【文章內(nèi)容簡介】 次 ,每次取 1件，設 Ai={第 i次取到正品 }， i=1,2 2 1 278( | ) ( )9 1 0P A A P A? ? ?2 1 28( | ) ( )10P A A P A??( ) 0 , ( ) 0P A P B??不放回抽樣時， 放回抽樣時， 即放回抽樣時， A1的發(fā)生對 A2的發(fā)生概率不影響 同樣， A2的發(fā)生對 A1的發(fā)生概率不影響 定義：設 A， B為兩隨機事件， 若 P(B|A)=P(B)， 即 P(AB)=P(A)*P(B) 即 P(A|B)=P(A)時，稱 A， B相互獨立 。 41 ? 注意： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , , , 1A B A B A B A BP AB P A P BP AB P A AB P A P AB P A P B P A P B?????? ? ? ? ? ? ?????相互獨立 相互獨立 相互獨立 相互獨立當時? ? ? ?1212112, , , 2 , , , ,kjnki i i ijnA A A n k nP A A A P AA A A???? ?定義：設 為 個隨機事件，若對 均有：則稱 相互獨立1 ?兩兩獨立不能 相互獨立2 實際問題中，常常不是用定義去驗證事件的獨立性， 而是由實際情形來判斷其獨立性。42 例：甲、乙兩人同時向一目標射擊，甲擊中 率為 ，乙擊中率為 ，求目標被 擊中的概率。 ( ) ( ) ( ) ( )C A B P C P A P B P A B? ? ? ? ?則： ，( ) ? ? ? ? ? 解： 設 A={甲擊中 },B={乙擊中 } C={目標被擊中 } ∵ 甲、乙同時射擊，其結(jié)果互不影響， ∴ A， B相互獨立 43 例：有 4個獨立元件構(gòu)成的系統(tǒng) (如圖 )，設每個元 件能正常運行的概率為 p，求系統(tǒng)正常運行的 概率。 ? ?? ?, 1 , 2 , 3 , 4 iA i iA???解：設 第 個元件運行正常系統(tǒng)運行正常1 4 3 2 注意：這里系統(tǒng)的概念與電路 中的系統(tǒng)概念不同 ? ?1 2 3 4A A A A A??則：1 2 3 4, , ,A A A A由題意知， 相互獨立231 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A A A p p p p? ? ? ? ? ? ?3 2 51 2 3 1 4( ) ( )P A P A A A A A p p p? ? ? ?另解， ，對嗎 ？44 1,2pp ?例：甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為 對甲而言，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利？ 設各局勝負相互獨立。? ? ? ? , 1 , 2 , , 5iiA i P A p i? ? ? ?解：設 第 局甲勝? ?A ?再設 甲勝? ?? ? ? ? ? ?221 2 1 2 3 1 2 3 1121P A P A A A A A A A A p p p p? ? ? ? ? ? ? 三局二勝制： ? ? ? ?2221 3 1 2 1P P P P P? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 3 4 523 1 3 2 33 4 22 1 1P A P A A A A Ap C p p C p p p? ? ?? ? ? ? ? ?五局三勝制： 前三次有一次輸 前四次有兩次輸21211, 2 1, 2p p pp p p? ?????? ???當當45 總結(jié)： ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?1. 2. 。 。 。3. 0 1 。 1 1 1 2AnS e A SA B A BA B A B AnfAnP A P SAB P A B P A P BP A P AA B P A P???????? ? ????? ? ? ? ?????? ? ?樣本空間 隨機事件事件的關系：事件的運算：頻率：概率的定義：滿足當 時，概率的性質(zhì)： 當時 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?1211 3 = 4. | |, , ,( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) , ( | )( ) ( | )5. nniij j i njjjjBP A B P A P B P ABP ABP B A P AB P A P B APAB B B SP B P A BP A P B P A B P B AP B P A B??? ? ?? ? ?????條件概率： 當 為 的一劃分時，事件獨立性46 復習思考題 1 ? ? ? ? , , ,3 . , A B A B A B A B A B A BA B A B A B A B A B? ? ? ??設 和 為兩事件 即“ 至少有一發(fā)生”事件 為“ 恰有一發(fā)生 ”事件與“ 同時發(fā)生 ”事件的和事件。 此結(jié)論成立嗎？1.“ 事件 A不發(fā)生，則 A=Ф” ,對嗎？試舉例證明之。 2. “ 兩事件 A和 B為互不相容，即 AB=Ф,則 A和 B互逆”，對嗎？ 反之成立嗎？試舉例說明之。 4. 甲、乙兩人同時猜一謎，設 A={甲猜中 }， B={乙猜中 }， 則 A∪ B={甲、乙兩人至少有 1人猜中 }。若 P(A)=,P(B)=, 則“ P(A∪ B)=+=” 對嗎？ 5. 滿足什么條件的試驗問題稱為古典概型問題？ ? ? ? ? ? ?? ? 12 1 0 , 1 9 , , , , , , ,6. A A S S A AS A P A? ? ??一口袋中有 個球 其中有 個白球及 個紅球。從中任意取一球 設 取到白球 則 取到紅球 且設樣本空間為中有兩個樣本點 而 是其中一個樣本點問 對嗎？47 ？ A和 B為兩隨機事件，試舉例說明 P(AB)=P(B|A)表示不同的意義。 A和 B相互獨立？ 什么條件下稱 n個事件 A1,A2,?, An相互獨立？ A和 B為兩事件，且 P(A)≠0,P(B)≠0,問 A和 B相互獨立、 A和 B互不相容能否同時成立？試舉例說明之。 A和 B為兩事件，且 P(A)=a,P(B)=b,問： (1) 當 A和 B獨立時 ,P(A∪ B)為何值？ (2) 當 A和 B互不相容時 , P(A∪ B)為何值？ ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? , 0 , | | | 1 |9. A B P A P B A P B P B AP B A P B A? ? ???設 和 為隨機事件 問 是否成立？是否成立？48 A1,A2,?, An為樣為本空間 的一個劃分 ？ A,B,C為三隨機事件，當 A≠B，且 P(A)≠0, P(B)≠0時， P(C|A)+P(C|B)有意義嗎？試舉例說明。 A,B,C為三隨機事件 ,且 P(C)≠0, 問 P(A∪ B|C)=P(A|C)+P(B|C)－ P(AB|C)是否成立？ 若成立，與概率的加法公式比較之。 49 第二章 隨機變量及其分布 關鍵詞： 隨機變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量 隨機變量的函數(shù) 50 167。 1 隨機變量 * 常見的兩類試驗結(jié)果： 示數(shù)的 ——降雨量；候車人數(shù)；發(fā)生交通事故的次數(shù) … 示性的 ——明天天氣（晴，多云 … ）；化驗結(jié)果（陽性，陰性） … e s x 離散型的 連續(xù)型的 X=f(e)－－為 S上的單值函數(shù)， X為實數(shù) * 中心問題：將試驗結(jié)果數(shù)量化 * 定義：隨試驗結(jié)果而變的量 X為隨機變量 * 常見的兩類隨機變量 51 167。 2 離散型隨機變量及其分布 定義：取值可數(shù)的隨機變量為 離散量 離散量的概率分布 (分布律 ) 10 , 1iiipp?????樣本空間 S＝ { X=x1， X=x2， … ， X=xn， … } 由于樣本點兩兩不相容 111 ( ) ( )iiiiP S P X x p????? ? ? ???寫出可能取值－－即寫出了樣本點 寫出相應的概率－－即寫出了每一個樣本點出現(xiàn)的概率 P… … … … 1x 2x ix1p 2p ipX 概率分布 52 例：某人騎自行車從學校到火車站，一路上要經(jīng) 過 3個獨立的交通燈，設各燈工作獨立，且設 各燈為紅燈的概率為 p， 0p1，以 X表示首次 停車時所通過的交通燈數(shù)，求 X的概率分布律。 1( 0 ) ( ) P X P A p? ? ? ； 12( 1 ) ( ) ( 1 ) P X P A A p p? ? ? ? ；21 2 3( 2) ( ) ( 1 ) P X P A A A p p? ? ? ? ；31 2 3( 3 ) ( ) ( 1 ) P X P A A A p? ? ? ? ；p X 0 1 2 3 p p(1p) (1p)2p (1p)3 ? ? ? ? ? ?? ?0 , 1 , 2 3X X XXS? ? ??注意：為 的一個劃分 解： 設 Ai={第 i個燈為紅燈 }，則 P(Ai)=p， i=1,2,3 且 A1,A2,A3相互獨立。 53 例：從生產(chǎn)線上隨機抽產(chǎn)品進行檢測，設產(chǎn)品 的次品率為 p， 0p1，若查到一只次品就 得停機檢修，設停機時已檢測到 X只產(chǎn)品， 試寫出 X的概率分布律。 11 2 1( ) ( ) ( 1 ) , 1 , 2 ,kkkP X k P A A A A p p k??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解：設 Ai={第 i次抽到正品 }， i=1,2,? 則 A1,A2,? 相互獨立。 亦稱 X為服從參數(shù) p的 幾何分布。 54 三個主要的離散型隨機變量 ? 0－ 1(p) 分布 ? 二項分布 X p q 0 1 p 樣本空間中只有兩個樣本點 即每次試驗結(jié)果 互不影響 在相同條件下 重復進行 (p+q=1) ,AA * n重貝努利試驗：設試驗 E只有兩個可能的結(jié)果： p(A)=p,0p1,將 E獨立地重復進行 n次，則稱這一串 重復 的 獨立 試驗為 n重 貝努利試驗 。 55 例： 1. 獨立重復地拋 n次硬幣，每次只有兩個可能的結(jié)果： 正面，反面， 如果是不放回抽樣呢？ ,AA,AA? ? 12P ?出現(xiàn)正面? ? 16PA ?? ? 12PA ? n次，設 A={得到 1點 }，則每次試驗 只有兩個結(jié)果： 52張牌中 有放回 地取 n次，設 A={取到紅牌 }，則 每次只有兩個結(jié)果： 56 設 A在 n重貝努利試驗中發(fā)生 X次，則 并稱 X服從參數(shù)為 p的 二項分布 ，記 ( ) ( 1 ) 0 1k k n knP X k C p p k n?? ? ? ? ? ? ?， ， ，()X b n p，31 2 3( 0) ( ) ( 1 )P X P A A A p? ? ? ?31 2 3( 3 ) ( )P X P A A A p? ? ?2 2 3 21 2 3 1 2 3 1 2 3 3( 2) ( ) ( 1 )P X P A A A A A A A A A C p p