【正文】 19]。 分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)場及邊緣檢測分形特征的提取 分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)場Mandelbrot 首先提出用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動描述具有統(tǒng)計(jì)自相似性的一類隨機(jī)過程現(xiàn)象，將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動用于描述空間分布的隨機(jī)場，得到分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)場（FBRF）[20]。有關(guān)概念簡述如下：定義1 設(shè)H 滿足0H1，b0 為任意實(shí)數(shù)，若隨機(jī)函數(shù)滿足則稱BH(t)為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動（FBM），其中H 為Hurst 指數(shù)，b0 為初始值，ω為樣本空間Ω，H=1/2 時(shí)為通常的布朗運(yùn)動。 定義2 設(shè)BH (t)為一高斯隨機(jī)場，對于0H1，若對任意 t 和Δt，滿足 (31)則稱BH(t)為各向同性的FBRF，其中F(y)為零均值高斯隨機(jī)變量的分布函數(shù)，Pr()為概率測度，||||表示范數(shù)。分?jǐn)?shù)布朗隨機(jī)場BH(t)具有如下性質(zhì)： (32)由以上性質(zhì)可知，F(xiàn)BRF 增量的一、二階絕對矩是各向同性的。Pentland證明了大多數(shù)自然景物表面所映射成的灰度圖像在一定尺度范圍內(nèi)滿足各向同性的FBRF，并將FBRF 作為自然景物圖像的描述模型。從(31)和(32)式可以看出，Hurst 指數(shù)決定了一個(gè)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動，由Hurst 指數(shù)可得圖像表面的分形維數(shù)： (33)式中DT 為圖像表面的拓?fù)渚S數(shù)。維數(shù)是幾何對象的一個(gè)重要特征量，它是幾何對象中一個(gè)點(diǎn)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。在分形學(xué)里維數(shù)可以為分?jǐn)?shù)，通過分形維數(shù)我們可以描述和測量分形的特性。在實(shí)際中，常用Richardson 定律來估計(jì)分形維數(shù) (34)式中ε=1,2,3 …為尺度因子，A(ε)是尺度ε下的度量特征值，D 是分形維數(shù)，d 是拓?fù)渚S數(shù)，K 為分形系數(shù)。對于理想的均勻的二維灰度圖像，A(ε)為圖像表面積測度，拓?fù)渚S數(shù)為2，則有 (35)對于分形維數(shù)，人們傾注了許多注意力，并指出分形維數(shù)是圖像表面不規(guī)則程度的一種度量，它反映了圖像灰度曲面的粗糙程度[20]。但是因?yàn)椴蝗菀字苯铀愠龇中尉S數(shù)，因此接下在上面已有公式的基礎(chǔ)上來將討論另一個(gè)分形維數(shù)，得到新的分形特征。 邊緣檢測分形特征的提取考慮(35)式中的系數(shù)K。對于一個(gè)理想的平坦的分形曲面，其分形維數(shù)D為2，此時(shí)系數(shù)K為灰度曲面的表面積。給定一個(gè)理想分形曲面，K為一常數(shù)，若圖像是由不同的紋理曲面組成，或是分形曲面中嵌入了非分形對象，例如自然場景中存在人造目標(biāo)，K 將不再是一個(gè)常數(shù)，而是尺度ε的函數(shù)，它反映了尺度變化的情況下曲面面積的變化，取不同的尺度，由(35)式可得： (36)式中ε1,ε2為不同尺度，可見K值反映了圖像表面積隨尺度變化的空間變化率。