圖形變換相似三角形綜合應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-26 12:30 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ∠ FPN＝90176。，∴∠1＝∠2∴△ PMF≌△ PNE，∴ PF＝ PE②解：∵ CP＝ ，∴ CN＝ CM＝12∵ CF＝ x，△ PMF≌△ PNE，∴ NE＝ MF＝1－ x∴ CE＝2－ x∵ CF∥ PN，∴ ＝ ，即 ＝ CFPN CGGN x1 CGCG＋ 1∴ CG＝ x1－ x∴ y＝ ＋2－ x（0≤ x＜1）x1－ x（2）當(dāng)△ CEF 與△ EGP 相似時(shí)，點(diǎn) F 的位置有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn) F 在射線 CA 上時(shí)∵∠ GPE＝∠ FCE＝90176。，∠1≠∠ PEG∴∠ G＝∠1，∴ FG＝ FE，∴ CG＝ CE＝ CP在 Rt△ EGP 中， EG＝2 CP＝2 2②當(dāng)點(diǎn) F 在 AC 延長(zhǎng)線上時(shí)∵∠ GPE＝∠ FCE＝90176。，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2∵∠1＝45176。+∠5，∠1＝45176。+∠2，∴∠5＝∠2易證∠3＝∠4，可得∠5＝∠4∴ CF＝ CP＝ ，∴ FM＝ ＋12 2易證△ PMF≌△ PNE，∴ EN＝ FM＝ ＋12∵ CF∥ PN，∴ ＝ ，即 ＝ CFPN CGGN 1－ GNGN∴ GN＝ －12∴ EG＝ －1＋ ＋1＝22 2 2AC BFPDG EAC BPD備用圖AC BFPG E1DAC BM PFG N E15234DAC BFPDEMN21G.. . . ..學(xué)習(xí)參考【例 4】 如圖，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90176。， CE 是斜邊 AB 上的中線， AB＝10，tan A＝ ．點(diǎn) P 是 CE 延43長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PQ⊥ CB，交 CB 延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q．設(shè) EP＝ x， BQ＝ y．（1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式及定義域；（2）連接 PB，當(dāng) PB 平分∠ CPQ 時(shí)，求 PE 的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn) B 作 BF⊥ AB 交 PQ 于 F，當(dāng)△ BEF 和△ QBF 相似時(shí)，求 x 的值．（2022 年上海模擬試題）【解析】 （1）在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90176。， AB＝10，tan A＝ ＝ BCAC 43∴ AC＝6， BC＝8∵ CE 是斜邊 AB 上的中線，∴ CE＝ BE＝ AB＝512∴∠ PCQ＝∠ ABC又∠ PQC＝∠ ACB＝90176。，∴△ PCQ∽△ ABC∴ ＝ ＝ ，即 ＝ CQPC BCAB 45 8＋ y5＋ x 45∴ y＝ x－4（x ＞5）45（2）過(guò)點(diǎn) B 作 BH⊥ PC 于 H∵ PB 平分∠ CPQ， BQ⊥ PQ，∴ BH＝ BQ＝ y∵ BH＝ BC＝ ，∴ x－4＝ 35 245 45 245∴ x＝11（3）∵∠ BQF＝∠ ACB＝90176。，∠ QBF＝∠ A∴△ BFQ∽△ ABCAPC QEBABCE備用圖ABCE備用圖ABPC QE HABPC QEF.. . . ..學(xué)習(xí)參考當(dāng)△ BEF 和△ QBF 相似時(shí)，則△ BEF 和△ ABC 也相似有兩種情況：①當(dāng)∠ BEF＝∠ A 時(shí)在 Rt△ EBF 中，∠ EBF＝90176。