【正文】 常規(guī)構(gòu)造Hil。這些方法已被應(yīng)用在圖像的插值放大等領(lǐng)域.通過圖像掃描技術(shù)把圖像灰度值讀到一維數(shù)組中去，再把一維數(shù)組的序號(hào)和序號(hào)所對(duì)應(yīng)的值分別看作是x軸與y軸這樣就可以得到一維曲線，計(jì)算這條一維曲線的分形維數(shù)就可以得到圖像的分形特征。常用圖像掃描方法有光柵掃描法、Z掃描法、連續(xù)光柵掃描法等。 f滿足：不同的n對(duì)應(yīng)不同的坐標(biāo)( i, j )，即掃描序列不重不漏地覆蓋圖像所有象素點(diǎn)。這里假定圖像大小為2k180。i, j 163。163。 圖像的分形掃描 (1) 光柵掃描法 (2) Z掃描法 (3) 連續(xù)光柵掃描法 (4) Hilbert曲線掃描法圖41 四種掃描法的示意圖 The display of four scanning method(1) Grating scan method (2) Z scan method (3) Consecutive grating scan method (4) Hilbert scan method 常用圖像掃描技術(shù)圖像掃描本質(zhì)為掃描函數(shù)：f (n)= ( i, j ) 其中n取整數(shù)，1 163。同時(shí)，由于掃描后灰度值存在一維數(shù)組，因此只需要計(jì)算一維曲線的分形維數(shù)，一維曲線的分形維數(shù)的計(jì)算要比二維灰度曲面的分形維數(shù)的計(jì)算簡單許多，進(jìn)一步簡化了程序的復(fù)雜性。第四章 對(duì)多尺度分形算法的一些改進(jìn)利用傳統(tǒng)的計(jì)算灰度曲面的分形維數(shù)值可以很好的達(dá)到邊緣提取的目的，但是也存在一個(gè)缺點(diǎn)，就是在用Matlab進(jìn)行仿真的時(shí)候，程序運(yùn)行的很慢一般要在十分鐘左右，如果處理窗口選得大一些的話，運(yùn)行時(shí)間會(huì)成倍增加，造成這種狀況的原因主要是由于灰度值存儲(chǔ)在二維數(shù)組中，而Matlab對(duì)循環(huán)很敏感，因此程序運(yùn)行的效率受到很大影響。而用Canny算子檢測的圖像還保留無噪聲時(shí)的邊緣，但是許多噪聲被誤認(rèn)為邊緣，在圖34(c)中我們看到，有許多雪花狀的就是被誤認(rèn)為邊緣的噪聲。而分形算法因?yàn)闆]有梯度運(yùn)算，因此可以達(dá)到很好的抗噪效果。用Canny算子檢測得到的圖像能保留圖像的主要細(xì)節(jié)，但是線條很僵硬，給人不自然的感覺，而用分形方法處理后的圖像保留了更多的細(xì)節(jié)，并且給人的感覺也很自然。本設(shè)計(jì)選用常見的Lenna圖來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，用256*256的Lenna圖做原始圖像，如圖3a所示，先用傳統(tǒng)的梯度算子對(duì)Lenna圖進(jìn)行邊緣檢測。對(duì)于不同的圖像，邊緣檢測分形特征的取值范圍是不盡相同的，所以在對(duì)圖像進(jìn)行二值化處理提取邊緣時(shí)，不能采用固定的閾值，本文中采用下面的公式來計(jì)算所需要的閾值： (310)其中a為常數(shù)，0a1,，一般來說。區(qū)域選得越大，檢測的邊緣精度越低，速度越慢。上述算法中有幾個(gè)值得注意的問題：① 理想的分形圖形具有尺度不變性，分形參數(shù)在所有尺度上均滿足自相似性。 (c) Graylevel curved surface of the original image。 (d) 邊緣檢測分形特征K的三維圖像 “Covering carpet” method and edge detection fractal feature(a) Original image。 (b)“地毯”截面圖。可以看到邊緣檢測分形特征在圖像邊緣處的值明顯大于非邊緣處的值。因此，地毯的體積為，R 為圖像上一以 (i, j) 為中心的取值矩形區(qū)域，故灰度曲面積為： (39)計(jì)算不同尺度下的A(i, j,ε)，利用點(diǎn)對(duì)[log A(i, j,ε)，logε]，用最小二乘法擬合式(37)代表的直線，從而獲得該點(diǎn)(i, j)的邊緣檢測分形特征K。 j=0,1,2 …Y) 為圖像灰度函數(shù)， X 為圖像的行數(shù)，Y 為圖像的列數(shù)。這樣，灰度曲面好像被一個(gè)厚度為2ε的“地毯” 所覆蓋[21]。圖像象素灰度值在二維圖像空間深度方向上構(gòu)成一個(gè)數(shù)字的紋理曲面（如圖32(c)所示），A(ε)就是在尺度ε下的這個(gè)曲面的面積。