對(35)式兩端取對數(shù)，有 (37)式(37)表示在logA(ε)―logε坐標(biāo)系下的一條直線，logK 恰為該直線在縱坐標(biāo)軸logA(ε)上的截距，K的大小相當(dāng)于該尺度下的灰度曲面面積。由此可以看出，系數(shù)K實(shí)際上是一個(gè)類似于面積的分形參數(shù)，稱之為面積度量。對于光滑的曲面，面積度量較小，起伏的曲面面積度量較大。所以，面積度量同分形維數(shù)一樣反映了圖像表面的粗糙程度，即圖像灰度曲面的“起伏程度”。實(shí)驗(yàn)表明，面積度量在許多方面往往能更好地體現(xiàn)不同曲面的特性。對二維數(shù)字圖像而言，分形維數(shù)2D3，而面積度量K 的取值范圍是正實(shí)數(shù)，所以它對于不同性質(zhì)的曲面具有更好的區(qū)分度。圖像灰度曲面越粗糙，灰度變化越強(qiáng)烈，面積度量越大。值得注意的是，在不同光滑曲面交界處，如前所述，即不同紋理灰度表面之間，灰度起伏變化相對于無論哪一種紋理圖像來說都更加顯著，面積度量相應(yīng)很大，而這些紋理交界處正是圖像邊界所在，所以可以用面積度量來檢測邊緣。作為邊緣檢測的一種特征，我們稱面積度量為邊緣檢測分形特征。為計(jì)算邊緣檢測分形特征，采用“地毯覆蓋法”估計(jì)圖像灰度表面積測度A(ε)。圖像象素灰度值在二維圖像空間深度方向上構(gòu)成一個(gè)數(shù)字的紋理曲面（如圖32(c)所示），A(ε)就是在尺度ε下的這個(gè)曲面的面積?？紤]與曲面相距ε的所有像素點(diǎn)，顯然，灰度曲面以上的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)上表面U(i,j,ε)，以下的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)下表面B(i, j,ε)（如圖32(b)所示）。這樣，灰度曲面好像被一個(gè)厚度為2ε的“地毯” 所覆蓋[21]。地毯的上、下表面定義如下： (38)式中 f(i,j) ( i=0,1,2 …X。 j=0,1,2 …Y) 為圖像灰度函數(shù)， X 為圖像的行數(shù)，Y 為圖像的列數(shù)。，當(dāng)d=1 時(shí)，表示4鄰域，d=2時(shí)，表示8鄰域。因此，地毯的體積為，R 為圖像上一以 (i, j) 為中心的取值矩形區(qū)域，故灰度曲面積為： (39)計(jì)算不同尺度下的A(i, j,ε)，利用點(diǎn)對[log A(i, j,ε)，logε]，用最小二乘法擬合式(37)代表的直線，從而獲得該點(diǎn)(i, j)的邊緣檢測分形特征K。對于圖32(a)中的原始圖像，計(jì)算圖像每一點(diǎn)的邊緣檢測分形特征K，從而得到K的特征圖像，其三維表示如圖32(d)所示?？梢钥吹竭吘墮z測分形特征在圖像邊緣處的值明顯大于非邊緣處的值。圖32“地毯”覆蓋法及邊緣檢測分形特征(a) 原始圖像。 (b)“地毯”截面圖。 (c) 原始圖像灰度曲面。 (d) 邊緣檢測分形特征K的三維圖像 “Covering carpet” method and edge detection fractal feature(a) Original image。 (b) “Carpet” crosssection。 (c) Graylevel curved surface of the original image。 (d) 3 D image of edge detection fractal feature K 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)仿真步驟如下：(1) 對一副NN 的圖像，按逐行逐列的掃描順序，以矩形窗R(MM)為處理區(qū)域，計(jì)算矩形窗中心像素的邊緣檢測分形特征K(i, j)，如此得到邊緣檢測分形特征圖像；(2) 計(jì)算自適應(yīng)閾值T，對圖像進(jìn)行二值化處理，檢測出邊緣。上述算法中有幾個(gè)值得注意的問題：① 理想的分形圖形具有尺度不變性，分形參數(shù)在所有尺度上均滿足自相似性。