【正文】 作為起點，然后以此點為中心畫一個半徑為的圓，把此圓與曲線最初相交的點和起點用直線連結(jié)起來，再把此交點重新看作起點，以后反復(fù)進行同樣的操作,如下圖24。由量綱分析所以有 若把單變量的時間序列看成是一條直線，它應(yīng)該是一維的，頻率的波動是在直線上疊加不均勻的漲落造成的，故其拓?fù)渚S，分形維數(shù)和的關(guān)系為對的單變量時間序列，因此有 (28)根據(jù)式(28)可通過功率譜指數(shù)求得分形維數(shù)。應(yīng)此，如果說某變動是分形，那么也就等于說即使變換截止頻率也不改變頻譜的形狀，這等同于：即使進行觀測尺度的變換，的波譜形狀也不變，具有這種性質(zhì)的頻譜只限于下述冪型 (27)其中稱為功率譜指數(shù)。從頻譜的角度來看，所謂改變觀察的尺度就是改變截止頻率。假如有 則此冪函數(shù)指數(shù)與分形維數(shù)的關(guān)系如下式中d為歐氏空間維數(shù)。如果把在空間隨機分布的某量在坐標(biāo)處的密度記為，則相關(guān)函數(shù)可用下式定義 (25)上式中符號〈 〉表示平均，當(dāng)分布為分形時，相關(guān)函數(shù)則為冪型。本文主要用方法(3)來進行分形維數(shù)的測量，以下簡要介紹。從分維的數(shù)學(xué)定義出發(fā)，可以確定分形維數(shù)的測量方法。這不難理解，小于1公里的云朵，更多受地形地貌的影響，大于1000公里時，地球曲率開始起作用。對于現(xiàn)實中存在的物體，說它具有分形的特性，那么在它成立的尺度內(nèi)，必然存在上限和下限，只有在某種被限定的觀察尺度的范圍內(nèi)，其相似性才成立，分形維數(shù)所具有的意義也僅在此范圍內(nèi)。 分形維數(shù)的測定值得強調(diào)的是，在現(xiàn)實世界中，分形維數(shù)的定義范圍，是客觀存在的，既存在一個上限和下限。但這是實驗性定義，在實際應(yīng)用中也無可操作性。它定量地表示了Koch曲線的復(fù)雜程度。Koch曲線是由把全體縮小成1/3的四個相似形構(gòu)成的，其基本單元由4等長的線段構(gòu)成，每段長度為1/3，即。圖23 Koch曲線[57]Fig. 23 Koch curve以瑞典數(shù)學(xué)家Von Koch在1904年首次提出的Koch曲線為例，如圖23。X2，A1∈H(X1)，如果A2 = q(A1)∈H(X2)，則dimHA1=dimHA2dimBA1=dimB A2集合的盒維數(shù)雖然有其缺陷，但因其計算簡單、易于處理而被經(jīng)常使用。 dimBA 163。性質(zhì)27 設(shè)A∈H(X)，其中(X, r)是完備度量空間，令dn = crn，0r1，c0，則當(dāng)定義26中的盒維數(shù)存在時，有dimBA = 。性質(zhì)27 設(shè)A為可數(shù)點集，則dimHA = 0。B，則dimH A≤dimHB。若A是開集，則dimH A = n。性質(zhì)24 設(shè)A204。定義25[3] 設(shè)F是(Rn, rE)的有限子集，由定理21所決定的唯一實數(shù)值so 稱為集F的Hausdorff維數(shù)。性質(zhì)23 Hausdorff測度是平移和旋轉(zhuǎn)不變的。Area(F)；而H3(F)=p/6180。)，相差一常數(shù)倍。H s為一測度. 它推廣了長度、面積和體積等概念。記：H s(F ) = Hds(F) (24)對Rn中的任意子集F，這個極限都存在，但極限值可以是(并且通常是)0或165。當(dāng)d減少時，式(23)中能覆蓋F的集類是減少的，所以下確界Hds(F)隨著d減少不減，且當(dāng)d174。定義24[3] 設(shè)F為完備度量空間(Rn, rE)的Borel子集，s206。Ui，且對任一i，都有0|Ui|163。(1) Hausdorff測度定義23[3] 如果U為n維歐氏空間Rn中任意非空子集，U的直徑|U| sup {|xy| : x, y206。