作為邊緣檢測的一種特征，我們稱面積度量為邊緣檢測分形特征。圖像灰度曲面越粗糙，灰度變化越強(qiáng)烈，面積度量越大。實(shí)驗(yàn)表明，面積度量在許多方面往往能更好地體現(xiàn)不同曲面的特性。對(duì)于光滑的曲面，面積度量較小，起伏的曲面面積度量較大。對(duì)(35)式兩端取對(duì)數(shù)，有 (37)式(37)表示在logA(ε)―logε坐標(biāo)系下的一條直線，logK 恰為該直線在縱坐標(biāo)軸logA(ε)上的截距，K的大小相當(dāng)于該尺度下的灰度曲面面積。對(duì)于一個(gè)理想的平坦的分形曲面，其分形維數(shù)D為2，此時(shí)系數(shù)K為灰度曲面的表面積。但是因?yàn)椴蝗菀字苯铀愠龇中尉S數(shù)，因此接下在上面已有公式的基礎(chǔ)上來將討論另一個(gè)分形維數(shù)，得到新的分形特征。在實(shí)際中，常用Richardson 定律來估計(jì)分形維數(shù) (34)式中ε=1,2,3 …為尺度因子，A(ε)是尺度ε下的度量特征值，D 是分形維數(shù)，d 是拓?fù)渚S數(shù)，K 為分形系數(shù)。維數(shù)是幾何對(duì)象的一個(gè)重要特征量，它是幾何對(duì)象中一個(gè)點(diǎn)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。Pentland證明了大多數(shù)自然景物表面所映射成的灰度圖像在一定尺度范圍內(nèi)滿足各向同性的FBRF，并將FBRF 作為自然景物圖像的描述模型。||表示范數(shù)。 定義2 設(shè)BH (t)為一高斯隨機(jī)場，對(duì)于0H1，若對(duì)任意 t 和Δt，滿足 (31)則稱BH(t)為各向同性的FBRF，其中F(y)為零均值高斯隨機(jī)變量的分布函數(shù)，Pr( 分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)場及邊緣檢測分形特征的提取 分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)場Mandelbrot 首先提出用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)描述具有統(tǒng)計(jì)自相似性的一類隨機(jī)過程現(xiàn)象，將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)用于描述空間分布的隨機(jī)場，得到分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)場（FBRF）[20]。 (a) 采用Sobel算子 (b) 采用Canny算子(c) 原始圖像圖31 采用微分算子得到的邊緣圖像 Edge detection base on differential coefficient arithmetic operators(a) Using Sobel arithmetic operators (b) Using Canny arithmetic operators (c) Original image 分形在圖像處理的理論任意一幅圖像都是有灰度的，非嚴(yán)格自相似，不具有整體與局部的自相似，也就是從整體上沒有明顯的確定性分形結(jié)構(gòu)，但是，圖像卻在局部之間的自相似，即從局部上存在一定程度的近似的分形結(jié)構(gòu)。此外該算子不可避免地也存在一定的缺陷，Berzins對(duì)LOG 算子的邊緣檢測精度分析說明[17]，在二維圖像中LOG 算子對(duì)直線邊緣定位精確，而對(duì)實(shí)際情況中占多數(shù)的曲線邊緣總是存在誤差，誤差大小與邊緣的曲率有關(guān)．Clerk的研究表明[18]，LOG 算子零交叉并不總是圖像的真實(shí)邊緣，但假邊緣的零交叉點(diǎn)比真實(shí)邊緣的零交叉點(diǎn)的頻率要小得多，隨著高斯濾波器方差的減小，假邊緣的強(qiáng)度逐漸減小而真實(shí)邊緣的強(qiáng)度逐漸增加。通常小的尺度算子能獲得較多的圖像細(xì)節(jié)，但對(duì)噪聲也較敏感；而大的尺度算子雖然對(duì)噪聲不很敏感，但會(huì)忽視圖像細(xì)節(jié)。在LOG算子中，具有完美數(shù)學(xué)特性的高斯函數(shù)能有效消除一切尺度遠(yuǎn)小于高斯濾波器方差的圖像灰度變化。這種方法是先對(duì)圖像作最佳平滑，然后再利用平滑圖像的二階微分零交叉確定邊緣位置。沈俊則從最優(yōu)濾波的觀點(diǎn)出發(fā)[1315]，推導(dǎo)出運(yùn)算復(fù)雜性小、精度高的最優(yōu)平滑濾波器，即對(duì)稱雙指數(shù)型濾波器．