tǒng)計(jì)出所有音程i所出現(xiàn)的概率并求取其概率及音程i的對(duì)數(shù)，經(jīng)過線性擬合，得到下圖的直線()：(a)(b) 樂譜音程i與概率f對(duì)數(shù)關(guān)系圖a. 改動(dòng)前 通過計(jì)算這兩條直線的斜率，我們可以得出這兩者的分形維數(shù)分別是D(a)=,D(b)=根據(jù)誤差公式[21]得出其誤差為： ()/=%由于選取的樂曲并不是通過整張樂譜計(jì)算所以得到的數(shù)值可能會(huì)存在一定的局部性，而具體的數(shù)值也將在后文中通過此種方法進(jìn)行整張樂譜的計(jì)算以確定其誤差。例如我們依舊選取樂譜中的一小部分。雖然能夠通過多次重復(fù)計(jì)算以減少這種人為誤差的產(chǎn)生概率，但是在對(duì)樂譜進(jìn)行計(jì)算音程差的過程中還是比較耗時(shí)的。在進(jìn)行分形計(jì)算時(shí)，如同調(diào)號(hào)上所標(biāo)注的音當(dāng)遇到音樂作品中位置相同或相差一個(gè)或兩個(gè)八度時(shí)，則如同調(diào)號(hào)中升或是降一個(gè)半音。按照調(diào)號(hào)來分的話整個(gè)樂譜可以被分為三大類 譜號(hào)調(diào)號(hào)示圖——C大調(diào)，升音調(diào)，降音調(diào)。以下我們就在樂譜中出現(xiàn)的各種可能會(huì)引起誤差的情況做一個(gè)具體的介紹。 樂譜法的主要誤差情況及疑問 由于在通過樂譜計(jì)算分形維數(shù)的時(shí)候，能夠避免前兩種方法在選取參數(shù)又或是對(duì)于音頻信號(hào)自身所帶來的影響。但是在統(tǒng)計(jì)的過程中存在著相對(duì)應(yīng)人為誤差，而那些誤差基本上是出自于對(duì)于譜面上的不同音程計(jì)算或是在計(jì)算過程中造成的計(jì)算偏差。 樂譜法計(jì)算過程中的誤差 在進(jìn)行樂譜法的統(tǒng)計(jì)計(jì)算時(shí)，和上述的兩種方法不同，盒維數(shù)法和功率譜密度法的誤差主要是由在其兩者參數(shù)的選取以及對(duì)使用的音頻信號(hào)其本身存在的干擾中產(chǎn)生的。 示例樂譜通過統(tǒng)計(jì)各個(gè)音符之間的音程差，我們能得到以下的數(shù)據(jù)： 示例樂譜具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)音程i出現(xiàn)次數(shù)f出現(xiàn)概率f%2123471161總計(jì)18根據(jù)所統(tǒng)計(jì)出所有音程i所出現(xiàn)的概率并求取其概率及音程i的對(duì)數(shù)，經(jīng)過線性擬合，得到下圖的直線()，通過計(jì)算出其直線斜 音程i與概率f對(duì)數(shù)關(guān)系圖=。我們通過一個(gè)具體的示例來進(jìn)行對(duì)樂譜法的說明。而當(dāng)譜面上存在升降調(diào)符號(hào)時(shí)便需在原有音高的基礎(chǔ)之上增加或是減去一個(gè)半音。從簡譜角度來說即1與2之間存在2個(gè)半音,2與3之間存在2個(gè)半音，3與4之間存在1個(gè)半音，4與5之間存在2個(gè)半音，5與6之間存在2個(gè)半音，6與7之間存在2個(gè)半音，而7與1之間又存在一個(gè)半音，這便是一個(gè)完整音階各個(gè)音之間音高的差距。在平均律中，半音是構(gòu)成音樂的最小單位。以下就具體對(duì)于音階中各個(gè)音高之間差距做具體的陳述。它是一種量度，其大小是人為規(guī)定的。以簡譜為例，從1到1，或從2到2都是一度，從1到3或2到4都是三度，從1到5是五度。樂譜法主要是通過統(tǒng)計(jì)計(jì)算音樂作品所有音符間的音高差——音程，并且計(jì)算每個(gè)音程在整個(gè)作品中所占的百分比。其中，C 為比例系數(shù)，β則為圖像的斜率。而就定義上來看，功率譜密度也可以理解為在時(shí)間序列上某個(gè)特定的頻率變化所出現(xiàn)的概率。例如原有的數(shù)據(jù)列如果為1025，則計(jì)算得到的數(shù)據(jù)的誤差應(yīng)在代入網(wǎng)格總數(shù)為211與212兩次計(jì)算結(jié)果后得到的誤差。由于在程序中所使用的盒維數(shù)法是將音頻信號(hào)進(jìn)行重采樣及再次構(gòu)成，所以當(dāng)對(duì)于全部網(wǎng)格進(jìn)行取值時(shí)要盡可能的使重采樣的信號(hào)接近原信號(hào)，即在數(shù)據(jù)長度最貼近的范圍內(nèi)取值。 示例波形圖，波形所占有的網(wǎng)格數(shù)為5，而全部的網(wǎng)格數(shù)為16，：D=log10(16)/log10(5)=以上便是盒維數(shù)法的簡單算法，但是在正常的算法下需要進(jìn)行進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格，以求取更精確的數(shù)值。