必學(xué)2、選修11解析幾何-wenkub.com
2025-06-26 12:53 本頁面
【正文】 當(dāng)kmina2，b2時(shí)，表示橢圓；當(dāng)mina2，b2kmaxa2，b2時(shí)，表示雙曲線。這定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是拋物線的離心率。與雙曲線x2a2y2b2=1a0，b0共漸近線的雙曲線系方程是x2a2y2b2=kk≠0；與雙曲線x2a2y2b2=1a0，b0共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是x2a2+ky2b2+k=1；弦長公式：若直線y=kx+b與雙曲線相交于A、B兩個(gè)點(diǎn)，且x1，x2分別為A、B的橫坐標(biāo)，則AB=1+k2x1x2；若y1，y2分別為A、B的縱坐標(biāo)，則AB=1+1k2y1y2；以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）；過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以實(shí)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直；雙曲線焦點(diǎn)三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）；雙曲線焦點(diǎn)三角形中，其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線分成定比e（離心率）；1雙曲線焦點(diǎn)三角形中，半焦距必為內(nèi)外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng)；1若點(diǎn)P0x0，y0在雙曲線x2a2y2b2=1a0，b0內(nèi)，則被P0所平分的中點(diǎn)弦的方程是x0xa2y0yb2=x02a2y02b2；1若點(diǎn)P0x0，y0在雙曲線x2a2y2b2=1a0，b0內(nèi)，則過P0的弦中點(diǎn)的軌跡方程是x2a2y2b2=x0xa2y0yb2；1若點(diǎn)P0x0，y0在雙曲線x2a2y2b2=1a0，b0上，則過P0的雙曲線的切線方程為x0xa2y0yb2=1；1若點(diǎn)P0x0，y0在雙曲線x2a2y2b2=1a0，b0外，則過P0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為PP2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是x0xa2y0yb2=1；1設(shè)雙曲線x2a2y2b2=1a0，b0的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為FF2，P（異于實(shí)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在ΔPF1F2中，記∠F1PF2=α，∠PF1F2=β，∠F1F2P=γ，則sinα177。ba時(shí)，直線并與雙曲線相交于一點(diǎn)；③kba或kba或k不存在時(shí)，直線與雙曲線的一支有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)Px0，y0在雙曲線上時(shí)： ①當(dāng)k=177。焦點(diǎn)弦：過焦點(diǎn)的直線割雙曲線所形成的弦；通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的相交弦，通徑長為2b2a。baxy=177。abx；（3）雙曲線的形狀與離心率e的關(guān)系：k=ba=c2a2a=c2a21=e21，e越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值就越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊，即雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b2=1a0，b0；（2）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2x2b2=1a0，b0；（3）對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的解釋：在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，b2=c2a2，其中F1F2=2c，a叫做實(shí)半軸長，b叫做虛半軸長，焦點(diǎn)總在實(shí)軸上；如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上。共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有在形式上的差異，由于共焦點(diǎn)，則c相同，與x2a2+y2b2=1ab0共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為x2a2+m+y2b2+m=1mb2，此類問題常用待定系數(shù)法解決。方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示橢圓的條件：方程Ax2+By2=C可化為Ax2C+By2C=1，亦即x2CA+y2CB=1，所以只有A、B、C同號(hào)，且A≠B，方程表示橢圓，當(dāng)CACB時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)CACB時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上。（四）解決橢圓問題時(shí)的方法和規(guī)律求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：（1）待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值，其步驟是“先定型，再定量”；（2）定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定其方程。a2c焦半徑PF1=a+ex0，PF2=aex0PF1=a+ey0，PF2=aey0橢圓x2a2+y2b2=1ab0的圖像中線段的幾何特征：（1）PF1+PF2=2a，PF1PM1=PF2PM2=e。b0，177。頂點(diǎn)：（1）橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)；（2）橢圓x2a2+y2b2=1ab0與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，分別為A1a，0，A2a，0，B10，b，B20，b；（3）線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，A1A2=2a，B1B2=2b，其中a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的參數(shù)方程： （1）中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的橢圓x2a2+y2b2=1ab0的參數(shù)方程為x=acosφy=bsinφφ為參數(shù) （2）中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的橢圓y2a2+x2b2=1ab0的參數(shù)方程為x=bcosφy=asinφφ為參數(shù)（二）橢圓簡單幾何性質(zhì)（以橢圓x2a2+y2b2=1ab0的性質(zhì)為例，另外一種形式的同理）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=177。r1+k2。（二）點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系： 點(diǎn)Px0，y0與圓xa2+yb2=r2的位置關(guān)系有三種，定義d=ax02+by02為點(diǎn)P到圓心的距離，則： （1）dr?點(diǎn)P在圓外；（2）d=r?點(diǎn)P在圓上；（3）dr?點(diǎn)P在圓內(nèi)；直線與圓的位置關(guān)系： 直線l：Ax+By+C=0與圓C：xa2+yb2=r2的位置關(guān)系有三種，定義d=Aa+Bb+CA2+B2為圓心到直線的距離，則：（1）dr?相離?Δ0；（2）d=r?相切?Δ=0；（3）dr?相交?Δ0；圓與圓的位置關(guān)系： 設(shè)兩圓圓心分別為OO2，半徑分別為rr2，設(shè)兩圓圓心的距離O1O2=d，則： （1）dr1+r2?外離?4條公切線； （2）d=r1+r2?外切?3條公切線； （3）r1r2dr1+r2?相交?2條公切線； （4）d=r1r2?內(nèi)切?1條公切線； （5）0dr1r2?內(nèi)含?無公切線。 （2）以a，b為圓心的同心圓圓系方程為xa2+yb2=λ2λ0； 與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+λ=0。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E24F0表示的是以D2，E2為圓心，以r=12D2+E24F為半徑的圓。二、圓與圓的方程（一）圓的方程圓的定義：（1）圓的第一定義：在同一平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓。兩直線平行或垂直的判定： （1）若直線l1：y=k1x+b1，直線l2：y=k2x+b2，則l1//l2?k1=k2，b1≠b2，l1⊥l2?k1k2=1。（2）共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+λA2x+B2y+C2=0（除l2），其中λ是待定的系數(shù)。斜率存在且不為零，且直線l不過原點(diǎn)。時(shí)，其方程為y=y0。直線傾斜角與斜率的關(guān)系 當(dāng)α∈0，π2時(shí)，k≥0；當(dāng)α∈π2，π時(shí)，k0；當(dāng)α=π2時(shí)，k不存在。直線傾斜角的范圍：0176?！堞?80176。直線斜率的表達(dá)形式 k=tanθ 適用范圍：已知直線傾斜角求斜率
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