平面的性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系(編輯修改稿)
2024-12-29 11:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 題： ① 若直線 a 、 b 是異面直線， b 、 c 是異面直線， 則 a 、 c 是異面直線； ② 若直線 a 、 b 相交， b 、 c 相交，則 a 、 c 相交； ③ 若 a ∥ b ，則 a 、 b 與 c 所成的角相等； ④ 若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，則 a ∥ c . 其中真命題的個(gè)數(shù)是 __ ______ ． 變式訓(xùn)練 2如圖， ① 若 A 1 A 為 b ， CD 為 a ， BC 為 c ， 則 a 、 c 不異面， ∴① 不正確． 主頁 ② 若 A 1 A 為 b ， AB 為 a ， A 1 B 1 為 c ， 則 a ∥ c ， ∴② 不正確． 若 AA 1 為 b ， AB 為 a ， AD 為 c ， 則 a ⊥ b ， a ⊥ c ， b ⊥ c ， 且 a 與 c 相交，故 ④ 也不正確． ③ 由異面直線所成角的定義或等角定理知 ③ 正確． 主頁 例 3 已知空間四邊形 ABCD 中， E 、 H 分別是邊 AB 、 AD 的中點(diǎn)， F 、 G 分別是邊 BC 、 CD 上的點(diǎn)． ( 1) 求證： BC 與 AD 是異面直線； ( 2) 求證： EG 與 FH 相交． 證明 ( 1) 假設(shè) BC 與 AD 共面，不妨設(shè)它們所共平面為 α ，則B 、 C 、 A 、 D ∈ α . ∴ 四邊形 ABCD 為平面圖形，這與四邊形 A BC D 為空間四邊形相矛盾 . ∴ BC 與 AD 是異面直線． 空間兩條直線的位置關(guān)系 主頁 ( 2) 如圖，連結(jié) AC ， BD ， 則 EF ∥ AC ， HG ∥ AC ， 因此 EF ∥ HG ；同理 EH ∥ FG ， 則 EF G H 為平行四邊形． 又 EG 、 FH 是 ? E FGH 的對(duì)角線， ∴ EG 與 HF 相交． 主頁 在長方體 ABCD — A1B1C1D1的 A1C1面 上有一點(diǎn) P ( 如圖所示，其中 P 點(diǎn)不在 對(duì)角線 B1D1) 上． (1) 過 P 點(diǎn)在空間作一直線 l ，使 l ∥ 直線 BD ，應(yīng)該如何作圖？并說明理由； (2) 過 P 點(diǎn)在平面 A1C1內(nèi)作一直線 m ，使 m 與直線 BD 成 α角，其中 α ∈??????0 ，π2，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？ 變式訓(xùn)練 2解 ( 1) 連結(jié) B 1 D 1 ， BD ，在平面 A 1 C 1 內(nèi)過 P 作直線 l， 使 l ∥ B 1 D 1 ，則 l 即為所求作的直線． 主頁 ∵ B1D1∥ BD ， l ∥ B1D1， ∴ l ∥ 直線 BD . 如圖 (1) (1) ( 2) 在平面 A 1 C 1 內(nèi)作直線 m ，使直線 m 與 B 1 D 1 相交成 α 角，∵ BD ∥ B 1 D 1 ， ∴ 直線 m 與直線 BD 也成 α 角，即直線 m 為所求作的直線，如圖 ( 2) ．由圖知 m 與 BD 是異面直線，且 m與 BD 所成的角 α ∈??????0 ，π2. 主頁 ( 2) 當(dāng) α ＝π2 時(shí)，這樣的直線 m 有且只有一條，當(dāng) α ≠π2 時(shí)，這樣的直線 m 有兩條． 主頁 (5 分 ) 在正方體 AB CD — A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分別為棱 AA 1 ， CC 1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線 A 1
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