必學2、選修11解析幾何(已修改)
2025-07-11 12:53 本頁面
【正文】 解析幾何一、直線與直線方程（一）直線的斜率與傾斜角直線傾斜角的定義當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；特別地，當直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0176。直線傾斜角的范圍：0176?！堞?80176。直線斜率的定義 當直線的傾斜角不為90176。時，直線傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，斜率反映直線與軸的傾斜程度；直線斜率通常用k表示。直線傾斜角與斜率的關系 當α∈0，π2時，k≥0；當α∈π2，π時，k0；當α=π2時，k不存在。直線斜率的表達形式 k=tanθ 適用范圍：已知直線傾斜角求斜率 k=y1y2x1x2 適用范圍：已知兩點坐標x1，y1和x2，y2，并且x1≠x2 k=f39。x0 適用范圍：已知函數(shù)y=fx在x=x0處的導數(shù)（二）直線方程的表達形式直線方程的五種表達形式形式確定條件方程說明點斜式過點P0x0，y0斜率k存在yy0=kxx0當直線l的傾斜角為90176。時，直線的斜率不存在，這時直線l的方程為x=x0；當直線l的傾斜角為0176。時，其方程為y=y0。斜截式斜率k存在，縱截距為by=kx+b直線l的橫截距為bk，縱截距為b兩點式過點P1x1，yP2x2，y2，且x1≠x2，y1≠y2yy1y2y1=xx1x2x1斜率存在且不為零。斜率為y1y2x1x2。當x1≠x2，y1=y2時，P1P2//x軸，這時直線l的方程為y=y1或y=y2；當x1=x2，y1≠y2時，P1P2⊥x軸，這時直線l的方程為x=x1或x=x2．截距式橫截距為a， 縱截距為b，a≠0，b≠0xa+yb=1與x軸交點為a，0；與y軸交點為0，b。斜率存在且不為零，且直線l不過原點。斜率為ba。一般式A，B不同時為零A2+B2≠0Ax+By+C=0當B≠0時，其斜率為AB，在y軸上的截距為CB；當B=0，A≠0時，在x軸上的截距為CA。四種常用直線系（1）定點直線系方程： 經(jīng)過定點P0x0，y0的直線系方程為yy0=kxx0（除直線x=x0），其中k是待定的系數(shù)；經(jīng)過定點P0x0，y0的直線系方程為Axx0+Byy0=0，其中A，B是待定的系數(shù)。（2）共點直線系方程：經(jīng)過兩直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+λA2x+B2y+C2=0（除l2），其中λ是待定的系數(shù)。（3）平行直線系方程：與直線y=k1x+b1平行的直線系方程為y=k1x+b2，其中b1≠b2；表示平行直線Ax+By+C=0系的方程為Ax+By+λ=0，其中λ為參變量，λ≠C。（4）垂直直線系方程：與直線y=k1x+b1垂直的直線系方程為y=1k1x+λ，其中λ∈R；表示與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程為BxAy+λ=0，其中λ為參變量。（三）兩直線平行與垂直的判定兩直線交點的判斷： 已知直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0； （1）若方程組A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0有且只有唯一一組解，那么這一組解即為交點坐標； （2）若方程組無解，則l1//l2；同理，若l1//l2，則方程組無解； （3）若方程組有無數(shù)組解，則l1與l2重合；同理，若l1與l2重合，則方程組無解。兩直線平行或垂直的判定： （1）若直線l1：y=k1x+b1，直線l2：y=k2x+b2，則l1//l2?k1=k2，b1≠b2，l1⊥l2?k1k2=1。 （2）若直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0,其中AABB2均不為0，則l1//l2?A1A2=B1B2≠C1C2，l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.（四）點到直線的距離兩點間距離公式： 已知兩點坐標P1x1，yP2x2，y2，則P1P2=x1x22+y1y22；特別地，平面直角坐標系內(nèi)的某一點P0x0，y0到原點的距離OP0=x02+y02。點到直線的距離公式： 已知某一點P0x0，y0和某一直線l：Ax+By+C=0，則點P0到直線l的距離d=Ax0+By0+CA2+B2。兩平行線間的距離：兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長。二、圓與圓的方程（一）圓的方程圓的定義：（1）圓的第一定義：在同一平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。這個定點叫做圓的圓心。（2）圓的第二定義：平面內(nèi)一動點到兩定點的距離的比，等于一個不為1的常數(shù)，則此動點的軌跡是圓。圓的一般方程： 以a，b為圓心，以r為半徑的圓的一般方程可表示為xa2+yb2=r2。圓的標準方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E24F0表示的是以D2，E2為圓心，以r=12D2+E24F為半徑的圓。 對于圓的標準方程x2+y2+Dx+Ey+F=0： （1）當D2+E24F0時，其表示的軌跡是圓； （2）當D2+E24F=0時，其表示的軌跡是點D2，E2； （3）當D2+E24F0時，方程不表示任何圖形。圓的直徑方程： 以Ax1，yBx2，y2為直徑端點的圓的方程為xx1xx2+yy1yy2=0.圓的參數(shù)方程： 以a，b為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程可表示為x=x0+rcosθy=y0+rsinθθ為參數(shù)，且θ∈R。圓系方程： （1）過定點Ax1，yBx2，y2的圓系方程是xx1xx2+yy1yy2+λxx1y1y2yy1x1x2=0，或可以表示為xx1xx2+yy1yy2+λAx+By+C=0，其中Ax+By+C=0表示的是經(jīng)過點A和點B的直線。 （2）以a，b為圓心的同心圓圓系方程為xa2+yb2=λ2λ0； 與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+λ=0。 （3）過直線l：Ax+By+C=0與圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λAx+By+C=0，其中λ是待定的系數(shù)。 （4）過兩圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λx2+y2+D2x+E2y+F2=0，其中λ為待定的系數(shù)。 特別地，當λ=1時，上述方程為根軸方程，兩圓相交時，表示公共弦方程，兩圓相切時，表示公切線方程；為避免利用上述圓系方程時討論圓C2，可等價轉(zhuǎn)化為圓C1和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λD1D2x+E1E2y+F1F2=0。（二）點、直線、圓與圓的位置關系點與圓的位置關系： 點Px0，y0與圓xa2+yb2=r2的位置關系有三種，定義d=ax02+by02為點P到圓心的距離，則： （1）dr?點P在圓外；（2）d=r?點P在圓上；（3）dr?點P在圓內(nèi)；直線與圓的位置關系： 直線l：Ax+By+C=0與圓C：xa2+y
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