【文章內(nèi)容簡介】 得 9＋3b＝3，解得 b＝－2，∴二次函數(shù)表達式為 y＝x 2－2x；……………………………(2 分)(2)如解圖 ① 所示，過點 P 作 PB⊥ 1 于點 B，第 4 題解圖①∵PQ ＝2 ，且在直線 y＝x 上，2∴PB＝QB＝2 ，………………………………………………(3 分)設(shè) P(a，a)，則 Q(a＋ 2，a＋2)，P1(a，a 2－ 2a)，Q 1(a＋ 2，(a＋2) 2－2(a＋2))，即 Q1(a＋2，a 2＋2a) ，∴四邊形 P1P1 的面積為：2 2()()22aS??????＝－2a 2＋2a＋2＝－2(a－ )2＋ ，…………………………(4 分)12 52當(dāng) Q 運動到點 A 時，OP＝OQ －PQ＝ ，a＝1，2∴a 的取值范圍為 0＜a＜1，∴當(dāng) a＝ 時，四邊形 P1P1 的面積最大，最大值為 ；…(5 分)12 52(3)存在，點 E 的坐標(biāo)為 E1( ， )，E 2( ， )，43 43 143 143如解圖②所示，連接 OM，第 4 題解圖②∵點 M 為拋物線頂點，∴M (1，－ 1)，又∵OA 所在直線為 y＝x ，∴OM⊥OA，即∠AOM＝90176。，在△AOF 和 △AOM 中，以 OA 為底，當(dāng)面積相等時，則兩三角形 OA 邊上的高相等，又∵OM⊥OA，且 OM＝ ，2∴可作兩條與 OA 互相平行且距離為 的直線，…………(6 分)2如解圖②所示，在直線 HD、MC 上的點 F 均滿足 S△AOF ＝S △AOM ，∴只需滿足 E 點的對稱點 F 在這兩條直線上即可．如解圖②，過點 A 作 AC⊥MC 于點 C，易得四邊形 OACM 為矩形，AM 為該矩形的一條對角線，取 AM 中點 O′，過 O′作 AM 垂線，交 OA 于點 E1，交MC 于點 F1，OA ＝3 ，2∴ ，22(3)()5AMOAM?????∴AO ′＝ ，5∵△AO′E 1∽△AOM，…………………………………………(7 分)∴ ， 1AEOEOMA? ??∴ ，13255解得 OE1＝ ，423∵點 E1 在 y＝x 上，∴E 1( ， )，……………………………………………………(8 分)43 43同理可得 HF2＝GE 2＝ ，423又∵OG＝2OA＝6 ，2∴OE 2＝6 － ＝ ，∴E 2( ， )．2423 1423 143 143綜上所述，符合條件的 E 點的坐標(biāo)為：E 1( ， )、 E2( ， )．43 43 143 143………………………………………………………………(10 分)拓展三　二次函數(shù)與特殊四邊形判定問題針對演練1. (2022 茂名 8 分) 如圖，拋物線 y＝－x 2＋ bx＋c 經(jīng)過 A(－1，0)，B(3，0) 兩點，且與 y 軸交于點 C，點 D 是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸 DE 交 x 軸于點 E，連接 BD.(1)求經(jīng)過 A，B，C 三點的拋物線的函數(shù)表達式；(2)點 P 是線段 BD 上一點，當(dāng) PE＝PC 時，求點 P 的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，過點 P 作 PF⊥x 軸于點 F，G 為拋物線上一動點，M 為x 軸上一動點， N 為直線 PF 上一動點，當(dāng)以 F、M、N、G 為頂點的四邊形是正方形時，請求出點 M 的坐標(biāo)． 第 1 題圖 備用圖2. (2022 安順 14 分) 如圖，拋物線經(jīng)過 A(－1，0) ，B(5，0)，C(0，－ )三點．52(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點 P，使 PA＋ PC 的值最小，求點 P 的坐標(biāo)；(3)點 M 為 x 軸上一動點，在拋物線上是否存在一點 N，使以 A、C、M、N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點 N 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．第 2 題圖3. (2022 南充 10 分)如圖，拋物線與 x 軸交于點 A(－5，0)和點 B(3，0) ，與y 軸交于點 C(0，5)．有一寬度為 1，長度足夠的矩形(陰影部分) 沿 x 軸方向平移，與 y 軸平行的一組對邊交拋物線于點 P 和 Q，交直線 AC 于點 M 和 N，交 x 軸于點 E 和 F.