但在實(shí)際中不存在真正的分形，圖像僅在一小尺度范圍內(nèi)呈現(xiàn)分形的自相似性，所以在計(jì)算邊緣檢測分形特征的過程中，尺度ε取為1≤ε≤9；② 局部處理區(qū)域R的尺寸與邊緣檢測的精度和速度有密切關(guān)系。區(qū)域選得越大，檢測的邊緣精度越低，速度越慢。所以在算法實(shí)現(xiàn)過程中應(yīng)選取較小的局部處理區(qū)域。對于不同的圖像，邊緣檢測分形特征的取值范圍是不盡相同的，所以在對圖像進(jìn)行二值化處理提取邊緣時(shí)，不能采用固定的閾值，本文中采用下面的公式來計(jì)算所需要的閾值： (310)其中a為常數(shù)，0a1,，一般來說。更準(zhǔn)確的閾值需要直觀比較多個(gè)以不同閾值得到的圖像，選擇其中效果最好的那個(gè)。本設(shè)計(jì)選用常見的Lenna圖來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，用256*256的Lenna圖做原始圖像，如圖3a所示，先用傳統(tǒng)的梯度算子對Lenna圖進(jìn)行邊緣檢測。然后采用多尺度的分形方法，以3*3的窗口為處理區(qū)域，計(jì)算這個(gè)窗口中心象素的分形分形維數(shù)，得到圖像每個(gè)象素的分形特征，然后根據(jù)(310)式，挑選三個(gè)閾值進(jìn)行二值化處理，得到三幅圖像，然后根據(jù)肉眼觀察確定效果最好的那一幅：(a) 原始圖像(b) (c) (d) 圖33 用多尺度分形算法得到的邊緣圖像 Edge detection base on multiresolution fractal method(a) Original image (b) Edge detection using parameter (c) Edge detection using parameter (d) Edge detection using parameter 圖33是根據(jù)幾個(gè)不同閾值進(jìn)行二值化處理后所得到的幾幅圖像，對比圖32的兩幅用經(jīng)典的微分算子得到的邊緣圖像可以看到，用Sobel算子檢測得到的圖像過于簡單，遺漏了許多重要的細(xì)節(jié)。用Canny算子檢測得到的圖像能保留圖像的主要細(xì)節(jié)，但是線條很僵硬，給人不自然的感覺，而用分形方法處理后的圖像保留了更多的細(xì)節(jié)，并且給人的感覺也很自然。 (a) 加高斯噪聲后的Lenna圖像 (b) 用Sobel算子檢測噪聲圖像后得到的邊緣 (c) 用Canny算子檢測噪聲圖像后得到的邊緣 (d) (e) 圖34 對有噪聲的圖像進(jìn)行邊緣檢測 Edge detection on the image with noise(a) Lenna image with Gaussian noise (b) Detect the noiseimage with Sobel arithmetic operators (c) Detect the noiseimage with Canny arithmetic operators (d) Use the parameter to detect the noiseimage (e) Use the parameter to detect the noiseimage傳統(tǒng)的微分算子的主要缺點(diǎn)就是對噪聲很敏感，因?yàn)樵谒阕又惺褂昧颂荻冗\(yùn)算，常常把噪聲誤認(rèn)為邊緣，使得得到的邊緣的質(zhì)量下降。而分形算法因?yàn)闆]有梯度運(yùn)算，因此可以達(dá)到很好的抗噪效果。對原始的Lenna圖加高斯噪聲，如圖34(a)所示，用傳統(tǒng)的微分算子進(jìn)行檢測的結(jié)果可以在圖34(b)和圖34(c)中看見，從中可以看到，用Sobel算子檢測的圖像看不到噪聲，但是由于噪聲的影響，使得圖像的質(zhì)量進(jìn)一步下降，邊緣更加粗略了，基本沒有原圖像的細(xì)節(jié)了。而用Canny算子檢測的圖像還保留無噪聲時(shí)的邊緣，但是許多噪聲被誤認(rèn)為邊緣，在圖34(c)中我們看到，有許多雪花狀的就是被誤認(rèn)為邊緣的噪聲。