如果，結(jié)果是；如果，則得到0。所得的方塊數(shù)就是它的面積（以為單位），如果用標(biāo)準(zhǔn)長度去測面積，那就會得到無窮大；相反，用標(biāo)準(zhǔn)立體去測沒有體積的平面，結(jié)果是零。維數(shù)和測量有密切關(guān)系。大部分維數(shù)的定義都是基于“用尺度進行量度”這樣的設(shè)想，忽略尺寸小于的不規(guī)則性，并察看當(dāng)時，這些測量值的變化。1919年，Hausdorff提出維數(shù)可以是分?jǐn)?shù)即分?jǐn)?shù)維，并定義了分?jǐn)?shù)維的Hausdorff測度。定義22[3] 設(shè)A是(Rn, rE)上的有界子集，如果A可以分成N(1)個相等且與A相似的部分，則稱A為自相似集. 如果每部分與A的相似比為r，則稱Ds為自相似集A的相似維數(shù)，記為dimsA = Ds，并有Ds = 性質(zhì)22 對(Rn, rE)上的自相似集A，dimsA = dimHA。為此，提出了不少有關(guān)維數(shù)的定義，其中最易理解且與分形維數(shù)有密切關(guān)系的是相似維數(shù) (Similarity Dimension)。也就是說，如果從自由度角度來考慮，也可把n 維空間看成一維，這樣就產(chǎn)生了矛盾。此曲線屬于自相似，處處都不能微分，是分形的一個例子，被稱為非規(guī)整幾何圖形。 圖22 Peano曲線Fig. 22 Peano curvePeano曲線可定義為圖中折線的極限。長度、面積和體積的量綱數(shù)分別等于幾何圖形存在的空間的維數(shù)，分別是長度單位的和3次冪。歐氏幾何學(xué)是以規(guī)整幾何圖形為其研究對象。所有的分形都具有一個重要的特征：可通過一個特征數(shù)，即分形維數(shù)測定其不平度，復(fù)雜性和卷積度。 分形維數(shù)定量描述分形系統(tǒng)的參數(shù)是分形維數(shù)。但是必須看清在大、小兩方面客觀存在的特征尺度。H(X) (22) 分形的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與維數(shù)的測量方法分形和分維同其他數(shù)學(xué)概念一樣，都是從客觀存在的數(shù)和形的關(guān)系中抽象出來的。n=1收斂到x} (21)定理22[3] 設(shè)w：X→X是完備度量空間(X, r)上具有壓縮比c的壓縮映射，則由式(22)定義的W：H(X)→H(X)是(H(X), hr)上具有壓縮比c的壓縮映射. W(B) = {w(x)：x206。X：存在柯西序列{xn206。H(X)}165。 max{hr(A, C), hr(B, D)}定理21 (分形空間的完備性)[3] 設(shè)(X, r)是完備度量空間，則(H(X), hr)是完備度量空間，稱為分形空間。性質(zhì)21 設(shè)(X, r)是完備度量空間，對任意的A, B, C, D206。Bd且B206。X：r(x, A)163。H(X)，稱r(x, A)=min{r(x, y)：y206。x206。 分形空間通俗地說，分形空間是定義了Hausdorff度量的拓?fù)淇臻g，分形集則是分形空間中壓縮映射下的不變集。一般說來，分形體具有下面的典型性質(zhì)：有精細的結(jié)構(gòu)，在任意小的尺度之下，它總有更復(fù)雜的細節(jié)；(1) 分形是不規(guī)整的，整體和局部不能用傳統(tǒng)的幾何語言描述；(2) 分形通常有自相似形式，這種自相似可以是近似的或是統(tǒng)計意義下的；(3) 一般地，分形的某種定義下的分形維數(shù)大于它的拓?fù)渚S數(shù)；(4) 分形以非常簡單的方法確定，可以由非線性的迭代過程產(chǎn)生。因此目前還沒有關(guān)于分形的嚴(yán)格定義，但是正象不少學(xué)者認(rèn)為的那樣，在就應(yīng)用層次而言，無需給分形一個嚴(yán)格的定義，只要理解其含義就行了。對于一般物體而言，標(biāo)度變換的范圍往往可以達到好幾個數(shù)量級。