高三數(shù)學(xué)平面和空間直線(已改無(wú)錯(cuò)字)
2022-12-22 08:48:11 本頁(yè)面
【正文】 D1， 又 ∵ B1D1∥ BD ， ∴ EF ∥ BD ， ∴ EF 、BD 共面． 故 D 、 B 、 F 、 E 四點(diǎn)共面 ( 設(shè)為 α ) ． (2) 由于 AA1∥ CC1，所以 A A 、 C 、 C1四點(diǎn)共面 ( 設(shè)為 β ) ． P ∈ BD ，而 BD ? α ，故 P ∈ α . 又 P ∈ AC ，而AC ? β ， 所以 P ∈ β ，同理 Q ∈ α ， Q ∈ β ， ∴ α ∩ β ＝ PQ .又因?yàn)?A1C ? β ， 所以 A1C 與平面 α 的交點(diǎn)就是 A1C 與 PQ 的交點(diǎn)． 連結(jié) A1C ，則 A1C 與 PQ 的交點(diǎn) R 就是所求的交點(diǎn)． (1 2 分 ) 如 圖 ， 在 直 三 棱 柱ABC — A1B1C1中， AB ＝ BC ＝ B1B＝ a ， ∠ ABC ＝ 90176。 ， D 、 E 分別為BB AC1的中點(diǎn)． (1 ) 求異面直線 BB1與 AC1所成的角的正切值； (2 ) 證明： DE 為異面直線 BB1與 AC1的公垂線； (3 ) 求異面直線 BB1與 AC1的距離． 【思路點(diǎn)撥】 (1) 求異面直線所成的角的正切值，需要通過(guò)平移找出夾角后求得； (2) 欲證 DE 為異面直線 BB1與 AC1的公垂線，由于 AA1∥ BB1，所以可以證明 ED ⊥ 平面AC1； (3) 求異面直線的距離，方法之一是求公垂線段的長(zhǎng)度． 【 規(guī) 范 解 答 】 (1 ) 由 于 直 三 棱 柱ABC — A1B1C1中， AA1∥ BB1，所以 ∠ A1AC1就是異面直線 BB1與 AC1所成的角 .1 分 又 AB ＝ BC ＝ B1B ＝ a ， ∠ ABC ＝ 90176。 ， 所以 A1C1＝ 2 a ， ta n ∠ A1AC1＝ 2 ， 即異面直線 BB1與 AC1所成的角的正切值為2 .4 分 (2 ) 證明：證法一：如圖所示，在矩形 A C C1A1 中，過(guò)點(diǎn) E 作 AA1的平行線 MM1 分別交 AC 、 A1C1于點(diǎn) M 、 M1 ，連結(jié) BM ， B1M1 ，則 BB1 ∥ MM1 且 BB 1=M M 1. 又D 、 E 分別是 BB1 、 MM1 的中點(diǎn)，可得 DE ∥ BM 且 DE=BM. 6 分 在直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中，由條件 AB＝ BC 得 BM ⊥ AC ，所以 BM ⊥ 平面ACC 1 A 1 ，故 DE ⊥ 平面 ACC 1 A 1 ，所以 DE⊥ AC 1 ， DE ⊥ BB 1 ，即 DE 為異面直線 BB 1與 AC 1 的公垂線 .9 分 證法二：如圖所示，延長(zhǎng) C1 D 、 CB交于點(diǎn) F ，連結(jié) AF ，由條件易證 D是 C1F 的中點(diǎn)， B 是 CF 的中點(diǎn)，又 E 是 AC1 的中點(diǎn)，所以 DE ∥AF .5 分 在 △ ACF 中，由 AB ＝ BC ＝ BF 知AF ⊥ AC .6 分 在直三棱柱 ABC — A1B1C1中， AA1⊥ 平面 ABC ， 所以 AF ⊥ AA1，故 AF ⊥ 平面ACC1A1， 故 DE ⊥ 平面 ACC1A1，所以 DE ⊥ AC1， DE ⊥BB1， 即 DE 為異面直線 BB1與 AC1的公垂線 .9 分 (3 ) 由 (2) 知線段 DE 的長(zhǎng)就是異面直線 BB1與AC1的距離， 由于 AB ＝ BC ＝ a ， ∠ ABC ＝ 90176。 ，所以 DE ＝22a .12 分 ? 1.(1)異面直線所成角的范圍是 0176。 ＜θ≤90176。 ，其中當(dāng) θ＝ 90176。 時(shí)，兩條異面直線互相垂直． (2)求異面直線所成的角分三步：作、證、求，“作”即過(guò)空間一點(diǎn)作兩條異面直線的平行線，而空間一點(diǎn)一般取在兩條異面直線中的一條上，特別是某些特殊點(diǎn)處，例如“端點(diǎn)”或“中點(diǎn)”處；“證”即根據(jù)等角定理說(shuō)明所求的角；“求”即解三角形． ? 2．證明一直線是某兩條異面直
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