第32講不等式解法及應用(編輯修改稿)
2025-07-26 16:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，去分母得－x2＋x＋6＞－x2－x＋6。即2x＞0 注意0＜x＜2，得0＜x＜2。綜上得0＜x＜，所以選C。解法二：=2，適合不等式，排除A；取x=，不適合不等式，排除D；再取x=，不適合不等式，所以排除B；選C。點評：此題考查不等式的解法、直覺思維能力、估算能力。例4．（1）（1995全國理，16）不等式（）＞3－2x的解集是_____。（2）（2002全國文5，理4）在（0，2π）內(nèi)，使sinx＞cosx成立的x取值范圍為（ ）A.（，）∪（π，） B.（，π）C.（，） D.（，π）∪（，）（3）（06山東理，3）設f(x)= 則不等式f(x)2的解集為（ ）(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）解析：（1）答案：｛x|－2＜x＜4｝將不等式變形得則－x2＋8＞－2x，從而x2－2x－8＜0，（x＋2）（x－4）＜0，－2＜x＜4，所以不等式的解集是｛x|－2＜x＜4｝．評述：此題考查指數(shù)不等式的解法；（2）答案：C解法一：作出在（0，2π）區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點的橫坐標和，由圖4—6可得C答案。圖4—6 圖4—7解法二：在單位圓上作出一、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應選C.（如圖4—7）。（3）C；點評：特殊不等式的求解，轉(zhuǎn)化是一方面，借助于函數(shù)的性質(zhì)和圖象也是解決問題的有效手段。題型3：含參數(shù)的不等式的求解問題例5．（1）設不等式x2－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實數(shù)a的取值范圍？（2）解關于x的不等式＞1(a≠1)。分析：該題實質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關鍵所在；數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗。解析：（1）M［1，4］有兩種情況：其一是M=，此時Δ＜0；其二是M≠，此時Δ=0或Δ＞0，分三種情況計算a的取值范圍。設f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)當Δ＜0時，－1＜a＜2，M=［1，4］；當Δ=0時，a=－1或2；當a=－1時M={－1}［1，4］；當a=2時，m={2}［1，4］。當Δ＞0時，a＜－1或a＞2。設方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4，即，解得2＜a＜，∴M［1，4］時，a的取值范圍是(－1，)。（2）原不等式可化為：＞0，①當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解。由于，∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞)。 ②當a＜1時，原不等式與(x－)(x－2) ＜0同解。由于，若a＜0，解集為(，2)；若a=0時，解集為；若0＜a＜1，解集為(2，)。綜上所述：當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2)。點評：考查二次不等式的解與系數(shù)的關系及集合與集合之間的關系。本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關系及集合與集合之間的關系，以及分類討論的數(shù)學思想。 M=是符合題設條件的情況之一，出發(fā)點是集合之間的關系考慮是否全面，易遺漏；構(gòu)造關于a的
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