高三數(shù)學(xué)平面和空間直線(編輯修改稿)
2024-12-15 08:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∴ FG ∥ BD ，且 FG ＝23BD . 故 EH ∥ FG 且 EH ≠ FG . 即四邊形 EFG H 為梯形，從而 EF與 GH 必相交，設(shè)交點(diǎn)為 P . ∵ P ∈ EF ， EF ? 平面 ABC ， ∴ P ∈ 平面 ABC . 同理 P ∈ HG ， HG ? 平面 ADC ， ∴ P ∈ 平面 ADC . 又 ∵ 平面 ADC ∩ 平面 ABC ＝ AC ， ∴ P ∈ AC ，即 EF 、 GH 、 AC 交于一點(diǎn)． 1. 證明空間三線共點(diǎn)問題．可把其中一條作為分別過其余兩條的兩個(gè)平面的交線，然后再證另兩條直線的交點(diǎn)在此直線上． 2 ．解決多線共點(diǎn)的方法，即先證明其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這一點(diǎn)在其他直線上或其他直線都經(jīng)過這一點(diǎn)． ? 證明三線共點(diǎn)，可證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上，而第三條直線往往是兩平面的交線． ? 3．空間四邊形 (即四個(gè)點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的四邊形 )是一個(gè)很常見的圖形，它的性質(zhì)很多，諸如它的兩組對(duì)邊都是異面直線，兩條對(duì)角線也是異面直線，各邊中點(diǎn)的連線組成平行四邊形等，做題時(shí)要注意這些隱含條件． 1 ．已知正方體 ABCD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 、F 分別為 AB 、 AA 1 的中點(diǎn)． 求證：直線 CE 、 D 1 F 必相交，且交點(diǎn)在AD 直線上． 【證明】 如圖所示，延長 CE 、 D1F ， ∵ CE 與 DA 不平行， ∴ DA ∩ CE ＝ P . 又 ∵ E 為 AB 中點(diǎn)，且 AE ∥ CD ， ∴△ P AE ≌△ CBE . ∴ PA ＝ BC ＝ AD . 又 ∵ D1F 與 AD 不平行， ∴ D1F ∩ AD ＝ Q . 同理有 QA ＝ AD . ∴ PA ＝ QA . ∴ P 與 Q 重合． ∴ 直線 CE 、 D1F 相交于 P 點(diǎn)，且 P 在直線 AD 上． 點(diǎn)線共面問題 (2 008 年四川高考改編 ) 如圖，四邊形 ABE F 和 ABC D 都是直角梯形， ∠ BAD ＝ ∠ F AB ＝ 90176。 ， BC綊12AD ， BE 綊12FA ， G 、 H 分別為 FA 、 FD 的中點(diǎn)． (1 ) 證明：四邊形 BCHG 是平行四邊形； (2 ) C 、 D 、 F 、 E 四點(diǎn)是否共面？為什么？ 【思路點(diǎn)撥】 (1 ) G 、 H 為中點(diǎn) → GH 綊12AD ，又 BC 綊12AD → GH 綊 BC (2 ) 方法一 證明 D 點(diǎn)在 EF 、 CH 確定的平面內(nèi)． 方法二 延長 FE 、 DC 分別與 AB 交于 M ， M ′，可證 M 與 M ′重合，從而 FE 與 DC 相交． 【證明】 (1 ) 由已知 FG ＝ GA ， FH ＝ HD ， 可得 GH 綊12AD . 又 BC 綊12AD ， ∴ GH 綊 BC ， ∴ 四邊形 BCHG 為平行四邊形． (2) 由 BE 綊12AF ， G 為 FA 中點(diǎn)知， BE 綊 FG ， ∴ 四邊形 BEFG 為平行四邊形， ∴ EF ∥ BG . 由 (1) 知 BG ∥ CH ， ∴ EF ∥ CH ， ∴ EF 與 CH 共面． 又 D ∈ FH ， ∴ C 、 D 、 F 、 E 四點(diǎn)共面． ? 所謂點(diǎn)線共面問題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問題． ? 證明點(diǎn)線共面的常用方法 ? (1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)． ? (2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面 α，再證明其余元素確定平面 β，最后證明平面 α、 β重合． ? (3)反證法：可以假設(shè)這些點(diǎn)和直線不在同一個(gè)平面內(nèi)，然后通過推理，找出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定結(jié)論． 2 ．在正方體 AC 1 中， E 、 F 分別為 D 1 C 1 、 B 1 C 1 的中點(diǎn)，AC ∩ BD ＝ P ， A 1 C 1 ∩ EF ＝ Q . (1 ) 求證： D 、 B 、 F 、 E 四點(diǎn)共面； (2 ) 作 出 直 線 A 1 C 與平面BDEF 的交點(diǎn) R 的位置． 【解析】 (1 ) 證明： ∵ E 、 F 分別是 C1D1和 B1C1的中點(diǎn)， ∴ EF ∥ B1
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