【文章內(nèi)容簡介】 ∠ACB=90176。，又∵CD⊥EF，∴∠CDF=90176。，∴∠BDF=30176。，∴∠BFD=30176。，∴∠BDF=∠BFD，∴BF=BD=4；（2）①證明：由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60176。，∴∠ADC=∠E′CD，∴CE′∥AB，∴∠CE′D=∠BDG，∵BM∥AC，∴∠CED=∠BFD，又∵∠CE′D=∠CED，∴∠BDG=∠BFD，∵∠DBF=∠GBD，∴△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD，得=，∵D為AB的中點，∴BD=AD，又∵BM∥AC，∴∠DBF=∠DAE，∠BFD=∠DEA，在△BFD和△AED中，∵，∴△BFD≌△AED（AAS），∴BF=AE=x，∴=，∴BG=，在Rt△ABC中，AB=8，AC=4，根據(jù)勾股定理得：BC==4，∵點D到直線BM的距離d=BC=2，∴S△DFG=FG?d=（BG﹣BF）?d，即y=（﹣x）2=﹣x（0＜x＜4）；（3）（i）當點G在點F的右側(cè)時，由題意，得6=﹣x，整理，得x2+6x﹣16=0，解得x1=2，x2=﹣8（不合題意，舍去）；（ii）當點G在點F的左側(cè)時，如圖3所示：同理得到S△DFG=FG?d=（BF﹣BG）?d，即y=x﹣（x＞4），由題意，得6=x﹣，整理，得x2﹣6x﹣16=0，解得x3=8，x4=﹣2（不合題意，舍去），綜上所述，AE的值為2或8．點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．　10．（2012?道外區(qū)一模）已知：點P為正方形ABCD內(nèi)部一點，且∠BPC=90176。，過點P的直線分別交邊AB、邊CD于點E、點F．（1）如圖1，當PC=PB時，則S△PBE、S△PCF S△BPC之間的數(shù)量關(guān)系為　S△PBE+S△PCF=S△BPC??；（2）如圖2，當PC=2PB時，求證：16S△PBE+S△PCF=4S△BPG；（3）在（2）的條件下，Q為AD邊上一點，且∠PQF=90176。，連接BD，BD交QF于點N，若S△bpc=80，BE=6．求線段DN的長．考點：相似形綜合題；勾股定理；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：探究型．分析：（1）過點P作PI⊥BC于點I，由PB=PC可知PI∥BE∥CF，故PI是梯形BCFE的中位線，由梯形的中位線定理可知，PI=（BE+CF），由于△PBC是等腰直角三角形，故PI=BI=CI，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（2）過點P作PG⊥EF交BC于點G，∠EPG=90176。，由相似三角形的判定定理得出△EPB∽△GPC，由相似三角形的性質(zhì)可知S△GPC=4S△EPB，同理可得S△EPC=4S△GPB，故可得出結(jié)論；（3）設正方形的邊長為a（a＞0），由PC=2PB，S△BPC=80可求出a的值，由（2）中△EPB∽△GPC，可得出CG=2BE=12，BG=8，CF=16，DF=4，過點P作PM∥AB交BC于點M．交AD于點H，過點P作PT⊥CD于T，由勾股定理可求出DQ的長，當DQ=4時，由等腰三角形的性質(zhì)可求出DN的長，當DQ=12時，過點N作NN1⊥QD于N1，由相似三角形的判定定理得出△QDF∽△QN1N，故可得出NN1的長，再由勾股定理即可得出DN的長．解答：解：（1）如圖1所示：過點P作PI⊥BC于點I，∵PB=PC，∴PI∥BE∥CF，∴PI是梯形BCFE的中位線，∴PI=（BE+CF），∵△PBC是等腰直角三角形，∴PI=BI=CI，∴S△PBE+S△PCF=BE?BI+CF?CI=BEBC+CF?BC=BC（BE+CF）=BC?PI=S△PBC．故答案為：S△PBE+S△PCF=S△BPC；（2）如圖2，過點P作PG⊥EF交BC于點G，∠EPG=90176。，∵∠BPC=90176。，∴∠EPB+∠BPG=90176。，∵∠BPG+∠CPG=90176。，∴∠EPB=∠CPG，同理，∵∠EBP+∠PBC=90176。，∠PBC+∠BCP=90176。，∴∠EBP=∠BCP，∴△EPB∽△GPC，∵PC=2PB，∴=（）2=∴S△GPC=4S△EPB，同理可得S△FPC=4S△GPB，∵S△PBG+S△PGC=S△BPC，∴16S△PBE+S△PFC=4S△BPC；（3）如圖3，設正方形的邊長為a（a＞0），∵∠BPC=90176。，PC=2PB，S△BPC=80，∴??=80，解得a=20，由（2）知，△EPB∽△GPC，∴CG=2BE=12，∴BG=8，∴CF=16，DF=4，過點P作PM∥AB交BC于點M．