【文章內(nèi)容簡介】 x軸的直線，故要進行討論 . （ 2）使用點到直線的距離公式時，必須把直線方程化為一般式 . 舉一反三 3. 與直線 2x+3y+5=0平行，且距離等于 的直線方程是 ——. 13答案 2x+3y+18=0或 2x+3y8=0 解析 ∵ 所求直線 與直線 :2x+3y+5=0平行， ∴ 可設 ： 2x+3y+C=0,由 與 距離為 ，得 ,解得 C=18或 C=8, ∴ 所求直線 的方程為 2x+3y+18=0或 2x+3y8=0. l 0ll l 0l 135 1313C ? ?l題型三 交點及直線系問題 【 例 3】 求經(jīng)過直線 :3x+2y1=0和 :5x+2y+1=0的交點且垂直于直線 :3x5y+6=0的直線 的方程 . 1l 2l3l l分析 本題可以先求交點坐標，然后由直線間位置關(guān)系求解，也可以先設出直線系方程，后代入點具體求解 . 3x+2y1=0, 解 方法一：由 得 , 的交點 P(1,2). 5x+2y+1=0, 又 的斜率 ∴ 的斜率 k= , ∴ :y 2= (x+1),即 5x+3y1=0. 方法二：由 ⊥ ,可設 :5x+3y+C=0. ∵ , 的交點可以求得為 P(1,2). ∴5 (1)+3 2+C=0,∴C= 1, ∴ :5x+3y 1=0. 1l 2l3l 3 3,5k ? l 53l 53l 3l l1l 2ll?方法三： ∵ 過 , 的交點， 故設 :3x+2y1+λ(5x+2y+1)=0 ， 即（ 3+5λ ） x+(2+2λ)y+( 1+λ)=0 ， ∴ ,解得 λ= , 代入上式整理得 :5x+3y1=0. l 1l 2ll3 5 52 2 3???? ? ??15l學后反思 三種解法都能比較迅捷地解決問題，但方法一、方法二都是在兩直線的斜率存在的前提下進行的，如果其中含有字母參數(shù)之類的，則要進行分類討論；運用直線系方程時，則必須對直線系中不包含的直線進行檢驗 .因此，本題的三種解法應該是各有優(yōu)缺點 . 舉一反三 4. 已知兩直線 :x+2=0, :4x+3y+5=0,定點 A(1,2),求過 , 的交點 且與點 A的距離等于 1的直線 . 1l 2l 1l 2ll解析 方法一： , 的交點為（ 2， 1） . 若直線 斜率存在，設所求的直線方程為 y1=k(x+2), 即 kxy+2k+1=0. ① ∵ 所求直線 與點 A(1,2)的距離為 1, ∴ , 得 k= ,代入① ,得 所求直線 的方程為 4x+3y+5=0. 若直線 斜率不存在，即判斷過點（ 2， 1）且與 y軸平行的直線 x=2是否 符合所求直線 的條件 . ∵ 點 A（ 1， 2）到直線 x=2的距離為 1， ∴ 直線 x=2，即 x+2=0也符合直線 的要求， 故所求直線 的方程是 x+2=0和 4x+3y+5=0. 1l 2lll22 2 1 11kkk? ? ? ? ??43lllll方法二： , 的交點為（ 2， 1）， 過 , 交點的直線系方程是（ x+2） +λ(4x+3y+5)=0, λ 是參數(shù)，化簡得 (1+4λ)x+3λy+(2+5λ)=0 ， ② 由 ,得 λ=0. 代入方程②，得 x+2=0. 又 ∵ 直線系方程②中不包含 , ∴ 應檢驗 是否也符合所求 的條件 . ∵ 點（ 1， 2）到 的距離為 ∴ 也符合要求， 故所求直線 的方程是 x+2=0和 4x+3y+5=0. 1l 2l1l 2l? ? ? ? ? ?? ? ? ?221 1 4 2 3 2 5 11 4 3? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???2l2l l2l 22465 143? ? ? ??2ll題型四 對稱問題 【 例 4】 (12分 )光線沿直線 :x2y+5=0射入，遇直線 :3x2y+7=0后反 射，求反射光線所在的直線方程 . 1l l分析 本題用光學原理得入射光線與反射光線所在的直線關(guān)于直線 對稱，用對稱點方法求出入射光線上一點 P關(guān)于 的對稱點，再由兩點式寫出方程 . ll 3x2y+7=0, x=1, 解 方法一：由 得 x2y+5=0, y=2, 即反射點 M的坐標為 (1,2)…………………………………… ..2′ 又取直線 x2y+5=0上一點 P（ 5， 0），設點 P關(guān)于直線 的對稱點為 由 PP′⊥ , 可知 ………………………… .. 4′ 而 PP′ 的中點 Q的坐標為 ? ?l? ?0039。,P x yl 039。0235PPykx? ? ? ?005 ,22xy???????又 Q點在 上， ∴ 聯(lián)立 解得 l 0053 2 7 022xy?? ? ? ? ?? ?00002 ,533 5 7 02yxxy???? ? ? ?0017133213xy??????即 P′ 點坐標為 …………………………… ...10′ 反射光線過 M(1,2)和 P′ 根據(jù)直線的兩點式方程 ,可得 反射光線所在的方程為 29x2y+33=0…………………………… .12 17 32,13 13????????17 32,13 13????????