并通過計(jì)算全部的網(wǎng)格數(shù)e以及波形圖經(jīng)過的網(wǎng)格數(shù)N(e)，并有以下關(guān)系式：………………………………………()在上述的文章中我們已經(jīng)討論過對(duì)于一條閉合曲線而言，其歐氏維數(shù)為1,對(duì)于平面來說其維數(shù)為2，而其分形維數(shù)應(yīng)當(dāng)是處于1至2之間的數(shù)值。如果將已經(jīng)數(shù)據(jù)化的音頻信號(hào)（即數(shù)列）表示在圖像上，我們將得到音頻信號(hào)的波形圖二維圖像。曲線在的某一取值區(qū)間內(nèi)服從線性關(guān)系，可以用最小二乘法求得曲線的斜率，該斜率即為維數(shù)估計(jì)值。實(shí)際計(jì)算中最小的是有約束的，一般選取采樣周期的整數(shù)倍。第二步：選擇尺度，使其緩慢的接近于0，即比值趨近于1。在應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，分形集合只能由離散的點(diǎn)構(gòu)成，不能無限減小，必須充分考慮采樣點(diǎn)的采樣周期。 盒維數(shù)法 盒維數(shù)法計(jì)算過程 在諸多的分維計(jì)算方法中，盒分維可以比較方便的從數(shù)學(xué)上算得或從實(shí)驗(yàn)中估計(jì)出，它的物理概念明確，且應(yīng)用最廣。 功率譜密度法計(jì)算誤差上述有關(guān)于功率譜密度法在計(jì)算分形維數(shù)的同時(shí)需要對(duì)于信號(hào)進(jìn)行一定范圍的濾波，在計(jì)算時(shí)我們選取的是66Hz～1056Hz范圍內(nèi)。并且根據(jù)之前所提及到的公式： …………………………………………………………()。 求取對(duì)數(shù)后的功率譜密度波形圖 將得到圖像的數(shù)據(jù)通過最小二乘法進(jìn)行線性擬合，得到的圖像。 白噪聲經(jīng)過FFT算法后得出的功率譜密度波形圖 再根據(jù)之前得到的功率譜密度與頻率間的關(guān)系根據(jù)下列公式：…………………………………………………………()即對(duì)于求取出的功率譜密度以及頻率的結(jié)果求取對(duì)數(shù)，再對(duì)于其圖像求取斜率。根據(jù)上述我們所提及到的白噪音的生成方程： ……………………………………………………()生成的波形我們可以得到以下圖像()。在本畢業(yè)設(shè)計(jì)中，對(duì)于這個(gè)信號(hào)的濾波范圍選取的主要依據(jù)為在通過使用樂譜計(jì)算時(shí)，我們通?？梢园l(fā)現(xiàn)樂譜中的經(jīng)常出現(xiàn)音高的頻率(即從通常音階開始各取上下2個(gè)八度)，通過對(duì)照音高及其頻率表所示，得到其濾波的頻率為66Hz～1056Hz。 在20世紀(jì)70年代時(shí)，沃斯和科拉克在其實(shí)驗(yàn)中證明，在日常生活之中不單單是音樂方面，在人類的日常生活中的日常交流等的功率譜密度S(f)與f都是包含著線性關(guān)系的，而兩者之間的關(guān)系可以被描述為以下關(guān)系[18]： …………………………………………………………()式中β是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)，即是一個(gè)音頻信號(hào)分形維數(shù)的一個(gè)具體體現(xiàn)，所得到的β與分形維數(shù)D根據(jù)Dmowska[19]的結(jié)果存在以下關(guān)系： …………………………………………………………()在其運(yùn)算的過程中但是在求取信號(hào)的同時(shí)由于在音樂作品和普通的聲音信號(hào)有所區(qū)別，其高頻及低頻段會(huì)對(duì)整體的信號(hào)產(chǎn)生影響。它定義了信號(hào)或者時(shí)間序列的功率如何隨頻率分布。由于所涉及到的音頻信號(hào)的信息量過大，通常誤差較小的關(guān)聯(lián)維數(shù)法在這里不能適用。在實(shí)際應(yīng)用中，這些方法主要有：盒維數(shù)法、增量方差法、功率譜法、離散分形高斯噪聲法、質(zhì)量分布法、面積法（也稱毯子覆蓋法）、統(tǒng)計(jì)參數(shù)法和關(guān)聯(lián)維數(shù)法[16]。3 分形維數(shù)的求解方法 分維數(shù)是定量表示分形狀態(tài)或現(xiàn)象的最基本的量。無規(guī)分形沒有嚴(yán)格意義上的自相似形式性質(zhì)，表現(xiàn)形式也十分復(fù)雜，因此只是在統(tǒng)計(jì)意義上的自相似的。從自相似的角度來說，它們既不是音樂作品的最高層次——整體系統(tǒng)，也不是音樂作品的最低層次——初始條件。 