因此，對于分形，無論將其放大或縮小，它的形態(tài)、復(fù)雜程度、不規(guī)則性等各種特性均不會發(fā)生變化，所以標(biāo)度不變性又稱為伸縮對稱性。一個具有自相似特性的系統(tǒng)必須滿足標(biāo)度不變性，或者說這類物體沒有特征長度。凡滿足統(tǒng)計自相似性的分形稱為無規(guī)分形，無規(guī)分形都不具有嚴(yán)格的自相似性，而只具有在統(tǒng)計意義下的自相似性。著名的Logistic方程就是其中一個例子。應(yīng)用分形理論，人們認(rèn)識到海岸線的長度是不確定的，它依賴于所使用的測量單位。因此，問題提出來了，一條海岸線的長度能精確測量嗎？答案是否定的，因為隨著測量尺碼的減小，海岸線的長度會逐漸增大。例如，從飛機上俯視海岸線，可以發(fā)現(xiàn)海岸線并不是規(guī)則的光滑曲線，而是由很多的半島和港灣組成，隨著觀察高度的降低，可以發(fā)現(xiàn)原來的半島和港灣又是由很多的半島和港灣所組成。在歐幾里德幾何學(xué)中，點線面以及立體幾何（立方體、球、錐面等）規(guī)則形體是對自然界中事物的高度抽象，也是歐氏幾何學(xué)的研究范疇。一般情況下自相似性有比較復(fù)雜的表現(xiàn)形式，而不是局域放大一定倍數(shù)以后簡單的和整體完全重合。一個系統(tǒng)的自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或結(jié)構(gòu)與整體相似。當(dāng)然，也有一些分形圖形并不完全是自相似的。(2) 在不同尺度上，分形的規(guī)則性又是相同的。與傳統(tǒng)的幾何學(xué)相比，分形幾何具有這樣的特點：(1) 從整體上看，分形圖形是處處不規(guī)則的。分形理論發(fā)展到今天，其內(nèi)容已經(jīng)非常豐富，作為一門數(shù)學(xué)工具，本文將介紹基本的分形理論基礎(chǔ)知識。圖15 隨機Koch曲線Fig. 15 Stochastic Koch curve第二章 分形理論基礎(chǔ)分形理論建立以來，很快引起了許多學(xué)科的關(guān)注，這是由于它不僅在理論上，而且在實踐上都具有很重要的價值。他寫到：“云彩不是球體，山峰不是圓柱，海岸線不是圓，閃電是不規(guī)則與光滑的，光不沿直線傳播”。但數(shù)學(xué)上的例子與自然的情況并不一致，由確定的規(guī)則通過迭代產(chǎn)生的分形被稱作規(guī)則分形；而自然界中的分形常被稱作隨機(統(tǒng)計)分形。而在分形空間，…維下，其Hausdorff測度為有限值。而其面積為0。分維拓展了經(jīng)典維的取值范圍，使復(fù)雜的圖形與結(jié)構(gòu)有了新的度量方法。要確定物體或幾何圖形中任意一點的位置所需要的獨立坐標(biāo)數(shù)就是該物體或幾何圖形的維數(shù)，稱為歐氏維或經(jīng)典維。如果用直角坐標(biāo)系，則一個點的位置在普通歐氏空間需用3個獨立的坐標(biāo)來表示，其獨立的坐標(biāo)數(shù)目與空間維數(shù)相一致。標(biāo)度不變性是系統(tǒng)自組織的基礎(chǔ)，并經(jīng)常用重整化群的方法進行研究。 (a) (b) (c)(a) Sierpinski墊片 (b) (a)中小方塊放大 (c) (b)中小方塊放大圖14 Sierpinski墊片及其放大Fig. 14 Sierpinski carpet and its details圖14顯示了Waclaw Sierpinski墊片分形圖。 標(biāo)度不變性標(biāo)度不變性是指在分形上任選一局部區(qū)域，對它進行放大，得到的放大圖形又會顯示出原圖的形態(tài)特性[1,2,3]。分形體系中的自相似性可以是完全相同，這種情況是不可多得的；也可以是統(tǒng)計意義上的，這種情況占絕大多數(shù)。廣義分形及其生成元可以是幾何實體，也可以是由信息或功能支撐的數(shù)理模型。信息、功能和時間上的相似性也包含在自相似性概念之中。