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正文內(nèi)容

概率論入門1部分(編輯修改稿)

2025-07-24 15:08 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 檢查表示感謝。在此還要對早期版本的評(píng)論者表示感謝:Thomas R. Fischer, 得克薩斯大學(xué);Jay DeVore, 加州理工學(xué)院,San Luis Obispo;Robb J. Muirhead, 密歇根大學(xué);David Heath, 克內(nèi)爾大學(xué);Myra Samuels, 普杜大學(xué);I. R. Savage, 耶魯大學(xué)。 R. Miller, 斯坦福大學(xué);K. B. Athreya, 愛河華州立大學(xué);Phillip Beckwith, 密歇根教育學(xué)院;Howard Bird, St. 克勞得州立大學(xué);Steven Chiappari, 桑塔考拉大學(xué);James Clay, 圖森亞利桑那大學(xué);Francis Conlan, 桑塔考拉大學(xué);Fred Leysieffer, 弗洛里達(dá)州立大學(xué);Ian McKeague, 弗洛里達(dá)州立大學(xué);Helmut Mayer, 喬治亞大學(xué);, 克內(nèi)爾大學(xué);Art Schwartz, 安巴伯米歇根大學(xué);Therese Shelton, 西南學(xué)院;Allen Webster, 布拉德里大學(xué)。第一章組合分析1. 1引言這是一個(gè)典型的涉及概率的有意思的問題。一個(gè)通訊系統(tǒng)由個(gè)看似一樣的天線組成,這些天線要以線性順序排列。合成系統(tǒng)可以接受所有的信號(hào)——稱為泛函——只要沒有兩個(gè)相連的天線發(fā)生故障。如果結(jié)果表明條天線中有條是有缺陷的,那么合成系統(tǒng)成為泛函的概率有多大?例如,特殊一點(diǎn)令,則就有6種可能的構(gòu)形,即其中1表示天線正常,0表示天線出現(xiàn)故障。由于合成系統(tǒng)在前三種排列中是泛函,而在后三種排列中不是,那么取作為要求的概率似乎是合理的。對于一般的也可以用同樣的方法計(jì)算系統(tǒng)是泛函的概率,即數(shù)出系統(tǒng)中結(jié)果是泛函的構(gòu)型數(shù),然后除以所有可能的構(gòu)形數(shù)。從前面可以看到找到一個(gè)數(shù)出事件發(fā)生方式的數(shù)目的有效方法是非常有用的,事實(shí)上,概率論中很多問題都可以簡單得通過數(shù)出一個(gè)特定事件可能發(fā)生的不同方式的數(shù)量來解決。這種數(shù)數(shù)的數(shù)學(xué)理論形式上被稱為組合分析。 計(jì)數(shù)的基本原則下列計(jì)數(shù)原則是我們所有工作的基礎(chǔ)。簡單來說,它就是說如果一個(gè)試驗(yàn)可以產(chǎn)生m個(gè)可能的結(jié)果,而另一個(gè)試驗(yàn)可以產(chǎn)生個(gè)可能的結(jié)果,那么這兩個(gè)試驗(yàn)就有mn個(gè)可能結(jié)果。計(jì)數(shù)的基本原則假設(shè)同時(shí)進(jìn)行兩個(gè)試驗(yàn),如果試驗(yàn)1可以產(chǎn)生m個(gè)可能結(jié)果,而對試驗(yàn)1產(chǎn)生的每一個(gè)結(jié)果試驗(yàn)2都有個(gè)可能的結(jié)果,那么這兩個(gè)試驗(yàn)一共有mn個(gè)可能結(jié)果,基本原則的證明:可以通過枚舉兩個(gè)試驗(yàn)可能產(chǎn)生的所有結(jié)果來證明基本定理,如下所示:其中結(jié)果表示試驗(yàn)1得到它的第個(gè)結(jié)果,試驗(yàn)2得到它的第個(gè)可能結(jié)果,這樣所有可能的結(jié)果就由每一行有個(gè)元素的m行組成,從而得證。 例 2a. 一個(gè)小社區(qū)有10個(gè)婦女,每個(gè)婦女有3個(gè)孩子,如果其中一個(gè)婦女和她其中的一個(gè)孩子被選為本年的母子,那么有多少種可能的選擇?解 把對婦女的選擇作為試驗(yàn)1的結(jié)果,隨后對她的孩子的選擇作為試驗(yàn)2的結(jié)果,有基本原則有中可能的結(jié)果。其中若進(jìn)行兩個(gè)以上的試驗(yàn),基本原則被如下推廣:推廣了的計(jì)數(shù)基本原則如果進(jìn)行試驗(yàn),第一個(gè)試驗(yàn)可能有個(gè)可能結(jié)果,對其每一個(gè)可能的結(jié)果試驗(yàn)2對應(yīng)有個(gè)可能結(jié)果,若對這前兩個(gè)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果,第三個(gè)試驗(yàn)都對應(yīng)有個(gè)可能結(jié)果,若…,那么這個(gè)試驗(yàn)一共會(huì)有個(gè)可能結(jié)果。例 2b. 一個(gè)計(jì)劃委員會(huì)由3個(gè)新生,4個(gè)大學(xué)二年級(jí)學(xué)生,5個(gè)三年級(jí)學(xué)生,2個(gè)四年級(jí)學(xué)生組成,現(xiàn)從這四個(gè)班級(jí)中的每個(gè)班級(jí)抽取一人組成4個(gè)人的小組委員會(huì),有多少種不同的小組委員會(huì)? 解 我們可以把小組委員會(huì)的選擇作為從每個(gè)年級(jí)抽取一名代表的四個(gè)獨(dú)立試驗(yàn)的聯(lián)合結(jié)果,從而由推廣了的計(jì)數(shù)基本原則有種可能的小組委員會(huì)。例 2c. 如果前3個(gè)位置用字母,后4個(gè)位置用數(shù)字,那么有多少不同的7位的牌照?解 由推廣了的計(jì)數(shù)基本原則,答案是。例 2d. 如果每一個(gè)函數(shù)值都取0或1,那么定義在各點(diǎn)上函數(shù)有多少?解 設(shè)這個(gè)點(diǎn)分別是1,2,…,因?yàn)閷γ恳粋€(gè)都等于0或者1,那么
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