交AD于點H，過點P作PT⊥CD于T，∵PM⊥BC，BC=20，S△BPC=80，∴PM=8，∴PH=12，PT=16，F(xiàn)T=8，∵∠PQF=90176。，∴由勾股定理得，（HQ2+HP2）+（DQ2+DF2）=PT2+TF2，即（16﹣DQ）2+122+（DQ2+42）=162+82，解得DQ=4或DQ=12，當DQ=4時，∵DQ=DF=4，∠PQF=90176。，DN為∠QDF的角平分線，∴DN=QD=2；當DQ=12時，過點N作NN1⊥QD于N1，∵∠QOF=90176。，DN為∠QDF的角平分線，∴∠QDN=45176。，∵NN1⊥AD，∴NN1=N1D，△QDF∽△QN1N，∴=，=，解得NN1=3，∴DN===3，綜上所述，DN=2或3．點評：本題考查的是相似形的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)進行解答．　11．（2012?太原一模）如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點E，以點E為頂點作正方形EFGH，使點A、D分別在EH和EF上，連接BH、AF．（1）判斷并說明BH和AF的數(shù)量關(guān)系；（2）將正方形EFGH繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)θ（0176?！堞取?60176。），設AB=a，EH=b，且a＜2b．①如圖2，連接AG，設AG=x，請直接寫出x的取值范圍；當x取最大值時，直接寫出θ的值；②如果四邊形ABDH是平行四邊形，請在備用圖中補全圖形，并求a與b的數(shù)量關(guān)系．考點：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題．分析：（1）根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90176。，然后利用“邊角邊”證明△BEH和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；（2）①連接EG，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AE、EG，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知A、E、G三點共線，且AE+AG=EG時，AG最小，AE+EG=AG時，AG最大，然后求解即可；②根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得AH∥BD，AH=BD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠EAH=90176。，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AE、BD，然后在Rt△AEH中，利用勾股定理列式整理即可得解．解答：解：（1）在正方形ABCD中，AE=BE，∠BEH=∠AEF=90176。，∵四邊形EFGH是正方形，∴EF=EH，∵在△BEH和△AEF中，∴△BEH≌△AEF（SAS），∴BH=AF；（2）①連接EG，∵AB=a，EH=b，∴AE=AC=a，EG=b，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，AG＞EG﹣AE，AG＜AE+EG，∴當AG=EG﹣AE時，AG最小，AG=AE+EG時，AG最大，b﹣a≤x≤b+a；x取得最大值時，θ=135176。；②如圖，∵四邊形ABDH是平行四邊形，∴AH∥BD，AH=BD，∴∠EAH=∠AEB=90176。，在Rt△AEH中，AE2+AH2=EH2，∴（a）2+（a）2=b2，整理得，a=b．點評：本題主要考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，（2）①考慮用不變的量表示變化的量是解題的關(guān)鍵．　12．（2012?武漢模擬）（1）如圖1，在△ABC中，點D，E在邊BC上，BD：DE：CE=1：2：3，線段FG∥BC，分別交線段AD，AE于M、N兩點，則有FM：MN：NG=　1：2：3?。?）如圖2，在△ABC中，∠BAC=90176。，正方形DEGF的四個頂點有△ABC的三邊上，線段FG分別交線段AD，AE于M、N兩點，若BD=4，EC=9，求MN的長？（3）如圖3，在△ABC中，∠BAC=90176。，正方形DEGF的四個頂點在△ABC的三邊所在的直線上，DA與EN的延長線分別交直線FG于M、N兩點，求證：MN2=MF?NG．考點：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題．