同時(shí)研究了多邊緣模型的情況，為邊緣檢測與提取技術(shù)的發(fā)展奠定了一定的基礎(chǔ)。Canny應(yīng)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法對(duì)此問題進(jìn)行了分析，提出了由四個(gè)指數(shù)函數(shù)線性組合形成的最佳邊緣檢測算子，其方法的實(shí)質(zhì)是用一個(gè)準(zhǔn)高斯函數(shù)作平滑運(yùn)算，然后以帶方向的一階微分定位導(dǎo)數(shù)最大值，它可用高斯函數(shù)的梯度來近似，屬于具有平滑功能的一階微分算子。邊緣檢測的基本問題是檢測精度與抗噪性能間的矛盾。利用二階導(dǎo)數(shù)零交叉所提取的邊緣寬度為一個(gè)象素，所得的邊緣結(jié)果無需細(xì)化，有利于邊緣的精確定位。 經(jīng)典的邊緣檢測算法——微分算子圖像邊緣檢測與提取的研究一直貫穿于圖像處理與分析的始終，傳統(tǒng)的圖像邊緣檢測方法大多可歸結(jié)為圖像高頻分量的增強(qiáng)過程，微分運(yùn)算自然就成了邊緣檢測與提取的主要手段。Marr的視覺計(jì)算理論把邊緣圖像的獲取看作視覺的早期階段，亦即整個(gè)視覺過程的起點(diǎn)；而通過對(duì)人類視覺系統(tǒng)的研究表明，圖像中的邊緣特別重要，往往僅憑一條粗略的邊緣輪廓線就能識(shí)別出一個(gè)物體。邊緣是圖像最基本的特征，一幅素描圖用幾筆就可以勾勒物體的形象，可見圖像的邊緣包含了豐富的信息。成像過程中的投影、混合、畸變和噪聲等導(dǎo)致圖像特征的模糊和變形，從而造成圖像特征提取的困難。在圖像學(xué)中，圖像的某些性質(zhì)與分形特征有關(guān)，尤其圖像的灰度之間的粗糙程度與分形維數(shù)有關(guān)，本文將對(duì)分形維數(shù)在圖像中的物理意義進(jìn)行有益的分析與探討。在工程應(yīng)用中，一方面在一定尺度范圍內(nèi)對(duì)研究對(duì)象的分形特征進(jìn)行研究，也要對(duì)其具體的細(xì)節(jié)進(jìn)行嚴(yán)格區(qū)分，判定其在哪一個(gè)范圍內(nèi)具有分形特征，在哪一個(gè)范圍內(nèi)不具備通常意義下的分形意義。不少學(xué)者認(rèn)為，分形是“看”出來的，而無法嚴(yán)格證明“什么”是分形。作者認(rèn)為在工程領(lǐng)域內(nèi)以下的問題值得加以進(jìn)一步研究和探討：(1) 如何判斷所研究的對(duì)象是分形或多重分形Mandelbrot在1982年指出，HausdorffBesicovitch維數(shù)嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)的集合稱為分形。有關(guān)的國際會(huì)議及專題討論會(huì)有增無減。 分形理論的發(fā)展方向分形理論是近二、三十年才發(fā)展起來的一門新的理論，因而目前仍處于不斷發(fā)展之中。在上的分?jǐn)?shù)階光滑度簡記作。用表示在上沒有一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)類。的物理力學(xué)意義是反映物理或力信號(hào)的振蕩的尺度和變化的迅速程度。它的盒維數(shù)等于，其Hausdorff維數(shù)最多為，普遍認(rèn)為就是Hausdorff維數(shù)。weierstrass函數(shù)是其中最重要的構(gòu)造函數(shù)。這里采用坐標(biāo)，其中時(shí)間為獨(dú)立變量，為因變量。事實(shí)上許多物理現(xiàn)象與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系都呈現(xiàn)分形特征：例如大氣壓力、水平面、機(jī)械加工的表面輪廓等。每一個(gè)不同的層次用不同的參量來表示，這些不同的參量構(gòu)成一個(gè)完整幾何體。多重分形被用來表示僅用一個(gè)取決于整體的特征標(biāo)度指數(shù)（即分形維數(shù)）所不能完全描述的奇異幾率分布的形式，或者說用一個(gè)譜函數(shù)來描述分形體不同層次的生長特征，從系統(tǒng)的局部出發(fā)來研究其最終的整體特征。因此，如果考慮分形體的物理本質(zhì)，在與分形生長有關(guān)的現(xiàn)象中也應(yīng)該存在著類似的某個(gè)量的空間分布。研究發(fā)現(xiàn)，僅用一個(gè)分形維數(shù)來描述經(jīng)過復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)演化過程而形成的結(jié)構(gòu)顯然是不夠的。