【文章內(nèi)容簡介】 互獨(dú)立，求 L至 R是通路的概率。 )() .. ..(1).. .{ 121 nn APAPAAAP ?????設(shè) AL至 R為通路 ,Ai第 i個(gè)繼電器通 ,i=1,2,…5 )()|( 52413 AAAAPAAP ??422 pp ??)})({()|( 54213 AAAAPAAP ???)()()|( 54213 AAPAAPAAP ???22 )2( pp ??由全概率公式 )()|()()|()( 3333 APAAPAPAAPAP ?? 5432 2522 pppp ????EX1:一個(gè)學(xué)生欲到三家圖書館借一本參考書．每家圖書館購進(jìn)這種書的概率是 1/2，購進(jìn)這種書的圖書館中該書被借完了的概率也是 1/2．各家圖書館是否購進(jìn)該書相互獨(dú)立．問該學(xué)生能夠借到書的概率是多少？ 第一章 小結(jié) 本章由六個(gè)概念（隨機(jī)試驗(yàn)、事件、概率、條件概率、獨(dú)立性），四個(gè)公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式）和一個(gè)概型（古典概型）組成 第二章隨機(jī)變量 ? 離散型隨機(jī)變量 ? 隨機(jī)變量的分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機(jī)變量 ? 一維 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 ? 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 ? 多維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性 ? 條件分布 ? 多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 關(guān)于隨機(jī)變量 (及向量 )的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)?，?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量．也可以說：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是 隨機(jī)變量 (p24)定義 . 設(shè) S={e}是試驗(yàn)的樣本空間，如果量 X是定義在 S上的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)即對(duì)于每一個(gè) e?S，有一實(shí)數(shù) X=X(e)與之對(duì)應(yīng)，則稱 X為 隨機(jī)變量 。 隨機(jī)變量 常用 X、 Y、 Z 或 ?、 ?、 ?等表示。 隨機(jī)變量的特點(diǎn) : 1 X的全部可能取值是互斥且完備的 2 X的部分可能取值描述隨機(jī)事件 EX． 引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件： ①將 3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中， 事件 A={有 1個(gè)空格 }， B={有 2個(gè)空格 }， C={全有球 }。 ②進(jìn)行 5次試驗(yàn)，事件 D={試驗(yàn)成功一次 }， F={試驗(yàn)至少成功一次 }， G={至多成功 3次 } ????????奇異型（混合型）連續(xù)型非離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類 ： 隨機(jī)變量 (P25)定義 若隨機(jī)變量 X取值 x1, x2, …, x n, … 且取這些值的概率依次為 p1, p2, …, p n, … , 則稱X為離散型隨機(jī)變量，而稱 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 為 X的 分布律 或概率分布?？杀頌? X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) ， 或 … ~XX x1 x2 … xK … Pk p1 p2 … pk … (1) pk ? 0, k＝ 1, 2, … 。 (2) ??1.1kkp ＝.}{ 35332CCCkXPkk ?＝＝例 1 設(shè)袋中有 5只球，其中有 2只白 3只黑?，F(xiàn)從中任取 3只球 (不放回 )，求抽得的白球數(shù) X為 k的概率。 解 k可取值 0， 1， 2 2. 分布律的性質(zhì) 例 5次，每次命中目標(biāo)的概率為 p，以 X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求 X的分布律。 解：設(shè) Ai? 第 i次射擊時(shí)命中目標(biāo)， i=1,2,3,4,5 則 A1,A2,… A5,相互獨(dú)立且 P(Ai)=p,i=1,2,… 5. SX={0,1,2,3,4,5}, (1p)5 ??? )(}0{54321 AAAAAPXP.. .{}1{ 5432154321 ?? AAAAAAAAAAPXP ?? 4)1(5 pp ??5,. .. ,1,0)1(}{ 55 ???? ? kppCkXP kkk??? .. .{}2{ 5432154321 ?? AAAAAAAAAAPXP 3225 )1( PPC ?幾個(gè)常用的離散型分布 （一）貝努里 (Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布 1. (01)分布 (p26) 若以 X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件 A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從 (0－ 1)分布 (兩點(diǎn)分布 ) X～ P{X＝ k}＝ pk(1－ p)1－ k, (0p1) k＝ 0， 1 或 Xkp1 0p p?1(P27)若以 X表示 n重 貝努里試驗(yàn)事件 A發(fā)生的次數(shù)，則稱 X服從參數(shù)為 n,p的二項(xiàng)分布。 記作 X~B（ n,p) ,其分布律為： 2.(p27)定義 設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行 n次，每次試驗(yàn)中，事件 A發(fā)生的概率均為 p，則稱這 n次試驗(yàn)為 n重貝努里試驗(yàn) . ),. .. ,1,0(,)1(}{ nkppkXP knkknC ???? ?例 6個(gè)交通崗 ,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立 ,并且遇到紅燈的概率都是 1/3. (1)設(shè) X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù) ,求 X的分布律 . (2)求汽車行駛途中至少遇到 5次紅燈的概率 . 解 :(1)由題意 ,X~B(6,1/3),于是 ,X的分布律為 : 6,...,1,03231}{ 66 ??????????????? ? kCkXP kkk}6{}5{}5{)2( ????? XPXPXP72913313231 6556 ????????????????????? C例 4. 某人射擊的命中率為 ，他獨(dú)立射擊 400次，試求其命中次數(shù)不少于 2的概率。 泊松 定理 (p28) 設(shè)隨機(jī)變量 Xn~B(n, p), (n＝ 0, 1, 2,…), 且 n很大， p很小，記 ?