， BE＝5， BF＝ y53∴ （ x－4）＝ 5，解得 x＝1053 45 43②當(dāng)∠ BEF＝∠ ABC 時(shí)在 Rt△ EBF 中，∠ EBF＝90176。， BE＝5， BF＝ y53∴ （ x－4）＝ 5，解得 x＝ 53 45 34 12516∴當(dāng)△ BEF 和△ QBF 相似時(shí)，求 x 的值為 10 或 12516【例 5】 如圖 1，在 Rt△ AOC 中， AO⊥ OC，點(diǎn) B 在 OC 邊上， OB＝6， BC＝12，∠ ABO＋∠ C＝90176。，動(dòng)點(diǎn) M和 N 分別在線段 AB 和 AC 邊上．（1）求證：△ AOB∽△ COA，并求 cosC 的值；（2）當(dāng) AM＝4 時(shí)，△ AMN 與△ ABC 相似，求△ AMN 與△ ABC 的面積之比；（3）如圖 2，當(dāng) MN∥ BC 時(shí)，以 MN 所在直線為對(duì)稱軸將△ AMN 作軸對(duì)稱變換得△ EMN．設(shè)MN＝ x，△ EMN 與四邊形 BCNM 重疊部分的面積為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 x 的取值范圍．（2022 年上海模擬試題）【解析】 （1）∵ AO⊥ OC，∴∠ ABO＋∠ BAO＝90176?！摺?ABO＋∠ C＝90176。，∴∠ BAO＝∠ C∵∠ AOB＝∠ COA，∴△ AOB∽△ COA∴ OB : OA＝ OA : OC∵ OB＝6， BC＝12，∴6 : OA＝ OA : 18∴ OA＝6 3∴ AC＝ ＝ ＝12OC 2＋ OA 2 3∴cos C＝ ＝ ＝ OCAC（2）∵cos C＝ ，∴∠ C＝30176?！遲an∠ ABO＝ ＝ ＝ ，∴∠ ABO＝60176。OAOB 3ABPC QE FAONB C圖 1MAONCBM圖 1AONECBM圖 2.. . . ..學(xué)習(xí)參考∴∠ BAC＝30176。，∴ AB＝ BC＝12①當(dāng)∠ AMN＝∠ ABC 時(shí)（如圖 1），△ AMN∽△ ABC∵ AM＝4，∴ S△ AMN : S△ ABC ＝ AM 2 : AB 2＝4 2 : 12 2＝1 : 9②當(dāng)∠ AMN＝∠ C 時(shí)（如圖 2），△ AMN∽△ ACB∵ AM＝4，∴ S△ AMN : S△ ABC ＝ AM 2 : AC 2＝4 2 :（12 ） 2＝1 : 273（3）易得 S△ ABC ＝ BCOA＝ 126 ＝3612 12 3 3∵ MN/∥ BC，∴△ AMN∽△ ABC∴ S△ AMN : S△ ABC ＝ MN 2 : BC 2，∴ S△ AMN : 36 ＝ x 2 : 12 23∴ S△ AMN ＝ x 2①當(dāng) EN 與線段 AB 相交時(shí)，設(shè) EN 與 AB 交于點(diǎn) F（如圖 3）∵ MN/∥ BC，∴∠ ANM＝∠ C＝30176。∴∠ ANM＝∠ BAC，∴ AM＝ MN＝ x∵以 MN 所在直線為對(duì)稱軸將△ AMN 作軸對(duì)稱變換得△ EMN∴∠ ENM＝∠ ANM＝30176。，∴∠ AFN＝90176?！?MF＝ MN＝ AM＝ x12 12 12∴ S△ FMN : S△ AMN ＝ MF : AM∴ y : x 2＝ x : x＝1 : 212∴ y＝ x 2（0＜x ≤8）②當(dāng) EN 與線段 AB 不相交時(shí)，設(shè) EN 與 BC 交于點(diǎn) G（如圖 4）∵ MN/∥ BC，∴ CN : AC＝ BM : AB∴ CN : 12 ＝（12－x ）: 12，∴ CN＝12 － x3 3 3∵△ CNG∽△ CBA，∴ S△ CNG : S△ ABC ＝ CN 2 : BC 2∴ S△ CNG : 36 ＝（12 － x ） 2 : 12 23 3 3∴ S△ CNG ＝ （12 － x ） 23 3∴ S 陰影 ＝ S△ ABC － S△ AMN － S△ CNG ＝36 － x 2－ （12 － x ） 23 3 3即 y＝－ x 2＋18 x
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