圖34(d)與圖34(e)是以分形算法得到的邊緣圖像，，并且同時(shí)保留了圖像的大部分邊緣特征，只是左邊的柱子的邊緣無法辨別，因此，根據(jù)圖34(d)的效果來看，我們可以認(rèn)為分形算法可以達(dá)到很好的抗噪效果。第四章 對多尺度分形算法的一些改進(jìn)利用傳統(tǒng)的計(jì)算灰度曲面的分形維數(shù)值可以很好的達(dá)到邊緣提取的目的，但是也存在一個(gè)缺點(diǎn)，就是在用Matlab進(jìn)行仿真的時(shí)候，程序運(yùn)行的很慢一般要在十分鐘左右，如果處理窗口選得大一些的話，運(yùn)行時(shí)間會成倍增加，造成這種狀況的原因主要是由于灰度值存儲在二維數(shù)組中，而Matlab對循環(huán)很敏感，因此程序運(yùn)行的效率受到很大影響。本文將在下面討論一種新的快速算法以使程序運(yùn)行的時(shí)間大大縮短，Matlab對循環(huán)的執(zhí)行效率不高，尤其是對多重循環(huán)，因此可以采用圖像掃描的方法使圖像的灰度值存到一維數(shù)組中，這樣就可以使程序運(yùn)行的時(shí)間大大縮短。同時(shí)，由于掃描后灰度值存在一維數(shù)組，因此只需要計(jì)算一維曲線的分形維數(shù)，一維曲線的分形維數(shù)的計(jì)算要比二維灰度曲面的分形維數(shù)的計(jì)算簡單許多，進(jìn)一步簡化了程序的復(fù)雜性。在下面的篇章中，首先介紹圖像的掃描技術(shù)，找到一種合適于邊緣檢測的掃描方法，然后討論所用的計(jì)算一維分形曲線的分形維數(shù)的方法。 圖像的分形掃描 (1) 光柵掃描法 (2) Z掃描法 (3) 連續(xù)光柵掃描法 (4) Hilbert曲線掃描法圖41 四種掃描法的示意圖 The display of four scanning method(1) Grating scan method (2) Z scan method (3) Consecutive grating scan method (4) Hilbert scan method 常用圖像掃描技術(shù)圖像掃描本質(zhì)為掃描函數(shù)：f (n)= ( i, j ) 其中n取整數(shù)，1 163。 n206。163。 22k，代表掃描序號；1 163。i, j 163。 2k，( i, j )代表象素點(diǎn)在原圖像的坐標(biāo)。這里假定圖像大小為2k180。2k 個(gè)象素(其它大小可類似分析)。 f滿足：不同的n對應(yīng)不同的坐標(biāo)( i, j )，即掃描序列不重不漏地覆蓋圖像所有象素點(diǎn)。掃描函數(shù)也可等價(jià)地記作矩陣，其中aij = n，即矩陣的元素為掃描序號，我們稱之為掃描矩陣。常用圖像掃描方法有光柵掃描法、Z掃描法、連續(xù)光柵掃描法等?，F(xiàn)在，又出現(xiàn)了利用Hilbert分形曲線進(jìn)行圖像掃描的Hilbert曲線掃描法。這些方法已被應(yīng)用在圖像的插值放大等領(lǐng)域.通過圖像掃描技術(shù)把圖像灰度值讀到一維數(shù)組中去，再把一維數(shù)組的序號和序號所對應(yīng)的值分別看作是x軸與y軸這樣就可以得到一維曲線，計(jì)算這條一維曲線的分形維數(shù)就可以得到圖像的分形特征。 Hilbert曲線掃描矩陣的快速生成意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾1893年構(gòu)造了一種奇怪的曲線，它能夠通過正方形內(nèi)的所有點(diǎn)，此曲線的這種性質(zhì)令數(shù)學(xué)界很吃驚，如果這是可能的，那么曲線與平面如何區(qū)分？于是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界十分關(guān)注這件事，次年大數(shù)學(xué)家Hilbert也構(gòu)造了一種曲線，它比皮亞諾曲線更簡單，但性質(zhì)是相同的，這類曲線現(xiàn)在統(tǒng)稱為皮亞諾曲線，它們的特點(diǎn)是：(1) 能夠填充空間；(2) 十分曲折，連續(xù)但不可導(dǎo) ；(3) 具有自相似性。常規(guī)構(gòu)造