【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 得 9＋3b＝3，解得 b＝－2，∴二次函數(shù)表達(dá)式為 y＝x 2－2x；……………………………(2 分)(2)如解圖 ① 所示，過點(diǎn) P 作 PB⊥ 1 于點(diǎn) B，第 4 題解圖①∵PQ ＝2 ，且在直線 y＝x 上，2∴PB＝QB＝2 ，………………………………………………(3 分)設(shè) P(a，a)，則 Q(a＋ 2，a＋2)，P1(a，a 2－ 2a)，Q 1(a＋ 2，(a＋2) 2－2(a＋2))，即 Q1(a＋2，a 2＋2a) ，∴四邊形 P1P1 的面積為：2 2()()22aS??????＝－2a 2＋2a＋2＝－2(a－ )2＋ ，…………………………(4 分)12 52當(dāng) Q 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A 時(shí)，OP＝OQ －PQ＝ ，a＝1，2∴a 的取值范圍為 0＜a＜1，∴當(dāng) a＝ 時(shí)，四邊形 P1P1 的面積最大，最大值為 ；…(5 分)12 52(3)存在，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 E1( ， )，E 2( ， )，43 43 143 143如解圖②所示，連接 OM，第 4 題解圖②∵點(diǎn) M 為拋物線頂點(diǎn)，∴M (1，－ 1)，又∵OA 所在直線為 y＝x ，∴OM⊥OA，即∠AOM＝90176。，在△AOF 和 △AOM 中，以 OA 為底，當(dāng)面積相等時(shí)，則兩三角形 OA 邊上的高相等，又∵OM⊥OA，且 OM＝ ，2∴可作兩條與 OA 互相平行且距離為 的直線，…………(6 分)2如解圖②所示，在直線 HD、MC 上的點(diǎn) F 均滿足 S△AOF ＝S △AOM ，∴只需滿足 E 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) F 在這兩條直線上即可．如解圖②，過點(diǎn) A 作 AC⊥MC 于點(diǎn) C，易得四邊形 OACM 為矩形，AM 為該矩形的一條對(duì)角線，取 AM 中點(diǎn) O′，過 O′作 AM 垂線，交 OA 于點(diǎn) E1，交MC 于點(diǎn) F1，OA ＝3 ，2∴ ，22(3)()5AMOAM?????∴AO ′＝ ，5∵△AO′E 1∽△AOM，…………………………………………(7 分)∴ ， 1AEOEOMA? ??∴ ，13255解得 OE1＝ ，423∵點(diǎn) E1 在 y＝x 上，∴E 1( ， )，……………………………………………………(8 分)43 43同理可得 HF2＝GE 2＝ ，423又∵OG＝2OA＝6 ，2∴OE 2＝6 － ＝ ，∴E 2( ， )．2423 1423 143 143綜上所述，符合條件的 E 點(diǎn)的坐標(biāo)為：E 1( ， )、 E2( ， )．43 43 143 143………………………………………………………………(10 分)拓展三　二次函數(shù)與特殊四邊形判定問題針對(duì)演練1. (2022 茂名 8 分) 如圖，拋物線 y＝－x 2＋ bx＋c 經(jīng)過 A(－1，0)，B(3，0) 兩點(diǎn)，且與 y 軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) D 是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸 DE 交 x 軸于點(diǎn) E，連接 BD.(1)求經(jīng)過 A，B，C 三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn) P 是線段 BD 上一點(diǎn)，當(dāng) PE＝PC 時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，過點(diǎn) P 作 PF⊥x 軸于點(diǎn) F，G 為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M 為x 軸上一動(dòng)點(diǎn)， N 為直線 PF 上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以 F、M、N、G 為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)． 第 1 題圖 備用圖2. (2022 安順 14 分) 如圖，拋物線經(jīng)過 A(－1，0) ，B(5，0)，C(0，－ )三點(diǎn)．52(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn) P，使 PA＋ PC 的值最小，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；(3)點(diǎn) M 為 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn) N，使以 A、C、M、N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn) N 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．第 2 題圖3. (2022 南充 10 分)如圖，拋物線與 x 軸交于點(diǎn) A(－5，0)和點(diǎn) B(3，0) ，與y 軸交于點(diǎn) C(0，5)．有一寬度為 1，長(zhǎng)度足夠的矩形(陰影部分) 沿 x 軸方向平移，與 y 軸平行的一組對(duì)邊交拋物線于點(diǎn) P 和 Q，交直線 AC 于點(diǎn) M 和 N，交 x 軸于點(diǎn) E 和 F.