必學(xué)2、選修11解析幾何(編輯修改稿)
2024-07-26 12:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 b0上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)F2為焦點，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，則aca+c=tanα2cotβ2；1設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1ab0的兩個焦點分別為FF2，P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在ΔPF1F2中，記∠F1PF2=α，∠PF1F2=β，∠F1F2P=γ，則sinαsinβ+sinγ=ca=e；1已知橢圓x2a2+y2b2=1ab0，O為坐標原點，P、Q為橢圓上的兩動點，且OP⊥OQ，則有： （1）1OP2+1OQ2=1a2+1b2； （2）OP2+OQ2的最大值為4a2b2a2+b2； （3）SΔOPQ的最小值是a2b2a2+b2；1過橢圓x2a2+y2b2=1ab0的右焦點F作直線交于該橢圓右支于M、N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點P，則PFMN=e2；1已知橢圓x2a2+y2b2=1ab0，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點Px0，0，則a2b2ax0a2b2a；1P為橢圓x2a2+y2b2=1ab0上任一點，F(xiàn)F2為橢圓的兩個焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則2aAF2≤PA+PF1≤2a+AF1，當且僅當A、FP三點共線時，等號成立；橢圓xx02a2+yy02b2=1與直線Ax+By+C=0有公共點的充要條件是A2 a + B2 b ≥ A x0 + B y0 + C 2；2橢圓x2a2+y2b2=1ab0上任意一點P處的切線PT平分ΔPF1F2在點P處的外角；2PT平分ΔPF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點；2以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切；2以橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直；2以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離；2過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q， A1，A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF；2過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直；2若橢圓x2a2+y2b2=1ab0的左右焦點分別為FF2，左準線為l，0e≤21時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準線距離d與PF2的比例中項；2已知橢圓x2a2+y2b2=1ab0，的右準線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點,點C在右準線l上，且BC⊥x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點。（四）解決橢圓問題時的方法和規(guī)律求橢圓標準方程的常用方法：（1）待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值，其步驟是“先定型，再定量”；（2）定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定其方程。橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義：橢圓標準方程中，三個量的大小與坐標軸無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為ab0，ac0且a2=b2+c2。確定橢圓的標準方程：任何橢圓都有一個對稱中心、兩條對稱軸，當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，橢圓的方程才是標準方程形式，此時，橢圓焦點在坐標軸上；確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件a、b；一個定位條件是焦點坐標，由焦點坐標的形式確定橢圓標準方程的類型。由橢圓標準方程判斷焦點位置：橢圓的焦點總在長軸上，因此已知橢圓標準方程，判斷焦點位置的方法是：看xy2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示橢圓的條件：方程Ax2+By2=C可化為Ax2C+By2C=1，亦即x2CA+y2CB=1，所以只有A、B、C同號，且A≠B，方程表示橢圓，當CACB時，橢圓的焦點在x軸上；當CACB時，橢圓的焦點在y軸上。求解與焦點三角形ΔPF1F2有關(guān)的計算問題時，常要考慮橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式SΔF1PF2=12PF1PF2sin∠F1PF2相結(jié)合的方法進行計算解題； 將有關(guān)線段PFPFF1F2，和有關(guān)角∠F1PF∠PF1F∠F1F2P結(jié)合起來，建立PFPFPF1+PF2之間的關(guān)系。共焦點的橢圓標準方程有在形式上的差異，由于共焦點，則c相同，與x2a2+y2b2=1ab0共焦點的橢圓方程可設(shè)為x2a2+m+y2b2+m=1mb2，此類問題常用待定系數(shù)法解決。四、圓錐曲線——雙曲線（一）雙曲線的定義和雙曲線方程雙曲線的定義：（1）雙曲線的第一定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長F1F2的點的軌跡叫做雙曲線PF1PF2=2aF1F2，兩個定點叫做雙曲線的兩個焦點；（2）雙曲線的第二定義：動點到一定點F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e(e＞1)時，這個動點的軌跡是雙曲線。這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。對于雙曲線的第一定義的解釋：（1）注意雙曲線定義中是距離之差的絕對值，并且2aF1F2；（2）當PF1PF2=2a時，軌跡僅表現(xiàn)雙曲線焦點F1一側(cè)的一支； 當PF1PF2=2a時，軌跡僅表現(xiàn)雙曲線焦點F2一側(cè)的一支； 當2a=F1F2時，軌跡是一直線上以FF2為端點的向外的兩條射線； 當2aF1F2時，軌跡不存在。雙曲線的標準方程：（1）當雙曲線的焦點在x軸上時，標準方程為x2a2y2b2=1a0，b0；（2）當雙曲線的焦點在y軸上時，標準方程為y2a2x2b2=1a0，b0；（3）對于雙曲線的標準方程的解釋：在雙曲線的標準方程中，b2=c2a2，其中F1F2=2c，a叫做實半軸長，b叫做虛半軸長，焦點總在實軸上；如果x2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上。 a不一定大于b。雙曲線的參數(shù)方程：（1）中心為原點，焦點在x軸的雙曲線x2a2y2b2=1a0，b0的參數(shù)方程為x=asecφy=btanφφ為參數(shù)（2）中心為原點，焦點在y軸的雙曲線y2a2x2b2=1a0，b0的參數(shù)方程為y=asecφx=btanφφ為參數(shù)（二）雙曲線x2a2y2b2=1a0，b0的簡單幾何性質(zhì)范圍：雙曲線x2a2y2b2=1a0，b0的范圍是x≥a，y∈R；對稱性：關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱；頂點：軸端點A1a，0、A2a，0；離心率：定義e=ca叫做雙曲線的離心率，其中離心率的轉(zhuǎn)化公式還有e=1+b2a2，離心率的范圍是e∈1，+∞；漸近線：（1）若雙曲線的方程為x2a2y2b2=1a0，b0，則雙曲線的漸近線方程為x2a2y2b2=0，即y=177。bax；（2）若雙曲線的方程為y2a2x2b2=1a0，b0，則雙曲線的漸近線方程為y2a2x2b2=0，即y=177。abx；（3）雙曲線的形狀與離心率e的關(guān)系：k=ba=c2a2a=c2a21=e21，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊，即雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。雙曲線x2a2y2b2=1a0，b0和y2a2x2b2=1a0，b0的性質(zhì)比較：標準方程x2a2y2b2=1
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