=np， 則 ,...2,1,0,!}{ ??? ? kekkXPk??解 設(shè) X表示 400次獨(dú)立射擊中命中的次數(shù)， 則 X～ B(400, )，故 P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1} ＝ 1－ － (400)()()=… 上題用泊松定理 取 ? =np＝ (400)()＝ 8, 故 近似地有 P{X?2}＝ 1－ P{X＝ 0}－ P {X＝ 1} ＝ 1－ (1＋ 8)e－ 8＝ . （二 . ） 泊松 (Poisson)分布 P(?)(p28) X～ P{X＝ k}＝ , k＝ 0, 1, 2, … (??0) ??? e!kk泊松 定理表明， 泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布， 當(dāng) n很大， p很小時(shí)， 二項(xiàng)分布就可近似地 看成是參數(shù) ?=np的 泊松分布 例 X服從參數(shù)為 ?的泊松分布 ,且知一對(duì)夫婦有不超過 1個(gè)孩子的概率為 任選一對(duì)夫婦 ,至少有 3個(gè)孩子的概率。 ? ? 23}1{}0{1),(~ ??????? eXPXPXPpX 且??}2{}1{}0{1}3{ ???????? XPXPXPXP!22!121 222212 ??????? ???? eeee解 :由題意 , 23 2 ???? ??? ?? ?? eee例 6. 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) ， 每次成功的概率為 p， 令 X表示直到出現(xiàn)第 m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù) ，求 X的分布律 。 解 :m=1時(shí) , , .. .2,1,)1(}{ 1 ???? ? kppkXP km1時(shí) ,X的全部取值為 :m,m+1,m+2,… mpmXP ?? }{P{X=m+1}=P{第 m+1次試驗(yàn)時(shí)成功并且 在前 m次試驗(yàn)中成功了 m1次 } ,. ..2,1,)1(}{ 111 ??????? ???? mmmkpppCkXP mkmmkpppC mmm )1(11 ?? ??想一想：離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征可以 用分布律描述，非離散型的該如何描述？ 如：熊貓彩電的壽命 X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì) 消費(fèi)者來說，你是否在意 {X5年 }還是 {X5年零 1分鐘 } 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 一、分布函數(shù)的概念 . 定義 (P29) 設(shè) X是 隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 事件 {X?x}的概率 P{X?x}稱為隨機(jī)變量 X的 分布函數(shù) 。 記為 F(x)， 即 F(x)＝ P {X?x}. 易知，對(duì)任意實(shí)數(shù) a, b (ab), P {aX?b}＝ P{X?b}－ P{X?a}＝ F(b)－ F(a). xX二、分布函數(shù)的性質(zhì) (P29) 單調(diào)不減性 ：若 x1x2, 則 F(x1)?F(x2)。 歸一 性 ：對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 0?F(x)?1， 且 。1)x(Fl i m)(F,0)x(Fl i m)(F xx ???????? ??????).x(F)x(Flim)0x(F 0xx00??? ?? 右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是 分布函數(shù)的充分必要性質(zhì) 。 一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量 X～ P{X= xk}＝ pk, k＝ 1, 2, … 其分布函數(shù)為 ?????xxkkkpxXPxF:}{)(例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X具分布律 如右表 解 )(xFx011 2}{)( xXPxF ?＝X 0 1 2 P 試求出 X的分布函數(shù) 。 ?????????????2,121,10,1,0xxxx＝例 2 向 [0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以 X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo) .假定 質(zhì)點(diǎn)落在 [0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比 ，求 X的分布函數(shù) 解： F(x)=P{X≤x} ???????????1,110,0,0)()(xxxxxXPxF ＝＝)(xFx101當(dāng) x0時(shí) ,F(x)=0。當(dāng) x1時(shí) ,F(x)=1 當(dāng) 0≤x≤1時(shí) , kxxXPxF ???? }0{)(特別 ,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1 用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀， 對(duì)非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法 ？ a b ?}{ ??? bXap 連續(xù)型隨機(jī)變量 一、概率密度 1. 定義 (p33) 對(duì)于隨機(jī)變量 X， 若存在非負(fù)函數(shù) f(x)， (?x+?)， 使對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 都有 ? ??? x duufxXPxF )()()( ＝＝則稱 X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為 X的 概率密度函數(shù) ，簡稱概率密度或密度函數(shù) . 常記為 X～ f(x) , (?x+?) 密度函數(shù)的 幾何意義 為 ??? ba du)u(f)bXa(P ＝2. 密度函數(shù)的性質(zhì) (p34) (1) 非負(fù)性 f(x)?0， (?x?)； (2)歸一性 .1)( ＝? ???? dxxf性質(zhì) (1)、 (2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)； xaexf ??)(設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 求常數(shù) a. 答 : 21?a(3) 若 x是 f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則 )()( xfdx xdF ?設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 求 f(x) ??????????0211021)(xexexFxx（ 4） 對(duì)任意實(shí)數(shù) b， 若 X～ f(x)， (?x?)， 則 P{X=b}＝ 0。 于是 ???????badxxfbXaPbXaPbXaP)(}{}{}{＝＝＝P(35) 例 X的概率密度為 1)求 X的分布函