(1)求拋物線解析式；(2)當(dāng)點 M 和 N 都在線段 AC 上時，連接 MF，如果 sin∠AMF ＝ ，求點1010Q 的坐標(biāo)；(3)在矩形的平移過程中，當(dāng)以點 P，Q ，M ，N 為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點 M 的坐標(biāo)．第 3 題圖4. (2022 成都 12 分) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線y＝a( x＋1) 2－3 與 x 軸交于 A、B 兩點( 點 A 在點 B 的左側(cè))，與 y 軸交于點C(0，－ )，頂點為 D，對稱軸與 x 軸交于點 H，過點 H 的直線 l 交拋物線于83P、Q 兩點，點 Q 在 y 軸的右側(cè)．(1)求 a 的值及點 A、B 的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線 l 將四邊形 ABCD 分為面積比為 3∶7 的兩部分時，求直線 l 的函數(shù)表達式；(3)當(dāng)點 P 位于第二象限時，設(shè) PQ 的中點為 M，點 N 在拋物線上，則以DP 為對角線的四邊形 DMPN 能否成為菱形？若能，求出點 N 的坐標(biāo)；若不能，請說明理由． 第 4 題圖 備用圖　　【答案】1．解：(1)∵拋物線 y＝－x 2＋bx＋c 經(jīng)過 A(－1，0)，B(3，0) 兩點，∴ ，解得 ，093bc?????? 3bc????∴經(jīng)過 A，B ，C 三點的拋物線的函數(shù)表達式為 y＝－x 2＋2x ＋3；…………………………………………………………………(2 分)(2)如解圖 ① ，連接 PC、PE ，第 1 題解圖①∵ ，212()ba?????當(dāng) x＝1 時， y＝－1＋ 2＋3＝4，∴點 D 坐標(biāo)為(1，4) ，設(shè)直線 BD 為：y＝mx＋n，將點 B、D 坐標(biāo)分別代入表達式，得，解得 ，304mn????? 26mn?????∴y＝－2x＋6，設(shè)點 P 坐標(biāo)為( x，－2 x＋6)，由勾股定理可得 PC2＝x 2＋(3＋2x －6) 2，PE2＝(x－1) 2＋(－2x＋6) 2，∵PC＝PE，∴x 2＋(3＋2x－6) 2＝(x－1) 2＋(－2x＋6) 2，解得 x＝2，則 y＝－2 2＋6＝2，∴P(2，2)；……………………………………………………(5 分)(3)依題意可設(shè)點 M 坐標(biāo)為(a，0)，則 G 坐標(biāo)為 (a，－a 2＋2a＋3)．如解圖②，以 F、M 、 N、G 為頂點的四邊形是正方形時，必有 FM＝MG，第 1 題解圖②即|2 －a| ＝|－a 2＋2a＋3| ，① 2－a＝－(－a 2＋2a＋3)，解得 a＝ ，1177。212② 2－a＝－a 2＋2a＋3，解得 a＝ ，3177。132綜上所述，M 點的坐標(biāo)為( ，0)，( ，0) ，1－ 212 1＋ 212( ，0)，( ，0)．………………………………………(8 分)3－ 132 3＋ 1322．解：(1)設(shè)拋物線的解析式為 y＝ax 2＋bx＋c( a≠0)，將點 A(－1 ，0)，B(5 ，0)，C(0，－ )代入得，52，解得 ，025abcc?????????? 1252abc????????∴拋物線的解析式為 y＝ x2－2x－ ；………………………(4 分)12 52(2)由題意知，點 A 關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點 B，如解圖，連接 BC交拋物線的對稱軸于點 P，則 P 點即為所求，第 2 題解圖設(shè)直線 BC 的解析式為 y＝kx＋b 1(k≠0)，由題意得 ，解得 ，11502kb???????125b??????∴直線 BC 的解析式為 y＝ x－ ，12 52∵拋物線 y＝ x2－2x－ 的對稱軸是 x＝2，12 52∴當(dāng) x＝2 時， y＝ x－ ＝ 2－ ＝－ ，12 52 12 52 32∴點 P 的坐標(biāo)是(2 ，－ )；……………………………………(9 分)32(3)存在． ………………………………………………………(10 分)(i)當(dāng)存在的點 N 在 x 軸的下方時，如解圖所示，第 2 題解圖∵四邊形 ACNM 是平行四邊形，∴CN ∥x 軸，∴點 C 與點 N 關(guān)于對稱軸 x＝2 對稱，∵C 點的坐標(biāo)為(0，－ )，52∴點 N 的坐標(biāo)為(4，－ )； ……