分形體系內(nèi)任何一個相對獨立的部分，在一定程度上都是整體的再現(xiàn)和縮影。圖13 +Fig. 13 Julia set of +自相似性是重要的分形原理，表征分形在通常的幾何變換下具有不變性。一般情況下，自相似有比較復(fù)雜的表現(xiàn)形式，而不是局部放大一定倍數(shù)以后簡單地與整體重合。圖12 自相似Koch分形曲線Fig. 12 Selfsimilar Koch fractal curve系統(tǒng)的自相似性是指某種結(jié)構(gòu)或過程的特征從不同的空間或時間尺度看都是相似的，或者某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的局域性質(zhì)或結(jié)構(gòu)與整體類似。而自然界里的分形，其自相似性不是嚴(yán)格的，而是在統(tǒng)計意義下的，海岸線就是其中一個例子。隨著測量尺度的精細，其長度越來越大。1967年Mandelbrot在美國《Science》上首次發(fā)表題為《How long is the coastline of Great Britain, statistical selfsimilarity and fractional dimension》[7]的論文，使整個學(xué)術(shù)界大為震驚。當(dāng)你沿著海岸漫步，再觀察腳下的海岸，你會發(fā)現(xiàn)更為精細的結(jié)構(gòu)—具有自相似特性的更小的半島和港灣組成了海岸線。當(dāng)你從飛機上俯視海岸線，可以發(fā)現(xiàn)海岸線并不光滑，而由很多半島和港灣組成。圖11 Helge Von Koch分形曲線Fig. 11 Helge Von Koch fractal curve這一數(shù)學(xué)怪物的復(fù)雜性來自3個方面：自相似性、無標(biāo)度性與維數(shù)?！?從規(guī)則到不規(guī)則瑞典數(shù)學(xué)家科契(Helge von Koch，18701924)在1904年構(gòu)造了Koch曲線。這一危機始于1875年Reymood對Weierstrass構(gòu)造的一種連續(xù)不可微函數(shù)的首次報道，并約持續(xù)到1925年。[6]認(rèn)為：分形幾何的概念初看起來令人懷疑，進一步的思索才覺得仍很合乎自然，這是使人們驚奇為什么僅僅到近來它才得到發(fā)展的原因”。19世紀(jì)數(shù)學(xué)家們未曾想到的自然界并非不存在。20世紀(jì)數(shù)學(xué)之花遍地開放，使人們相信它已經(jīng)完全擺脫了自身原因所帶來的限制。這些新的結(jié)構(gòu)曾經(jīng)一度被認(rèn)為是“病態(tài)”的、是“妖怪游廊”，并把它們與同時期建立起來的以藝術(shù)家感受為標(biāo)準(zhǔn)的立體派繪畫和無調(diào)音樂相提并論。現(xiàn)代數(shù)學(xué)則開始于Cantor集理論和Peano充填空間曲線。這一場偉大的思想革命，把19世紀(jì)的經(jīng)典數(shù)學(xué)和20世紀(jì)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)截然分開。[5]對分形誕生的背景及其在科學(xué)史上的意義作了闡述。分形理論誕生以后，使人們有了從新的角度進一步了解自然界和社會的工具。分形幾何以組成部分按某種方式與整體相似的“形”為研究對象，研究混亂而復(fù)雜、但其局部與整體有相似的體系—自相似性體系。自然界的許多事物具有自相似、擬自相似或統(tǒng)計自相似等層次結(jié)構(gòu)(在理想情況下甚至是無窮多層次)，適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)并不改變，或雖有改變但改變程度能控制在工程需要的精度范圍內(nèi)。于是，完備、疏朗的三分Georg Cantor集、無限長度的Helge von Koch曲線、充滿空間的David Hillbert曲線、有無窮空