但它除了標(biāo)志著該結(jié)構(gòu)的自相似構(gòu)造規(guī)律外，并不能完全揭示出產(chǎn)生相應(yīng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)過程。于是，在材料中有兩個(gè)自相似系統(tǒng)的效應(yīng)疊加，而不是像通常的多重分形是每個(gè)代層兩種機(jī)制均按一定比例混合，從而組成一個(gè)自相似系統(tǒng)。以材料斷裂為例：由于沿晶和穿晶斷裂所遇到的臨界裂紋擴(kuò)展力往往不一樣，在低應(yīng)力條件下，較脆的晶界先斷開，組成自己的自相似系統(tǒng)。(4) 多度域分形的概念有可能應(yīng)用到其他分形過程。(2) 在材料開裂過程中的多度域分形，大多數(shù)不一定是標(biāo)準(zhǔn)的多重分形而只是各種自相似結(jié)構(gòu)的疊加，只有在一些特殊情形，如裂紋分叉生長，或穿晶沿晶開裂幾率相近時(shí)才可能出現(xiàn)通常的多重分形。物質(zhì)存在的形式是時(shí)空有限性和無限性的統(tǒng)一，自然界中具體的嵌套結(jié)構(gòu)是有限代層的。這些度域范圍有的還互相交疊，統(tǒng)稱為多度域分形。 多度域分形和分形測度1993年，龍期威[9]在分析了大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出了材料中的多度域分形。在不同區(qū)域內(nèi)，指數(shù)可以不同，從而可定義一個(gè)完整的序列來描述臨界點(diǎn)附近的性質(zhì)。討論某一物理量在一個(gè)幾何結(jié)構(gòu)上的分布時(shí)，是將該幾何結(jié)構(gòu)分為若干小的部分，第部分()相應(yīng)的線度為，在每一微小區(qū)域中產(chǎn)生的某種行為稱為。所謂多標(biāo)度分形是定義在分形上的多個(gè)標(biāo)度指數(shù)的奇異測度組成的無限集合。其研究步驟可歸結(jié)為如下四步：(1) 自相似性程度的證實(shí)和論述；(2) 決定自相似性存在范圍的上、下限；(3) 分維值的測定；(4) 尋找分形形成的物理機(jī)理。 分形理論最新進(jìn)展近年來，分形無論是在理論本身還是在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用均取得了很大的進(jìn)展。所以對(duì)于碼尺而言，就存在一個(gè)合理的取值范圍，在此范圍之內(nèi)，有限層次的分形體的分維是恒定的；超出此范圍，則測量分維就會(huì)發(fā)生變化，出現(xiàn)分維不確定問題。在一定的條件下，它是成立的。實(shí)際分形體只在一定層次范圍內(nèi)才呈現(xiàn)為分形或準(zhǔn)分形的特點(diǎn)。把適用于無限層次分形體的公式用于實(shí)際的有限層次分形體，就有可能產(chǎn)生分維不確定性。近幾年來國內(nèi)外一些學(xué)者的研究表明：對(duì)實(shí)際分形體而言，測量的分形維數(shù)值隨碼尺改變而變化，也就是說，對(duì)同一分形體由于選取的碼尺不同，會(huì)得到不同的分維值。但是對(duì)于不同學(xué)科中研究的分形以及自然界存在的分形，一般說來并不存在無窮的嵌套結(jié)構(gòu)，而只存在有限的嵌套層次，所以，碼尺的范圍選擇關(guān)系到測量的分形維數(shù)的有效性和準(zhǔn)確性。而在實(shí)際的分形維數(shù)的測定中，分形維數(shù)的測量值與分形的結(jié)構(gòu)層次有關(guān)，以三次Koch 曲線為例，只有當(dāng)＝18以后，這里的Dm是維數(shù)的測量值，以區(qū)別于維數(shù)的數(shù)學(xué)計(jì)算值。在本文作者的研究當(dāng)中，將綜合應(yīng)用以上方法對(duì)研究對(duì)象以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，來獲得所研究對(duì)象的分形維數(shù)值。如果平面上的點(diǎn)是均勻地致密排列并覆蓋住整個(gè)平面，此時(shí)，與直線時(shí)一樣，它與經(jīng)驗(yàn)維數(shù)相一致。可以把此方法進(jìn)行以下擴(kuò)展：首先，用間隔為的格子把平面分割成邊長為的正方形，然后數(shù)出此平面上至少包含一個(gè)點(diǎn)的正方形的個(gè)數(shù)，并把此數(shù)記為。同時(shí)，式(29)中r的指數(shù)也與直線的維數(shù)一致?？梢杂肒och曲線驗(yàn)證。但式(29)對(duì)形狀復(fù)雜的海岸線不適用。如果改變基準(zhǔn)長度，則也要變化。方法是：先把曲線的一端