方法二：設直線 x2y+5=0上任意一點 關(guān)于直線 的對稱點 P′(x,y), 則 ……………………………………… 3′ 又 PP′ 的中點 在 上， ? ?00,P x y l0023yyxx? ???00,22x x y yQ ????????l∴ , …………………………………… 6′ 由 …………………………………………………………………… ..9′ 代入方程 x2y+5=0中，化簡得 29x2y+33=0, 即所求反射光線所在直線方程為 29x2y+33=0……………… ..12′ 003 2 7 022x x y y??? ? ? ? ?? ?00002 ,33 7 02yyxxxx yy?? ??? ????? ? ? ? ? ???005 1 2 4 2131 2 5 2 813xyxxyy? ? ?? ???? ???? ???學后反思 比較兩種解法可知，對于直線的對稱問題，都是轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱或點關(guān)于點的對稱問題來解決的 .其中，方法一通過求點關(guān)于直線的對稱點坐標，用兩點式方程求解；方法二則利用了軌跡思想求對稱直線的方程，是求解曲線關(guān)于直線對稱問題的通法 . 舉一反三 5. 已知 A(7,4)關(guān)于直線 的對稱點為 B（ 5， 6），則直線 的方程是 ( ) A. 5x+6y11=0 B. 6x5y1=0 C. 6x+5y11=0 D. 5x6y+1=0 l l解析 ∵ AB的中點（ 1， 1）在直線 上 , 又 ,即所求直線的斜率 k= , ∴ 所求直線 的方程為 y1= (x1),即 6x5y1=0. l56ABk ?? 65l 65答案 B 易錯警示 【 例 】 已知一直線 經(jīng)過點 P(1,2)且與點 A(2,3)和 B（ 0， 5）距離相等，求此直線的方程 . l錯解 方法一：設所求直線方程為 y2=k(x1), 即 kxyk+2=0， ∴ ,即｜ k1｜ =｜ k7｜， 解得 k=4， ∴ 所求直線方程為 4xy2=0. 方法二：由已知 ∥ AB,又 ∴ :y2=4(x1)，即 4xy2=0. 222 3 2 0 5 211k k kkk? ? ? ? ? ????l 35 42ABk ???l錯解分析 方法一中忽視了斜率可能不存在的情況，方法二中忽視 了 可以過 AB中點的情況 . l正解 方法一：當 斜率不存在時，直線方程為 x=1,滿足條件 . 當斜率存在時，解法同錯解中 “ 方法一 ” . 方法二：當 過 AB中點時，直線方程為 x=1. 當 ∥ AB時，解法同錯解中 “ 方法二 ” . 綜上 ,直線 的方程為 x=1或 4xy2=0. llll考點演練 10. (2020青島模擬）平行四邊形兩鄰邊方程是 x+y+1=0和 3xy+4=0,對 角線交點為（ 3， 3），則另兩邊的方程為 ——和 ——. 解析 方法一：所求直線與已知直線關(guān)于（ 3， 3）中心對稱，故方程為 （ 6x） +(6y)+1=0和 3(6x)(6y)+4=0,即 x+y13=0和 3xy16=0. 方法二：所求直線與已知直線分別平行，且過已知兩直線的交點關(guān)于（ 3， 3）的對稱點 .設 :x +y+ =0, :3xy+ = x+y+1=0, x= 標滿足 解得 3xy+4=0, y= 即 ,它關(guān)于（ 3， 3）的對稱點為 將 代入 , ，解得 =13, =16. 所以所求直線 :x+y13=0, :3xy16=0. 1l 2l? ?54?1451,44??????? 29 23,44??????29 23,44?????? 1l 2l1c 2c1c 2c1l 2l答案 x+y13=03xy16=0 11. 已知正方形的中心為直線 2xy+2=0與 x+y+1=0的交點，正方形一邊所 在的直線方程為 x+3y5=0,求正方形的其他三邊所在的直線方程 . 解析 設與直線 :x+3y5=0平行的邊所在的直線方程為 :x+3y+c=0. 2xy+2=0， 由 得正方形的中心坐標 P(1,0), x+y+1=0 由點 P到兩直線 , 的距離相等，得 , 解得 c=5或 c=7(5不合題意，舍去 )， ∴ :x+3y+7=0. 又 ∵ 正方形另兩邊所在直線與 垂直， ∴ 設另兩邊方程為 3xy+a=0,3xy+b=0. ∵ 正方形中心到四條邊的距離相等， ∴ ，解得 a=9或 a=3, ∴ 正方形的其他兩條邊所在的直線方程為 3xy+9=0,3xy3=0. ∴ 正方形的其他三邊所在的直線方程為 3xy+9=0,x+3y+7=0,3xy3=0. l1l?l 1l2 2 2 21 5 11 3 1 3c? ? ? ????1ll2 2 2 23 1 53 1 1 3a? ? ? ????12. 光線從 A(3,4)點射出，到 x軸上的 B點后，被 x軸反射到 y軸上的 C點，又被 y軸反射，這時反射線恰好過點 D（ 1， 6），求 BC所在直線的方程 . 解析 方法一：如圖所示，依題意， B點在原點 O左側(cè)，設其坐標為（ a,0） ,由反射角等于入射角，得 ∠ 1=∠2,∠3=∠4, ∴