分析：（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理列式求出=，==，=，然后表示出FM、MN、NG，再求出比值即可；（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠B=∠CGE，然后求出△BDF和△GEC相似，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求正方形DEGF的邊長，然后求出，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出MF、NG，然后根據(jù)MN=FG﹣MF﹣NG代入數(shù)據(jù)計算即可得解；（3）根據(jù)平行線分線段成比例定理列式表示出MF、NG，然后求出MF?NG，再求出△BDF和△GEC相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出BD?CE=DE2，整理即可得證．解答：（1）解：∵FG∥BC，∴=，==，=，∴==，設===k，則FM=kBD，MN=kDE，NG=kCE，∵BD：DE：CE=1：2：3，∴FM：MN：NG=kBD：kDE：kCE=1：2：3，（2）解：∵∠BAC=90176。，∴∠B+∠C=90176。，∵四邊形DEGF是正方形，∴∠C+∠CGE=90176。，DF=EG，∴∠B=∠CGE，又∵∠BDF=∠GEC=90176。，∴△BDF∽△GEC，∴=，∵BD=4，EC=9，∴EG?DF=EG2=BD?EC=49=36，∴EG=6，即正方形DEGF的邊長為6，∵正方形DEGF的邊FG∥DE，∴====，=，=，即=，=，解得MF=，NG=，∴MN=FG﹣MF﹣NG=6﹣﹣=；（3）證明：在正方形DEGF中，DE∥FG，∴CE∥NG，∴=，==，=，∴==，∴MF=?MN，NG=?MN，∴MF?NG=?MN??MN=MN2?，∵∠BAC=90176。，四邊形DEFG是正方形，∴∠C+∠ABC=90176。，∠BFD+∠ABC=90176。，GE=DF=DE，∴∠C=∠BFD，又∵∠BAC=∠GEC=90176。，∴△BDF∽△GEC，∴=，∴BD?CE=GE?DF=DE2，∴=1，∴MN2=MF?NG．故答案為：1：2：3．點評：本題考查了相似形綜合題，主要利用了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合題，但難度不大，要注意比例相等的聯(lián)系．　13．（2012?香坊區(qū)校級模擬）已知，等邊△ABC中，D為BC上一點，DE∥AC交AB于C，M是AE上任意一點（M不與A、E重合），連DM，作DN平分∠MDC交AC于N．（1）若BD=DC（如圖1），求證：EM+NC=DM；（2）在（1）的條件下，如圖2，作DF⊥AC于F，若NF：FC=3：5，AM=4，連接MN將∠DMN沿MN翻折，翻折后的射線MD交AC于P，連接DP交MN于點Q，求PQ的長．考點：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題．分析：（1）首先延長AC至M′，使CM′=EM，連接DM′，根據(jù)全等三角形的判定得出△EMD≌△CM′D，進而得出DM=NM′=CN+CM′，即可得出答案；（2）首先利用勾股定理得出AN，QC，NQ，MD，ED，AC，NC的長度，再利用相似三角形的判定得出△MRN∽△NFD，進而得出△MDN≌△KDN（ASA），再由△MPQ∽△KDQ，得出==，QP=DP即可得出答案．解答：（1）證明：延長AC至M′，使CM′=EM，連接DM′，∵BD=CD，∴D為BC中點，又∵DE∥AC，∴△ABC與△BDE都是等邊三角形，∴DE=AC=BC=CD，∴∠BED=∠ACB=60176。，∴∠MED=∠M′CD=120176。，∵在△EMD和△CM′D中，∴△EMD≌△CM′D（SAS），∴EM=CM′，∠EDM=∠CDM′，∵DN平分∠MDC，∴∠MDN=∠CDN，∴∠EDN=∠M′DN，∵DE∥AC，∴∠EDN=∠M′ND，∴∠M′DN=∠M′ND，∴DM′=NM′，∴DM=NM′=CN+CM′，∴DM=CN+EM．（2）過M作MR⊥AN于R，延長MN交BC于點K，∵NF：FC=3：5，∴設NF=3x，CF=5x，∴NC=8x，∵DF⊥AC于F，∠C=60176。，∴CD=2CF=10x，∵D為BC中點，∴BD=CD=10x，∴AE=10x，∵AM=4，∴EM=10x﹣4，∴DM′=DM=EM+NC=18x﹣4，F(xiàn)M′=FC+CM′=15x﹣4，DF=5x，Rt△DFM′中，（5x）2+（15x﹣4）2=（18x﹣4）2，解得：x1=1，x2=0（舍去）．MD=18x﹣4=14，ED=CD=10x=10，AC=20x=20，NC=3x+5x=8x=8，AN=20﹣8=12，QC=5，NQ=3，∵∠A=60176。，CQ=5，∴DF=5，∴=，∠MRN=∠NFD=90176。，∴△MRN∽△NFD，∴∠MNR=∠NDF，∵∠NDF+∠DNF=90176。，∴∠MNR+∠DNF=90176。，∴∠MND=9017