音樂作品中的規(guī)則分形最典型的例子莫過于“主題——中段——主題”這種類型的再現(xiàn)單三部曲式結(jié)構(gòu)了就如后文我們會(huì)提到的《糖果仙子之舞》，即高一級(jí)層次（有時(shí)它本身又是整體系統(tǒng)的一個(gè)低級(jí)層次）可劃分為三個(gè)低級(jí)層次，即形態(tài)相同的部分，它的三個(gè)部分具有同一結(jié)構(gòu)形式，其發(fā)展和演化在空間序列軌道有相似的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，在時(shí)間序列軌道又有周期的運(yùn)動(dòng)過程。例如著名的我國音樂作品《梁?！吩诒憩F(xiàn)梁山伯與祝英臺(tái)化蝶的一段中，其第8小節(jié)與其第17小節(jié)在其高音部分的旋律是一模一樣的，其低音的節(jié)奏以及旋律發(fā)生了變化即在原有的基礎(chǔ)上產(chǎn)生了一定量的變化。在空間序列軌道上有相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但在時(shí)間序列軌道上沒有周期的而只有準(zhǔn)周期的或非周期的運(yùn)動(dòng)過程，或者在時(shí)間序列軌道上沒有相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就構(gòu)成無規(guī)分形。最低層次可以小到動(dòng)機(jī)大到主題（陳述手段），小到樂匯大到樂段（結(jié)構(gòu)單位）不等。最低層次可以不具備這樣的條件。在這里，最低層次與初始條件一般情況下具有同等的意義，從局部與整體的自相似性來說，二者是同義語。我們可以得出這樣一個(gè)結(jié)論對(duì)于一條不閉合的曲線來說，其分形維數(shù)的范圍應(yīng)當(dāng)處于1(線段)與2(平面)之間。當(dāng)n趨于無窮的時(shí)候則其長度也趨近于無窮?？坪涨€的設(shè)想是從一個(gè)線段開始，將其三等分，用一個(gè)等邊三角形替代第一步劃分三等分的中間部分，然后在每條直線上繼續(xù)重復(fù)替代部分的過程，而科赫曲線便是這種過程無限重復(fù)的極限結(jié)果。科赫曲線是一個(gè)數(shù)學(xué)曲線，也是早期被描述的一種分形曲線。但若將式（）作為維數(shù)的定義，對(duì)其不加以取整數(shù)的限制，我們則可將之推廣定義的維數(shù)稱為分形維數(shù)，用大寫字母D表示。不難驗(yàn)證，對(duì)于歐幾里得幾何中一切普通的幾何對(duì)象，這個(gè)簡單關(guān)系都是成立的。類似地，在一個(gè)體積為1的正方體內(nèi)，以每一個(gè)邊長的1/3長為邊，可將原正方體分成27個(gè)小正方體，每個(gè)體積為原來的(1/3)3=1/27。我們可以從歐幾里得幾何維數(shù)定義作進(jìn)一步推廣[13]。 分形基本概念在平直的歐幾里得空間中，維數(shù)是自然的、平面上的點(diǎn)由兩個(gè)坐標(biāo)決定，一個(gè)長方體有長、寬、高三個(gè)尺寸，它們分別是二維和三維的幾何對(duì)象。這里的“某種方式”是指“自相似”。一個(gè)系統(tǒng)的自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間和時(shí)間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。在此基礎(chǔ)上，形成了研究分形性質(zhì)及其應(yīng)用的科學(xué)，稱為分形理論。自然界中存在許多類似海岸線的幾何對(duì)象，而分形則描述了自然界中這種傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無規(guī)則的幾何對(duì)象。因?yàn)楹０毒€是具有不同層次的不規(guī)則的十分復(fù)雜的幾何對(duì)象，即每一次測量都包含比前一次更小的細(xì)節(jié)。為了測量海岸線長度，可以選取不同的測量單位[11]。眾所周知，海岸線是陸地和海洋的交界線。分形的概念的是1975年美國數(shù)學(xué)家曼德布羅特(elbrot)首先提出的。早在20世紀(jì)70年代中期以前， Mandelbrot一直使用fractional一詞來表示他的分形思想，取拉丁詞之頭，擷英文之尾所合成的fractal，本意是不規(guī)則的、破碎的、分?jǐn)?shù)的。而非歐幾何的出現(xiàn)，引進(jìn)了描繪宇宙現(xiàn)象的新對(duì)象，分形就是這樣的一種對(duì)象。許)[10]又從理論上證明了古典音樂中旋律的進(jìn)行也是分形的。然而只要有人類的存在的地方便會(huì)有音樂的產(chǎn)生，這就說明音樂必定有著某種屬性，它是一種與時(shí)空無關(guān)的非民族性的屬性，即音樂的自然屬性[8]。其相關(guān)性也會(huì)隨之有一定增加。 通過將粉噪音的音頻波形進(jìn)行FFT(快速傅里葉變化)算法計(jì)算得到其功率譜密度圖像： 粉噪音通過FFT算法得到的圖像 根據(jù)其音頻波形進(jìn)行FFT算法得到圖像()，但其數(shù)值比褐