直線、平面平行的判定和性質(編輯修改稿)
2025-09-01 10:08 本頁面
【文章內容簡介】 線的線線平行關系轉化為線面平行， 然后由線面平行轉化為所要證明的線線平行． 【 例 2】 證明： 如圖所示，連結 AC，交 BD于 O，連結 MO， 由 ABCD是平行四邊形得 O是 AC的中點．又 M是 PC的中點， 知 AP∥ OM， AP?平面 BMD， DM?平面 BMD，故 PA∥ 平面 BMD. 由平面 PAHG∩平面 BMD＝ GH，知 PA∥ GH. 證明面面平行的方法有： 1．面面平行的定義； 2．面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行 于另一個平面，那么這兩個平面平行； 3．利用垂直于同一條直線的兩個平面平行； 4．兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行； 5．利用 “ 線線平行 ” 、 “ 線面平行 ” 、 “ 面面平行 ” 的相互轉化． 如圖所示，正方體 ABCD－ A1B1C1D1中． (1)求證：平面 A1BD∥ 平面 B1D1C； (2)若 E、 F分別是 AA CC1的中點， 求證：平面 EB1D1∥ 平面 FBD. 思維點撥： (1)證 BD∥ 平面 B1D1C， A1D∥ 平面 B1D1C； (2)證 BD∥ 平面 EB1D1， DF∥ 平面 EB1D1. 【 例 3】 證明： (1)由 B1B綊 DD1，得四邊形 BB1D1D是平行四邊形， ∴ B1D1∥ BD，又 BD?平面 B1D1C， B1D1?平面 B1D1C， ∴ BD∥ 平面 A1D∥ 平面 B1D1C. 而 A1D∩BD＝ D， ∴ 平面 A1BD∥ 平面 B1D1C. (2)由 BD∥ B1D1，得 BD∥ 平面 EB1D1. 取 BB1中點 G，得 AE綊 B1G，從而 B1E∥ AG. 又 GF綊 AD， ∴ AG∥ DF. ∴ B1E∥ DF， ∴ DF∥ 平面 EB1D1. 又 BD∩DF＝ D， ∴ 平面 EB1D1∥ 平面 FBD. 如圖所示，三棱柱 ABC－ A1B1C1中， D是 BC上一點， 且 A1B∥ 平面 AC1D， D1是 B1C1的中點． 求證：平面 A1BD1∥ 平面 AC1D. 變式 3： 證明 ： 如圖所示，連結 A1C交 AC1于 E. ∵ 四邊形 A1ACC1是平行四邊形， ∴ E是 A1C的中點，連結 ED. ∵ A1B∥ 平面 AC1D， 平面 A1BC∩ 平面 AC1D=ED， ∴ A1B∥ ED. ∵ E是 A1C的中點 ， ∴ D是 BC的中點． ∵ D1是 B1C1的中點 ， BD1∥ C1D， A1D1∥ AD， 又 A1D1∩ BD1=D1， ∴ 平面 A1BD1∥ 平面 AC1D. 面面平行的性質定理的應用
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