(1)求拋物線解析式；(2)當(dāng)點(diǎn) M 和 N 都在線段 AC 上時(shí)，連接 MF，如果 sin∠AMF ＝ ，求點(diǎn)1010Q 的坐標(biāo)；(3)在矩形的平移過程中，當(dāng)以點(diǎn) P，Q ，M ，N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)．第 3 題圖4. (2022 成都 12 分) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線y＝a( x＋1) 2－3 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)( 點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè))，與 y 軸交于點(diǎn)C(0，－ )，頂點(diǎn)為 D，對(duì)稱軸與 x 軸交于點(diǎn) H，過點(diǎn) H 的直線 l 交拋物線于83P、Q 兩點(diǎn)，點(diǎn) Q 在 y 軸的右側(cè)．(1)求 a 的值及點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線 l 將四邊形 ABCD 分為面積比為 3∶7 的兩部分時(shí)，求直線 l 的函數(shù)表達(dá)式；(3)當(dāng)點(diǎn) P 位于第二象限時(shí)，設(shè) PQ 的中點(diǎn)為 M，點(diǎn) N 在拋物線上，則以DP 為對(duì)角線的四邊形 DMPN 能否成為菱形？若能，求出點(diǎn) N 的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由． 第 4 題圖 備用圖　　【答案】1．解：(1)∵拋物線 y＝－x 2＋bx＋c 經(jīng)過 A(－1，0)，B(3，0) 兩點(diǎn)，∴ ，解得 ，093bc?????? 3bc????∴經(jīng)過 A，B ，C 三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y＝－x 2＋2x ＋3；…………………………………………………………………(2 分)(2)如解圖 ① ，連接 PC、PE ，第 1 題解圖①∵ ，212()ba?????當(dāng) x＝1 時(shí)， y＝－1＋ 2＋3＝4，∴點(diǎn) D 坐標(biāo)為(1，4) ，設(shè)直線 BD 為：y＝mx＋n，將點(diǎn) B、D 坐標(biāo)分別代入表達(dá)式，得，解得 ，304mn????? 26mn?????∴y＝－2x＋6，設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為( x，－2 x＋6)，由勾股定理可得 PC2＝x 2＋(3＋2x －6) 2，PE2＝(x－1) 2＋(－2x＋6) 2，∵PC＝PE，∴x 2＋(3＋2x－6) 2＝(x－1) 2＋(－2x＋6) 2，解得 x＝2，則 y＝－2 2＋6＝2，∴P(2，2)；……………………………………………………(5 分)(3)依題意可設(shè)點(diǎn) M 坐標(biāo)為(a，0)，則 G 坐標(biāo)為 (a，－a 2＋2a＋3)．如解圖②，以 F、M 、 N、G 為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，必有 FM＝MG，第 1 題解圖②即|2 －a| ＝|－a 2＋2a＋3| ，① 2－a＝－(－a 2＋2a＋3)，解得 a＝ ，1177。212② 2－a＝－a 2＋2a＋3，解得 a＝ ，3177。132綜上所述，M 點(diǎn)的坐標(biāo)為( ，0)，( ，0) ，1－ 212 1＋ 212( ，0)，( ，0)．………………………………………(8 分)3－ 132 3＋ 1322．解：(1)設(shè)拋物線的解析式為 y＝ax 2＋bx＋c( a≠0)，將點(diǎn) A(－1 ，0)，B(5 ，0)，C(0，－ )代入得，52，解得 ，025abcc?????????? 1252abc????????∴拋物線的解析式為 y＝ x2－2x－ ；………………………(4 分)12 52(2)由題意知，點(diǎn) A 關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) B，如解圖，連接 BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn) P，則 P 點(diǎn)即為所求，第 2 題解圖設(shè)直線 BC 的解析式為 y＝kx＋b 1(k≠0)，由題意得 ，解得 ，11502kb???????125b??????∴直線 BC 的解析式為 y＝ x－ ，12 52∵拋物線 y＝ x2－2x－ 的對(duì)稱軸是 x＝2，12 52∴當(dāng) x＝2 時(shí)， y＝ x－ ＝ 2－ ＝－ ，12 52 12 52 32∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)是(2 ，－ )；……………………………………(9 分)32(3)存在． ………………………………………………………(10 分)(i)當(dāng)存在的點(diǎn) N 在 x 軸的下方時(shí)，如解圖所示，第 2 題解圖∵四邊形 ACNM 是平行四邊形，∴CN ∥x 軸，∴點(diǎn) C 與點(diǎn) N 關(guān)于對(duì)稱軸 x＝2 對(duì)稱，∵C 點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－ )，52∴點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(4，－ )； ……